16.1.1 二次根式的概念（第一课时）课件（共27张PPT）【2024春人教八下数学同步优质课件】

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第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.2 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 (a≥0).
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是0.
用 (a≥0)表示.
3.(1)16的平方根是什么？算术平方根是什么？
(2)0的平方根是什么？算术平方根是什么？
(3)-7有没有平方根？有没有算术平方根？
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为____，面积为S的正方形的边长为____.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t=_____.
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号 ；
4.a≥0， ≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
判断下列式子，哪些是二次根式？
(1) (2) (3) (4) (5)
例2.当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解（1）由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
1.单个二次根式如 有意义的条件：
2.多个二次根式相加如 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如 或 有意义的条件：
4.二次根式与分式的和如 或 有意义的条件：
A≥0
A＞0
A≥0且B≠0
1.当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
2.二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什
么？
x为任意实数时， 都有意义；当x≥0时， 有意义.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
二次根式的双重非负性
例3.若 ，求a-b+c的值.
解：因为
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
【点睛】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
例4.已知 ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【点睛】若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
1.下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
2.使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
A
B
3.使得 有意义的x值有（ ）
A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都不对
4.使式子 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A
B
5．已知，的平方根是（ ）
A．16 B．8 C． D．
6．若、为实数，且，则的值（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-1
C
D
7．代数式有意义，则x的取值范围是______．
8．已知则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为_______.
10．若，则________.
x≥4
6
15
2021
11.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x 2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x=
答：矩形的长、宽分别为3cm、2cm.
12．先化简，再求值：，其中实数x、y满足．
解：

，
∵，x 3≥0，6 2x≥0，
∴x=3，y=1 ，
∴原式．
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号 ；
4.a≥0， ≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
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