16.1.2 二次根式的性质与化简（第二课时）课件（共33张PPT）【2024春人教八下数学同步优质课件】

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第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.2 二次根式的性质与化简
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.（重点）
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
1.二次根式的概念？
2.二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什
么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
二次根式的双重非负性
3.练一练：
(1)当_____时， 在实数范围内有意义；
(2)当x______时， 在实数范围内有意义；
(3)已知 ，则2x+y=_____.
＜-1
-1
根据算术平方根的意义填空：
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数.因此有 .
同理， 分别是2，，0的算术平方根，因此有 ， ，
.
4
2
0
根据算术平方根的意义填空：
4
2
0
一般地，
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
例1.计算：
解：
积的乘方:(ab)2=a2b2
整式的运算性质在实数范围内都适用
计算：
解：
填空：
2
0.1
0
一般地，根据算术平方根的意义，
填空：
2
0.3
一般地，根据算术平方根的意义，
一般地，根据算术平方根的意义，
即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
a (a≥0)
-a (a＜0)
例2.化简：
解：
化简：
解：
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意 义
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
例3.已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示,化简．
解：由数轴可得：，，，
原式
．
【点睛】利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简．
解：由数轴可知，
，，
∴，，，
∴
．
例4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：++
+.
解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴
∴+++
回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab， ，-x3， ， (a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
(1) 0
(2) n
(3) +5y2
(4) S=πr2
(5) a+b≥2
下列哪些是代数式？
( )
( )
( )
( )
( )
√
×
×
√
√
单独的一个数或一个字母也是代数式.
含有等号、不等号的式子不是代数式.
代数式书写格式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“ ”代替乘号或省略不写.
如：a×b通常写作a b或ab.
2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.
如：a×2通常写作2a.
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.
如：3×a通常写作a.
4.含有字母的除式中用分数线代替除号.
如：3÷y通常写作:.
5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.
如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.
1.以下各式不是代数式的是( )
A.2x+1 B.2x-3=5 C. D.
2.如果|a|-a=0，那么 等于( )
A.-a B.0 C.a D.±a
3.如图为实数a在数轴上的位置，则 化简后的结果为( )
A.7 B.-7 C.2a-13 D.无法确定
B
C
A
4.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.成立的条件是（　 ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
6.若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
D
C
A
7.填空：
（1）______；（2）_______；（3）_______．
8在第三象限，那么____.
9.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简 =_________.
13
2-
b+2c-a
1
10.计算与化简:
(-2)2; (2); (3)(x>0);
(4)(x≥3); (5)()2+
解:(1)原式=(-2)2×()2=4×5=20；
(2)原式=
(3)原式==2x；
(4)原式==x-3；
(5)原式=11+13=24.
11.若，化简：.
解：∵，
∴，，，
．
12.已知a、b满足求ab的值.
解：∵，
∴
∴
∴当时，
则 解得：，
∵，
∴或
解得：或
∴或
当时，则无解，舍去，
综上：或
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
即：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
a (a≥0)
-a (a＜0)
性质一：
性质二：
回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab， ，-x3， ， (a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
代数式书写格式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“ ”代替乘号或省略不写.
如：a×b通常写作a b或ab.
2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.
如：a×2通常写作2a.
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.
如：3×a通常写作a.
4.含有字母的除式中用分数线代替除号.
如：3÷y通常写作:.
5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.
如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.
谢谢
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