圆锥曲线与方程综合题专练
1．(2015·湖南文，20)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且A与B同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
[解析] (1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1 ①；
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±，)，
∴＋＝1②，
联立①②得a2＝9，b2＝8，故C2的方程为
＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
C(x3，y3)，D(x4，y4)，
因与同向，且|AC|＝|BD|，
所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x3－x4＝x1－x2，于是
(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2 ③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，由得x2－4kx－4＝0，
由x1，x2是这个方程的两根，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4 ④
由
得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
而x3，x4是这个方程的两根，
x3＋x4＝－，x3x4＝－ ⑤
将④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋.
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，
即直线l的斜率为±.
2．(2015·安徽文，20)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
[解析] (1)∵|BM|＝2|MA|且A(a,0)，B(0，b)，
∴M(a，b)．又∵OM的斜率为，
∴＝?＝?＝
?＝?e＝.
(2)由题意可知N点的坐标为(，－)，
∴kMN＝＝＝，kAB＝，
∴kMN·kAB＝－＝－1.∴MN⊥AB.
3．(2015·广东文，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析] (1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，由圆的性质可得C1M垂直于直线l.
设直线l的方程为y＝mx(易知直线l的斜率存在)，所以kC1M·m＝－1，y0＝mx0，所以·＝－1，所以x－3x0＋y＝0，即2＋y＝.
因为动直线l与圆C1相交，所以＜2，所以m2＜，
所以y＝m2x＜x，所以3x0－x＜x，解得x0＞或x0＜0，又因为0＜x0≤3，所以＜x0≤3.
所以M(x0，y0)满足2＋y＝，
即M的轨迹C的方程为2＋y2＝.
(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线．
结合图形，2＋y＝表示的是一段关于x轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴下方的圆弧．设P，则kPT＝＝，而当直线L与轨迹C相切时，＝，解得k＝±.在这里暂取k＝，因为＜，所以kPT＜k.
可得对于x轴下方的圆弧，当0≤k≤或k＝时，直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－≤k≤或k＝±.
综上所述：当－≤k≤或k＝±时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一交点．
4．(2015·陕西文，20)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
[解析] (1)由题意知＝，b＝1，综合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以，椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得
(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋
＝＋
＝2k＋(2－k)(＋)
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k－2(k－1)＝2.
5．(2015·天津文，19)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.
(1)求直线BF的斜率；
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
(i)求λ的值；
(ii)若|PM|sin∠BQP＝，求椭圆的方程．
[解析] (1)F(－c,0)，由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c，又因为B(0，b)，F(－c,0)
故直线BF的斜率k＝＝＝2.
(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
(i)由(1)可得椭圆方程为＋＝1，
直线BF的方程为y＝2x＋2c，
两方程联立消去y，得3x2＋5cx＝0，
解得xP＝－.
因为BQ⊥BP，
所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，
与椭圆方程联立，消去y，得21x2－40cx＝0，
解得xQ＝.
又因为λ＝，及xM＝0，
得λ＝＝＝.
(ii)由(i)得＝，
所以＝＝，
即|PQ|＝|PM|，
又因为|PM|sin∠BQP＝，
所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝
|PM|sin∠BQP＝.
又因为yP＝2xP＋2c＝－c，
所以|BP|＝＝c，
因此c＝，c＝1，
所以椭圆方程为＋＝1.
6．(2015·新课标Ⅱ卷文，20)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解析] (1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把y＝kx＋b代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝，于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．
模块检测卷 选修1－1
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命题p：a∈(A∩B)，则命题?p为( )
A．a∈A B．a∈?UB
C．a∈(A∪B) D．a∈(?UA∪?UB)
[答案] D
[解析] p：a∈(A∩B)，?p：a?(A∩B)即a∈?U(A∩B)，
又?U(A∩B)＝?UA∪?UB，所以选D.
2．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由(m－1)(a－1)>0等价于或，由logam>0等价于或，所以条件仅具有必要性，故选B.
3．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)、F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1、B2，若△F1B1B2为等边三角形，则椭圆C的方程为( )
A．4x2＋3y2＝1 B．4y2＋3x2＝1
C.＋3y2＝1 D．3x2＋＝1
[答案] C
[解析] 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．根据题意知，解得a2＝，b2＝，故椭圆C的方程为＋＝1，即＋3y2＝1.
4．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D．
[答案] B
[解析] ∵y＝－3lnx(x>0)，∴y′＝－.再由导数的几何意义，有－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．
5．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
[答案] C
[解析] 依题意，e＝，e2＝＝>2，得1＋m>2，所以m>1，选C.
6．(2015·湖南文，8)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[答案] A
[解析] 求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，函数的定义域为(－1,1)，函数f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，所以函数是奇函数．f′(x)＝＋＝，已知在(0,1)上f′(x)＞0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.
7．(2013·河南安阳中学高二期末)f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
[答案] A
[解析] 令F(x)＝xf(x)，(x>0)，则F′(x)＝xf ′(x)＋f(x)≤0，∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∵0F(b)，即af(a)>bf(b)，与选项不符；
由于xf ′(x)＋f(x)≤0且x>0，f(x)≥0，∴f ′(x)≤－≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∵0f(b)，
∴bf(a)>af(b)，结合选项知选A.
8．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4 B．－4C．2[答案] D
[解析] f ′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，
由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)
＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28
＝4(m2－6m＋8)≤0，
∴2≤m≤4，故选D.
9．(2015·浙江文，5)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图像可能为( )
A． B．
C． D.
[答案] D
[解析] 因为f(－x)＝(－x＋)cos x＝－(x－)·cos x＝－f(x)，故函数是奇函数，所以排除A，B；取x＝π，则f(π)＝(π－)cos π＝－(π－)<0，故选D.
10．(2014·江西文，9)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝x，
由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，
∴|FA|＝|FO|＝r＝4.
∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝x的交点，
∴可求得A点坐标为A(a，b)．
∴在Rt△ABO中，|OA|2＝＝＝c＝|OF|＝4，
∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2，
∴双曲线的方程为－＝1，故选A.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．(2014·深圳高级中学月考)给出如下四个命题：
①若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的否命题为“若x<2且y<3，则x＋y<5”；
③在△ABC中，“A>45°”是“sinA>”的充要条件；
④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．
其中正确命题的个数是________．
[答案] 2
[解析] ①若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，所以①正确．②同时否定条件和结论得原命题的否命题是：“若x<2或y<3，则x＋y<5”，所以②错误．③在△ABC中，当A＝150°时，sinA<，所以③错误．④因为命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，所以它的逆否命题也是真命题，所以④正确．则正确命题的个数为2.
12．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－3＝0
[解析] y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
13．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，0]
[解析] ∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
14．已知椭圆＋＝1内有两点A(1,3)，B(3,0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为________．
[答案] 15
[解析] 在椭圆中，由a＝5，b＝4得c＝3，故焦点坐标为(－3,0)和(3,0)，则点B是右焦点，记另一焦点为C(－3,0)，则由椭圆定义得|PB|＋|PC|＝10，从而|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，又||PA|－|PC||≤|AC|＝5，故当点P，A，C共线时，|PA|＋|PB|取得最大值，最大值为15.
15．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是________．
[答案] 2n＋1－2
[解析] ∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.
f ′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.
在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.
∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．
令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，
∴an＝(n＋1)·2n，
∴数列的前n项和为＝2n＋1－2.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．(1)设集合A＝{x|－2－a0}．命题p：1∈A；命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围；
(2)已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] (1)若命题p为真，则－2－a<11；若命题q为真，则－2－a<22.因为p∨q为真，p∧q为假，所以p，q一真一假．当p真q假时，1所以a的取值范围是(1,2]．
(2)由x2－x－2>0，得x>2或x<－1，令A＝{x|x>2或x<－1}；由4x＋m<0，得x<－，令B＝{x|x<－}．
因为p是q的充分条件，所以B?A，于是－≤－1，得m≥4，所以实数m的取值范围是[4，＋∞)．
17．已知双曲线过点P(－3，4)，它的渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值．
[答案] (1)－＝1 (2)
[解析] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－3的点P′的纵坐标的绝对值为4.
∵4>4，∴双曲线的焦点在x轴上，
设方程为－＝1.
∵双曲线过点P(－3，4)，
∴－＝1 ①
又∵＝ ②，
由①②，得a2＝9，b2＝16，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知|d1－d2|＝2a＝6.
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝.
18．(2014·成都质量检测)已知函数f(x)＝－x2＋2x－aex.
(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
[答案] (1)y＝(1－e)x＋ (2)(－∞，－]
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋2x－ex，
则f(1)＝－×12＋2×1－e＝－e，
f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－(－e)＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋.
(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
∵f(x)＝－x2＋2x－aex，f′(x)＝－x＋2－aex，
于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，
即a≤在R上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减
极小值－
增
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值，
即g(x)min＝－，所以a≤－，
即实数a的取值范围是(－∞，－]．
19．(2013·海淀区高二期中)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
[答案] (1)3 (2)1
[解析] (1)f ′(x)＝a2x2－4ax＋b，
由题意f ′(0)＝b＝3.
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，
∴f ′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
①当a＝1时，f ′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
x、f ′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f ′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，
x、f ′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.
20．若直线l：y＝x－过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上截距的取值范围．
[解析] (1)由y＝x－得c＝2，＝，结合a2＋b2＝c2，
解得a＝，b＝1.
故双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，所以x1＋x2＝，
Δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>0?0设MN的中点为Q(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝kx0＋1＝.故直线m的方程为y－＝－(x－)，即y＝－x＋.
所以直线m在y轴上的截距为，
由0所以∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
即直线m在y轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
21．(2013·福州文博中学高二期末)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g()的大小关系；
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
[答案] (1)减区间(0,1) 增区间(1，＋∞) 最小值1 (2)0g() x>1时，g(x)[解析] (1)由题设知g(x)＝lnx＋，
∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)g()＝－lnx＋x，
设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则
h′(x)＝－.
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()．
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当0h(1)＝0，即g(x)>g()，
当x>1时，h(x)(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<对任意x>0成立?g(a)－1<，
即lna<1，从而得0第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题是真命题的是( )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x[答案] A
[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x＝－1时，B是假命题；当x＝y＝－1时，C是假命题；当x＝－2，y＝－1时，D是假命题．易知A是真命题．
2．设a∈R，则“a>1”是“<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a>1?<1，<1a>1，故选A.
3．“若a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．不是命题 D．假命题
[答案] A
[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．
4．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．充要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，
∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；
若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.
5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
6．(2014·辽宁理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p或q B．p且q
C．(?p)且(?q) D．p或(?q)
[答案] A
[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；
∵a∥b，b∥c，∴?λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，
∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．
∴p或q为真命题．
7．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A?B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] “若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A?B”为假，故其逆否命题为假．
8．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：x2<1是xA．p或q为真命题 B．p且q为假命题
C．?p且q为真命题 D．?p或?q为真命题
[答案] A
[解析] ∵a>1，∴Δ＝4－4a<0，∴x2＋2x＋a>0恒成立，∴p为真命题；
由x2<1得－19．“a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝－1时，方程为x2＋y2－2x－1＝0，
即(x－1)2＋y2＝2表示圆，
若a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则应满足
，解得a＝－1，故选C.
10．已知命题p：存在x0∈R，使mx＋1≤1；命题q：对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0.若p∨(?q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2]
C．[0,2] D．R
[答案] B
[解析] 对于命题p，由mx2＋1≤1，得mx2≤0，若p为真命题，则m≤0，若p为假命题，则m>0；
对于命题q，对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若命题q为真命题，则m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题q为假命题，则m<－2或m>2.
因为p∨(?q)为假命题，所以命题p为假命题且命题q为真命题，则有，得0二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l1垂直于直线l2，则它们的斜率之积为－1”的逆命题为________________________．
[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l1与直线l2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直
12．存在实数x0，y0，使得2x＋3y≤0，用符号“?”或“?”可表示为____________，其否定为________________．
[答案] ?x0，y0∈R,2x＋3y≤0 ?x，y∈R,2x2＋3y2>0
13．在平面直角坐标系中，点(2m＋3－m2，)在第四象限的充要条件是________．
[答案] －1[解析] 点(2m＋3－m2，)在第四象限??－114．给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，故x>1；
③命题“若a>b>0，且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直”的充分不必要条件．
其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)．
[答案] ①②③
[解析] ①中，x2＋2x>4x－3?x2－2x＋3>0?(x－1)2＋2>0，故①正确．
②中，显然x≠1且x>0，若01，故②正确
③中，命题“若a>b>0，且c<0，则>”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．
④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．
15．在下列所示电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；
(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；
(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件；
(4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的______条件．
[答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要
[解析] (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件．(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件．(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件．(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件．
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”
[答案] 逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题
[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题．
(4)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
18．指出下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形．
[答案] (1)p是q的必要不充分条件 (2)p是q的既不充分也不必要条件
[解析] (1)p是q的必要不充分条件．这是因为：若(x－2)(x－3)＝0，则x－2＝0或x－3＝0，即(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，而由x－2＝0可以推出(x－2)(x－3)＝0.
(2)p是q的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形四边形的对角线相等．
19．对于下列命题p，写出?p的命题形式，并判断?p命题的真假：
(1)p：91∈(A∩B)(其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；
(2)p：有一个素数是偶数；
(3)p：任意正整数都是质数或合数；
(4)p：一个三角形有且仅有一个外接圆．
[答案] (1)(2)(4)?p为假命题 (3)?p为真命题
[解析] (1)?p：91?A或91?B；假命题．
(2)?p：所有素数都不是偶数；假命题．
(3)?p：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．
(4)?p：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．
20．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若?p是?q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
[答案] [2,4]
[解析] 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴?p：x<1或x>5.
q：m－1≤x≤m＋1，
∴?q：xm＋1.
又∵?p是?q的充分而不必要条件，
∴，∴2≤m≤4.
经检验m＝2，m＝4适合条件，即实数m的取值范围为2≤m≤4.
∴m的取值范围为[2,4]．
21．(2014·马鞍山二中期中)设命题p：f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1,1]恒成立，若(?p)且q为真，试求实数m的取值范围．
[答案] m>1
[解析] 对命题p：x－m≠0，又x∈(1，＋∞)，故m≤1，
对命题q：|x1－x2|＝＝对a∈[－1,1]有≤3，
∴m2＋5m－3≥3?m≥1或m≤－6.
若(?p)且q为真，则p假q真，
∴∴m>1.
第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由(kx＋1)2＝x，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，则当k≠0时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1>0，得k<且k≠0.故“k≠0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”，但“直线l与抛物线C有两个不同的交点”能推出“k≠0”．故选B.
2．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为( )
A．{－1，－，1，} B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．{－，} D．(－∞，－1)∪[，＋∞)
[答案] A
[解析] 由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，所以1－k2＝0或，解得k＝±1或k＝±.
3．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] C
[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A、B、D，选C.
4．(2015·新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
[答案] B
[解析] 因为y2＝8x，抛物线方程为y2＝2px，焦点坐标为(，0)，所以焦点为(2,0)．因为E右焦点与抛物线焦点重合，所以c＝2，设椭圆方程为＋＝1，离心率e＝＝，所以a＝4，
b2＝a2－c2＝16－4，则椭圆方程为＋＝1，抛物线准线为x＝－＝－2，当x＝－2时，y＝±3，则|AB|＝2×3＝6.故本题正确答案为B.
5．(2015·湖南文，6)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 由题利用双曲线的渐近线方程经过的点(3，－4)，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝，故选D.
6．(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积( )
A．5 B．10
C．20 D．
[答案] B
[解析] 设P(x0，y0)，则由抛物线定义知x0＋1＝5，
∴x0＝4
故y0＝4，所以S△MPF＝×5×4＝10.
7．已知a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2( )
A．大于0且小于1 B．大于1
C．小于0 D．等于1
[答案] C
[解析] ∵lge1＋lge2＝lg＋lg
＝lg8．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
[答案] C
[解析] 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p×40,2p＝，所以抛物线的方程应为y2＝x，所给选项中没有y2＝x，但方程x2＝－y中的“2p”值为，所以选项C符合题意．
9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )
A．2 B．3
C. D．9
[答案] B
[解析] 由题意双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，代入抛物线方程y＝x2＋2整理得x2－x＋2＝0，
因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－)2－8＝0，
即()2＝8，
∴此双曲线的离心率e＝＝＝＝3.故选B.
10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，对以下结论：
①△ABF2的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝.其中正确结论的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] A
[解析] ①由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝4，|BF1|＋|BF2|＝4，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，所以△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，①正确；
②由条件，得F1(－，0)，因为过F1且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，故直线l的方程为y＝x＋，原点到l的距离d＝＝1，故②正确；
③由，消去y，得3x2＋4x＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＋x2＝－，x1·x2＝0，
所以|AB|＝·＝，故③正确．
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝________.
[答案] ±8
[解析] 椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m＝±8.
12．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为________．
[答案] 26
[解析] 由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a＝8，|BF1|－|BF2|＝8，
∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝16.
又∵|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝5，
∴|AF1|＋|BF1|＝16＋5＝21.
∴△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26.
13．(2014·哈三中二模)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y2＝8x的准线的一个交点的纵坐标为－1，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] 抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，∴交点坐标为(－2，－1)，∴双曲线的渐近线方程y＝x，即＝，∴e＝＝.
14．曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
[答案] (，＋∞)
[解析] 由
得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，
Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝48k－20.
∴Δ>0，即k>时，直线与曲线有两个不同的交点．
15．一个正三角形三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为________．
[答案] 48
[解析] 设△ABC的顶点C在原点，则直线AB⊥x轴，
由
得A(12,4)，B(12，－4)，
∴S△ABC＝×8×12＝48.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．求下列双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(6，)的双曲线；
(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线．
[答案] (1)－＝1 (2)－＝1
[解析] (1)∵双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：－＝1(20－a2>0)
又点(6，)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝18或80(舍去)，
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为＋＝1，
其焦点坐标为(±，0)，
∴所求双曲线的焦点为(±，0)，
设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)
∵双曲线的渐近线为y＝±x，
∴＝，∴＝＝＝，
∴a2＝8，b2＝2，
即所求的双曲线方程为：－＝1.
17．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶离水面的距离为8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若矩形的长|CD|＝9m，那么矩形的高|DE|不能超过多少m才能使船通过拱桥？
[答案] 6m
[解析] 如图，以O点为原点，过O且平行于AB的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则B(9，－8)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵点B在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，
∴p＝，
∴抛物线的方程为x2＝－y，
∴当x＝时，y＝－2，∴|DE|＝6，
∴当矩形的高|DE|不超过6m时，才能使船通过拱桥．
18．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：
(1)x1x2为定值；
(2)＋为定值．
[证明] (1)抛物线y2＝2px的焦点为F(，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－)(k≠0)．
由消去y，
得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.
由根与系数的关系，得x1x2＝(定值)．
当AB⊥x轴时，x1＝x2＝，x1x2＝，也成立．
(2)由抛物线的定义，知|FA|＝x1＋，
|FB|＝x2＋.
＋＝＋
＝
＝＝(定值)．
当AB⊥x轴时，|FA|＝|FB|＝p，上式仍成立．
19．(2014·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|.
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[答案] (1) (2)
[解析] (1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组
消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
20．已知双曲线－＝1的离心率e＝，过A(a,0)，B(0，－b)的直线到原点的距离是.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝kx＋5(k≠0)交双曲线于不同的点C，D，且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值．
[答案] (1)－y2＝1 (2)±
[解析] (1)双曲线的离心率e＝＝. ①
过A，B的直线为－＝1，
即bx－ay－ab＝0.
∵原点到直线AB的距离为，
∴＝＝， ②
由①②，得b＝1.
∴＝＝1＋＝.
∴a2＝3，∴双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由，得(1－3k2)x2－30kx－78＝0.
∴x1＋x2＝.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋5＝.
∴MB的斜率kMB＝＝－.
∴x0＋ky0＋k＝0，
即＋＋k＝0.
解得k2＝7，∴k＝±.
21．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
[答案] (1)∪ (2)k值不存在
[解析] (1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程整理得x2＋2kx＋1＝0. ①
∵直线l与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，x1＋x2＝－. ②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. ③
又A(，0)，B(0,1)，∴＝(－，1)．
∵＋与共线，
∴x1＋x2＝－(y1＋y2)， ④
将②③代入④式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.
第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．y＝2x＋6从x＝2到x＝2.5的平均变化率是( )
A．0 B．0.5
C．2 D．2.5
[答案] C
[解析] y＝2x＋6从x＝2到x＝2.5的平均变化率是＝＝2，故选C.
2．已知物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若v＝，当Δt趋于0时，v趋近于9.8m/s，则9.8m/s( )
A．是物体从0s到1s这段时间的平均速度
B．是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．是物体在t＝1s这一时刻的瞬时速度
D．是物体在t＝Δts这一时刻的瞬时速度
[答案] C
[解析] 根据瞬时变化率的概念可知．
3．物体运动方程为s＝t4－3t2，则t＝4时的瞬时速度为( )
A．4 B．64
C．16 D．40
[答案] D
[解析] ∵s′＝(t4－3t2)′＝t3－6t，
∴s′(4)＝43－6×4＝40.
4．f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是( )
A．－ B．－3
C．－1 D．3
[答案] D
[解析] 因为f′(x)＝x2＋2，所以f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.
5．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f(x)的图像过原点，且满足 ＝－1，则f ′ (0)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] B
[解析] ∵f(x)图像过原点，∴f(0)＝0，
∴f ′(0)＝ ＝ ＝－1，
∴选B.
6．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
[答案] A
[解析] ∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
∴k1＝cos0＝1，k2＝cos＝0，
∴k1>k2.
7．曲线y＝x3，x>0在点P处的切线的斜率为k，当k＝12时，P点坐标为( )
A．(－8，－2) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．(－，－)
[答案] C
[解析] 设点P的坐标为(x0，y0)(x0>0)，
∴k＝3x＝12，∴x0＝±2，∴x＝2，
∴P点坐标为(2,8)，故选C.
8．(2013·山西省太原五中月考)已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( )
A. B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D.
9．(2013·烟台质检)已知二次函数f(x)的图像如图所示，则其导函数f ′(x)的图像大致形状是( )
[答案] B
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，显然f ′(x)的图像为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.
10．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
[答案] C
[解析] f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′
∴f′(0)＝a1a2…a8.
∵{an}为等比数列，a1＝2，a8＝4，
∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．设f(x)＝＋，则f′()＝________.
[答案] －＋2
[解析] f′(x)＝(＋)′＝－＋，
∴f′()＝＋＝－＋2.
12．(2014·杭州质检)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)>0的解集为________．
[答案] (2，＋∞)
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝2·＝2·，f ′(x)>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
13．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
[答案] 4
[解析] y′＝，切线方程为y－＝(x－a)，
令x＝0得，y＝，
令y＝0得，x＝－a，
由题意知··a＝2，∴a＝4.
14．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝____________.
[答案] 6
[解析] ∵f′(x)＝6x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝12＋2f′(2)．
∴f′(2)＝－12.
∴f′(x)＝6x－24.
∴f′(5)＝30－24＝6.
15．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上正确的序号)
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋.
[答案] ①③⑤
[解析] ①中的函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x0)＝f′(x0)，则x＝2x0，解得x0＝0或2，故①中函数存在巧值点；对于②中的函数，要使f(x0)＝f′(x0)，则e－x0＝－e－x0，易知此方程无解，故②中函数不存在巧值点；对于③中的函数，要使f(x0)＝f′(x0)，则lnx0＝，由于函数y＝lnx与y＝的图像有交点，因此方程有解，故③中函数存在巧值点；对于④中的函数，要使f(x0)＝f′(x0)，则tanx0＝，即sinx0cosx0＝1，显然无解，故④中函数不存在巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x0)＝f(x0)，则x0＋＝1－，即x－x＋x0＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，则g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，显然函数g(x)在(－1,0)上有零点，故⑤中函数存在巧值点．
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；
(2)f(x)＝2－2sin2；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝2tanx.
[答案] (1)f′(x)＝3x2＋2x－1 (2)f′(x)＝－sinx (3)f′(x)＝ (4)f′(x)＝
[解析] (1)因为f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，
所以f′(x)＝3x2＋2x－1.
(2)因为f(x)＝2－2sin2＝1＋cosx，
所以f′(x)＝－sinx.
(3)f′(x)＝
＝.
(4)因为f(x)＝2tanx＝，
所以f′(x)＝
＝＝.
17．求曲线y＝f(x)＝x2－3x＋2lnx在(3，f(3))处切线的斜率及切线方程．
[答案] 斜率 切线方程y＝x－＋2ln3
[解析] 由已知x>0，
∴f′(x)＝x－3＋.
曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为f′(3)＝.又f(3)＝－9＋2ln3＝－＋2ln3.
∴方程为y－(－＋2ln3)＝(x－3)，
即y＝x－＋2ln3.
18．求过原点作曲线C：y＝x3－3x2＋2x－1的切线方程．
[答案] x＋y＝0或23x－4y＝0
[解析] 设切点为(x0，y0)，
∵y′＝3x2－6x＋2，
∴切线斜率为3x－6x0＋2，
∴切线方程为y－y0＝(3x－6x0＋2)(x－x0)
∵切点在曲线C，
∴y0＝x－3x＋2x0－1， ①
又切线过原点，
∴－y0＝(3x－6x0＋2)(－x0)， ②
由①②得0＝－2x＋3x－1，
∴2x－3x＋1＝0，
因式分解得：(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
∴x0＝1或x0＝－，
∴两个切点为(1，－1)，(－，－)
∴两条切线方程为y＋1＝－1(x－1)和y＋＝(x＋)
即x＋y＝0或23x－4y＝0.
19．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．
[答案] (1)16℃ (2)1.6℃ (3)t＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min
[解析] (1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)平均变化率为＝－＝－1.6(℃)．
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.
(3)T′(5)＝ ＝－1.2，
它表示t＝5时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.
20．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式．
[答案] f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16
[解析] ∵f(x)＝2x3＋ax的图像过点P(2,0)，
∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x.
∴f′(x)＝6x2－8.
对于g(x)＝bx2＋c的图像过点P(2,0)，得4b＋c＝0.
又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.
∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.
综上，可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
21．求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是一元三次函数，且f(0)＝0，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(3)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
[答案] (1)f(x)＝x3－x2 (2)f(x)＝2x2＋2x＋1
[解析] (1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知，得，
解之，得a＝，b＝－，c＝0，d＝0.
故f(x)＝x3－x2.
(2)由于f′(x)为一次函数，则f(x)必为二次函数．
令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
代入x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1中，
x2(2ax＋b)＋(－2x＋1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(－b＋a)x2＋(b－2c)x＋(c－1)＝0，
由多项式恒等的条件知，
解之，得.
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
第四章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] A
[解析] f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)<0，解得x<2，即函数f(x)的单调递减区间是(－∞，2)．
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A．0 B．－4
C．－2 D．2
[答案] B
[解析] f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，
即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
3．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－3 B．－6
C．－2 D．0
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3，
∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
即f(x)在[－1,1]上是单调递增的，
故当x＝1时，f(x)max＝－6.
4．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.
5．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosx
C．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝
[答案] B
[解析] 对于A，f ′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f ′(x)＝sinx，当x∈(－π，0)时，f ′(x)<0，当x∈(0，π)时，f ′(x)>0，故f(x)＝－cosx在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f ′(x)＝cosx－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.
6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－，)
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．[－，]
[答案] D
[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x)的图像是开口向下的抛物线，∴f ′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－≤a≤，故选D.
7．如图是函数y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断：
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
[答案] B
[解析] 由函数y＝f(x)的导函数的图像可知：
(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；
(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．
8．(2014·银川九中二模)已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图像是( )
[答案] A
[解析] f(x)＝x2＋cosx，f′(x)＝x－sinx，
∵－1≤sinx≤1，且f ′(－x)＝－f ′(x)，
∴f ′(x)为奇函数，排除B、D；
令g(x)＝x－sinx，则g′(x)＝－cosx，
当x∈(0，)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，)上为减函数，
即f ′(x)在(0，)上为减函数，排除C，故选A.
9．(2013·华池一中高二期中)若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 令f(x)＝x3－3x＋m，则f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，显然当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当－1∴在x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m＋2，在x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m－2.
∵f(x)＝0在[0,2]上有解，∴
∴∴－2≤m≤2.
10．(2014·天门市调研)已知函数f(x)＝asinx－bcosx在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是( )
A．偶函数且图像关于点(π，0)对称
B．偶函数且图像关于点(，0)对称
C．奇函数且图像关于点(，0)对称
D．奇函数且图像关于点(π，0)对称
[答案] D
[解析] ∵f(x)的图像关于x＝对称，
∴f(0)＝f()，∴－b＝a，
∴f(x)＝asinx－bcosx＝asinx＋acosx＝asin(x＋)，
∴f(－x)＝asin(－x＋)＝asin(π－x)＝asinx.
显然f(－x)是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．
[答案] c<
[解析] ∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0.
解得c<.
12．函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．
[答案] －1
[解析] f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，即x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值－1
单调递减
1－e
由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而f(x)max＝f(1)＝－1.
13．(2014·沈阳质检)已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)，且f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________．
[答案] 8
[解析] ∵f(x)＝x(x－a)(x－b)，
∴f′(x)＝(x－a)(x－b)＋x[(x－a)(x－b)]′，
∴f′(0)＝ab＝4，∴a2＋2b2≥2ab＝8.
14．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
[答案] －19
[解析] y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
15．(2014·哈六中期中)已知函数f(x＋2)是偶函数，x>2时f ′(x)>0恒成立(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，且f(4)＝0，则不等式(x＋2)f(x＋3)<0的解集为________．
[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)
[解析] ∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴其图像关于y轴对称，∵y＝f(x＋2)的图像向右平移两个单位得到y＝f(x)的图像，∴函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∵x>2时，f ′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f(4)＝0，∴f(0)＝0，∴04时，f(x)>0，
由(x＋2)f(x＋3)<0得(1)
或(2)
由(1)得∴x<－3；
由(2)得∴－2综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1)
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a∈R，b∈R)．若a>0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式．
[答案] f(x)＝x3＋3x2＋1
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax2＋b，∴f′(x)＝3x2＋2ax.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.
又∵a>0，∴－<0.
∴当x<－或x>0时，f′(x)>0；
当－∴f(x)在(－∞，－)和(0，＋∞)上是增函数，在(0，)上是减函数．
∴f(－)是f(x)的极大值，f(0)是f(x)的极小值，
即f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b＝5；f(0)＝b＝1，解得a＝3，b＝1.
∴所求的函数解析式是f(x)＝x3＋3x2＋1.
17．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)
(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
[答案] (1)a＝－3或a＝1，b＝0 (2)(－5，－)∪(－，1)
[解析] (1)f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
由于函数f(x)的图像过原点，则f(0)＝0，从而b＝0，
又函数图像在原点处的切线斜率是－3，则f′(0)＝－3，
所以－a(a＋2)＝－3，解得a＝－3或a＝1.
(2)令f′(x)＝0，即3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0，解得x1＝a，x2＝－.
由于函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，则有
，或，
解得，或.
所以a的取值范围是(－5，－)∪(－，1)．
18．(2015·北京文，19)设函数f(x)＝－kln x，k＞0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
[答案] (1)f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；极小值 (2)略
[解析] (1)由f(x)＝－kln x，(k＞0)得
f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0解得x＝.
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
?
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)；
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k＞e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，
且f(1)＝＞0，f()＝＜0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间( 1，]上仅有一个零点.
19．在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子如图，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
[答案] 箱底的边长是40cm时，容积最大，最大容积16000cm3
[解析] 设箱底边长为xcm，则箱高h＝cm，得箱子容积V(x)＝x2h＝(0V′(x)＝60x－(0令V′(x)＝60x－＝0，解得x＝0(舍去)，x＝40，
并求得V(40)＝16000.
由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，
故当x＝40cm时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm3.
20．已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．
(1)当a＝2时，求f(x)的图像在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．
[答案] (1)y＝2x－1 (2)(1,2＋]
[解析] (1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝.
∵x∈[，e]，∴当g′(x)＝0时，x＝1.当0；当1又g()＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g()＝4－e2＋<0，则g(e)∴g(x)在[，e]上的最小值是g(e)．
而g(x)在[，e]上有两个零点，则
，解得1∴实数m的取值范围是(1,2＋]．
21．(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；
(3)证明：对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
[答案] (1)f(x)＝x3－3x (2)增区间(－∞，－1)，(1，＋∞)；减区间(－1,1) 极大值2 (3)略
[解析] (1)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，
∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．
∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c，
又当x＝1时，f(x)取得极值－2，
∴即解得
∴f(x)＝x3－3x.
(2)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，
当－1当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．
因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.
(3)由(2)知，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，且f(x)在区间[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2.最小值为m＝f(1)＝－2.∴对任意x1、x2∈(－1,1)，
|f(x1)－f(x2)|即对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
阶段性检测(第一章、第二章)
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x＝2，则x2＋x－6＝0”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 显然x＝2是方程x2＋x－6＝0的根，原命题为真命题；逆命题为“若x2＋x－6＝0，则x＝2”，因为方程还有另一根－3，故为假命题；根据互为逆否的两个命题同真假，可知逆否命题为真命题，否命题为假命题，因此真命题的个数为2.
2．已知命题p：?x2>x1,2x2>2x1，则?p是( )
A．?x2>x1,2 x2≤2 x1 B．?x2>x1,2 x2≤2 x1
C．?x2>x1,2 x2<2 x1 D．?x2>x1,2 x2<2 x1
[答案] B
[解析] 命题p为全称命题，否定应为特称命题，故为?p：?x2>x1,2 x2≤2 x1，故选B.
3．(2014·浙江文，2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.
4．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )
A.> B．<
C.> D．<
[答案] A
[解析] 方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴b<0，∴>.
5．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] 由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.
6．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
[答案] C
[解析] 设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.
7．(2014·银川一中检测)下列说法正确的是( )
A．命题“?x0∈R，x＋2x0＋3<0”的否定是：“?x∈R，x2＋2x＋3>0”
B．若a∈R，则“<1”是“a>1”的必要不充分条件
C．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则?p是真命题
D．若命题p：“?x∈R，sinx＋cosx≤”，则?p是真命题
[答案] B
[解析] A中，命题的否定应为“?x∈R，x2＋2x＋3≥0”；易知B正确；C中，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q中有一个是假命题，不能确定p是假命题；D中，?x∈R，sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，因此p是真命题，?p是假命题．
8．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．线段 B．直线
C．圆 D．椭圆
[答案] D
[解析] 如右图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D.
9．(2014·陕西工大附中四模)F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a，∴|AB|＝|BF1|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＋|AF2|－|BF2|＝(|BF1|－|BF2|)＋(|AF2|－|AF1|)＝4a，
∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a，
在△BF1F2中，∠ABF2＝60°，
由余弦定理，|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2＝2|BF1|·|BF2|·cos60°，
∴36a2＋16a2－4c2＝24a2，∴7a2＝c2，
∵e>1，∴e＝＝，故选D.
10．命题p：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，若“p且q”为假命题，“p或q”真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，1]∪[2，＋∞) B．(－2，2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，2)
[答案] A
[解析] ∵方程x2＋ax＋2＝0无实根，
∴△＝a2－8<0，
∴－2∴p：－2∵函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1.
∴q：a>1.
∵p且q为假，p或q为真，
∴p与q一真一假．
当p真q假时，－2当p假q真时，a≥2.
综上可知，实数a的取值范围为(－2，1]∪[2，＋∞)．
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)
11．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
[答案] 1
[解析] 因为命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图像不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.
12．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________．
[答案] 4
[解析] 过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．
13．(2014·天津和平区期末质检)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5?3两段，则此双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] y2＝2bx的焦点为(，0)，
－＝1的右焦点为(c,0)，
由题意可知：c－＝×2c，即c＝2b，
而e2＝()2＝＝＝＝，则
e＝.
14．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为________．
[答案] 32
[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由，得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.
当直线的斜率存在时，其方程为y＝k(x－4)，
由，得ky2－4y－16k＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32，
综上可知y＋y≥32.
∴y＋y的最小值为32.
15．椭圆mx2＋ny2＝1与直线l：x＋y＝1交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线斜率为，则＝________.
[答案]
[解析] 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴mx＋ny＝1 ①
mx＋ny＝1 ②
又＝－1，∴①－②得：m－n·＝0，
∵＝＝，
∴m＝n，∴＝.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)
16．设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] 设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，
易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由p是q的充分不必要条件，即A?B，
所以解得0≤a≤.经检验知当a＝0和a＝时均符合题意．
故所求实数a的取值范围是[0，]．
17．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[证明] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)证明如下：
若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
18．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)．
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P，F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为P′，F′1，F′2，求以F′1，F′2为焦点且过点P′的双曲线的标准方程；
(3)求过(2)中的点P′的抛物线的标准方程．
[答案] (1) ＋＝1 (2)－＝1 (3)y2＝x或x2＝y
[解析] (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其半焦距c＝6.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝6，
∴a＝3，b2＝a2－c2＝45－36＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)关于直线y＝x的对称点分别为P′(2,5)，F′1(0，－6)，F′2(0,6)，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a1>0，b1>0)，由题意知半焦距c1＝6.
∵2a1＝||P′F′1|－|P′F′2||＝|－|＝4，
∴a1＝2，b＝c－a＝36－20＝16.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设抛物线方程为y2＝2px或x2＝2p1y，
∵抛物线过P′(2,5)，
∴25＝4p或4＝10p1，
∴p＝或p1＝.
∴抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
19．(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
[答案] (1)＋＝1 (2)(，－)
[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．
20．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A、B两点，若＝2，求直线l的方程．
[答案] (1)＋＝1 (2)x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0
[解析] (1)设椭圆方程为＋＝1，(a>b>0)，
∵c＝1，＝，∴a＝2，b＝，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx＋1，则由消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴
由＝2得x1＝－2x2，
∴消去x2得()2＝，
解得k2＝，∴k＝±，
所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
21．(2014·郑州市质检)已知平面上的动点R(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线RA、RB的斜率分别为k1、k2，且k1·k2＝－， 设动点R的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点S(4,0)的直线与曲线C交于M、N两点，过点M作MQ⊥x轴，交曲线C于点Q. 求证：直线NQ过定点，并求出定点坐标．
[答案] (1)＋＝1(y≠0) (2)D(1,0)
[解析] (1)由题知x≠±2，且k1＝，k2＝，则·＝－，
整理得，曲线C的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设NQ与x轴交于D(t,0)，则直线NQ的方程为x＝my＋t(m≠0)，
记N(x1，y1)，Q(x2，y2)，由对称性知M(x2，－y2)，
由消去x得：(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
所以Δ＝48(3m2＋4－t2)>0，且y1,2＝，
故
由M、N、S三点共线知kNS＝kMS，即＝，
所以y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0，
整理得2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0，
所以＝0，即24m(t－1)＝0，t＝1，
所以直线NQ过定点D(1,0)．
