第三章 3.1 3.1.1
基础巩固
一、选择题
1．下列四个命题中，正确的命题共有( )
①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；
③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] A
[解析]
序号
正误
理由
①、④
×
倾斜角为90°时，斜率不存在，故①、④不正确
②
×
倾斜角的范围是[0°，180°)，故②不正确
③
×
虽然直线的斜率为tanα，但只有当α∈[0°，180°)时，α才是直线的倾斜角，故③不正确
2．已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为( )
A．(0,3) B．(0，－1)
C．(3,0) D．(－1,0)
[答案] C
[解析] 由题意可设P的坐标为(m,0)，则＝tan135°＝－1，解得m＝3.
3．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
[答案] D
[解析] 如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
4．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )
A．1 B．
C． D．－
[答案] B
[解析] ∵tanα＝，0°≤α<180°，∴α＝30°，
∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝.故选B．
5．如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
C．k3[答案] D
[解析] 可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，
所以k1<06．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
[答案] D
[解析] 过点P(2,1)的直线可以看作绕P(2,1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围．由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图．
若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，
∵kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.
[点评] 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素是：一个点P和一个倾斜角α，二者缺一不可．本题过点P(2,1)的直线的位置是不确定的，用运动变化的观点看问题是数形结合的技巧．
二、填空题
7．求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是0°，还是锐角、钝角或直角．
(1)C(18,8)，D(4，－4)，斜率为_________，倾斜角为_________；
(2)C(－1,2)，D(3,2)，斜率为_________，倾斜角为_________；
(3)C(0，－)，D(，0)(ab<0)斜率为_________，倾斜角为_________.
[答案] (1) 锐角 (2)0 0° (3) 钝角
8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为_________.
[答案] (－5,0)
[解析] 设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2×，解得x＝－5.
三、解答题
9．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：
(1)直线l1过原点，斜率为1；
(2)直线l2过点(3,0)，斜率为－；
(3)直线l3过点(－3,0)，斜率为；
(4)直线l4过点(3,1)斜率不存在．
[解析]
10．如右图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上．已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
[分析] →→
[解析] 因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的斜率角都是60°，斜率kOD＝kBC＝tan60°＝.
因为OB与x轴重合，DC＝OB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0°，斜率kOB＝kDC＝tan0°＝0.
由菱形的性质，知∠COD＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan30°＝；
直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，
斜率kBD＝tan120°＝－.
规律总结：解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图形的几何性质，解题时要注意倾斜角是几何图形中的夹角还是它的邻补角；也可以利用经过两点的直线的斜率公式，先求斜率，再求倾斜角．
能力提升
一、选择题
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
[答案] D
[分析] 画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在[0°，180°)内．
[解析] 根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
故选D．
规律总结：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
2．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1
[答案] C
[解析] 设直线l的倾斜角为α，则
kAB＝＝tanα＞0.
∴1－m2＞0，解得－1＜m＜1.
3．已知A(1,2＋1)，B(－1,1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为( )
A．1 B．
C． D．不存在
[答案] B
[解析] ∵kAB＝＝，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°.其斜率k＝tan30°＝.
4．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，若60°＜α＜135°，则k的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－∞，－1)∪(，＋∞)
C．[－1，] D．(－∞，－1]∪[，＋∞)
[答案] B
[解析] 当60°＜α＜90°时，斜率的取值范围是(，＋∞)；当90°＜α＜135°时，斜率的取值范围是(－∞，－1)，故选B．
[点评] 求斜率的范围时，应把倾斜角的范围分成两部分，即0°≤α＜90°和90°＜α＜180°.
二、填空题
5．已知直线l1的斜率为，若直线l2和l1关于y轴对称，则直线l2的斜率为_________；若直线l2和l1关于直线y＝x对称，则直线l2的斜率为_________.
[答案] －
6．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝_________.
[答案]
[解析] 由于点A，B，C共线，则kAB＝kAC，
所以＝.所以ab＝3a＋3b.即＋＝.
三、解答题
7．直线l的斜率为k＝1－m2(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．
[解析] k＝1－m2≤1，所以当k∈[0,1]时，倾斜角α∈[0，]；当k∈(－∞，0)时，倾斜角α∈(，π)，故倾斜角的范围是[0，]∪(，π)．
8．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[分析] 结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA．
[解析] 如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA＝＝－1，直线PB的斜率kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，
故α的取值范围是45°≤α≤135°.
[点评] 这里要注意斜率k的范围不是－1≤k≤1，因为直线l经过的区域包含与x轴垂直的直线．本题一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时直线l的倾斜角和斜率的变化规律，通过对l的斜率的变化规律的分析，不难发现kPA与kPB是两个关键的数据．
课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章
为缓解日益严重的交通压力，各地都加大了基础设施建设的力度，先后投资发展轨道交通与城市高架桥建设，如图是高架桥的效果图，纵横交错的桥梁远远看去如一条条直线，有的相互平行，有的相互垂直，高架桥两边的护拦是平行的，而路灯的灯杆与护栏则是垂直的，如果我们把护栏与灯杆都看作直线，那么，从何角度研究直线以及如何研究呢？这就是本章将要学习的直线与方程．3.1 直线的倾角与斜率第三章3.1.1 倾斜角与斜率●知识衔接－tanα 1 －1 两 1．倾斜角●自主预习x上0°倾斜程度 倾斜角
[破疑点] 理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
2．斜率(倾斜角为α)正切值tanαR倾斜程度[破疑点] ①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x轴；
②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；
③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜角也越大；
④k>0?0°<α<90°；k＝0?α＝0°；k<0?90° <α<180°；k不存在?α＝90°.1．给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A●预习自测[解析] [答案] B3．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．2
C．－2 D．不存在
[答案] C (1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( )
A．0°≤β<180° B．15°<β<180°
C．15°≤β<180° D．15°≤β<195°
(2)已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________.直线的倾斜角的理解●互动探究
[探究] (1)直线倾斜角α的范围是什么？
(2)关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗？
[解析] (1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°.
(2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.
[答案] (1)D (2)0°或180°－α1 规律总结：1.理解直线的倾斜角首先要弄清以下几个问题：
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α＜180°.2．求直线倾斜角的方法及关注点：
(1)方法
定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．
分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：
α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
(2)关注点
结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为( )
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
[答案] D[解析] 解答本题可先借助直观图形，再利用倾斜角的定义求解．如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α，故选D．
[点评] 求直线的倾斜角主要是根据定义来求，它的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论的情形包括：0°角、锐角、直角和钝角． 已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围． 已知两点坐标求倾斜角和斜率 规律总结：(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围． 规律总结：1.对直线斜率公式的认识：
直线的斜率公式表明了直线相对于x轴正向的倾斜程度，可通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法先求倾斜角，再求斜率要更简便．
2．应用斜率公式时的注意事项：
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
特别提醒：在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．[探究] 1．当三点共线时，任意两点的连线的斜率(斜率存在时)有怎样的关系？
2．题2中求范围可用什么方法？直线的倾斜角与斜率的综合应用已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
[分析] 题中直线的倾斜角已知，且三点在同一条直线上，故可考虑根据点与斜率及其倾斜角之间的关系求解． 规律总结：用斜率公式可解决三点共线问题： 如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率．互相垂直直线倾斜角之间的关系●探索延拓 规律总结：充分挖掘题目中条件的相互联系，是正确解题的前提条件．(1)直线l1的倾斜角α1＝30°，若直线l2的倾斜角与直线l1的倾斜角相等，则直线l2的斜率为________.
(2)直线l1的倾斜角α1＝30°，若直线l2的倾斜角与直线l1的倾斜角互补，则直线l2的斜率为________. 求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．易错点 注意90°倾斜角●误区警示
[错因分析] 当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．直线l过点M(－2，m)，N(m,4)两点，则直线l的斜率为________.1．如下图，直线l的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．0° D．不存在
[答案] B[答案] A[答案] C
[解析] 利用斜率相等判断可知C正确．[答案] 60°或120°
5．已知直线l经过A(5，－3)、B(4，y)、C(－1,9)三点，则l的斜率为________，y＝________.
[答案] －2 －1第三章 3.1 3.1.2
基础巩固
一、选择题
1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( )
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．以上全错
[答案] B
[解析] 当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．
2．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是( )
①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)
②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；
③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0,5)．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
[答案] B
3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(0,1) D．(1,0)
[答案] B
[解析] 设l2与y轴交点为B(0，b)，
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
∴kOAkAB＝－1.
∴×＝－1，
解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．
4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．1
[答案] D
[解析] ∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，
∴y＝1.故选D．
5．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
[答案] D
[解析] 设P(0，y)，∵l1∥l2，∴＝2，
∴y＝3，故选D．
6．已知两点A(2,0)、B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O、A、B、C四点共圆，那么y的值是( )
A．19 B．
C．5 D．4
[答案] B
[解析] 由于A、B、C、O四点共圆，
所以AB⊥BC，∴·＝－1，∴y＝.
故选B．
二、填空题
7．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝_________.
[答案] 4
[解析] 由题意，得tan45°＝，解得a＝4.
8．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝_________.
[答案]
[解析] 由题意得AD⊥BC，则有kADkBC＝－1，
所以有·＝－1，解得m＝.
三、解答题
9．已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
[解析] (1)设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴，解得，
∴D(－1,6)．
(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD．∴?ABCD为菱形．
10．△ABC的顶点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
[解析] (1)若∠A＝90°，则AB⊥AC，kAB·kAC＝－1，
kAB＝＝－，kAC＝＝－.
∴－×(－)＝－1，∴m＝－7.
(2)若∠B＝90°，则BA⊥BC，kBA·kBC＝－1，
kBC＝＝m－1，kBA＝－，
∴(m－1)×(－)＝1，∴m＝3.
(3)若∠C＝90°，则CA⊥CB，kCA·kCB＝－1，
kCA＝＝－，kCB＝＝m－1，
kCA·kCB＝－1，∴(－)×(m－1)＝－1，
∴m2＝4，∴m＝±2.
综上所述，m＝－2,2，－7,3.
能力提升
一、选择题
1．下列各对直线不互相垂直的是( )
A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1,0)，Q(4，)
B．l1的斜率为－，l2过点A(1,1)、B(0，－)
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)、Q(4,2)
D．l1过点M(1,0)、N(4，－5)、l2过点A(－6,0)、S(－1,3)
[答案] C
[解析] A选项中，k1＝tan120°＝－，k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；B选项中，k1＝－，k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；C选项中，k1＝tan30°＝，k2＝，k1·k2≠－1，故l1与l2不垂直；D选项中，k1＝－，故k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2.
2．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则( )
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．α1＋α2＝180° D．|α1－α2|＝90°
[答案] D
[解析] 如图，如图可知|α1－α2|＝90°.
3．已知，过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)，D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
[答案] D
[解析] ∵由条件知过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．
4．(2013·辽宁)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3 B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
[答案] C
[分析] △OAB为直角三角形，没有指明哪个角为直角，所以要对A，B，O角分别为直角进行讨论，利用斜率的定义，两条直线相互垂直的条件找出参数，a，b的关系．
[解析] 显然角O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．
若A为直角，则根据A，B纵坐标相等，所以b－a3＝0.
若b为直角，则利用kOBkAB＝－1，得b－a3－＝0.
二、填空题
5．直线l过点A(0,1)和B(－2,3)，直线l绕点A顺时针旋转90°得直线l1，那么l1的斜率是_______；直线l绕点B逆时针旋转15°得直线l2，则l2的斜率是_______.
[答案] 1 －
[解析] ∵kAB＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°.
(1)∵l1与l垂直，∴kl1＝1.
(2)∵∠ABC＝15°，∠CDB＝135°，
∴∠β＝135°＋15°＝150°，
∴kl2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－.
6．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_________；若l1∥l2，则b＝_________.
[答案] 2 －
[解析] 当l1⊥l2时，k1k2＝－1，
∴－＝－1.∴b＝2.
当l1∥l2时，k1＝k2，
∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－.
三、解答题
7．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．
[解析] 当l1∥l2时，
由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，
则kAB＝kCD，即＝，解得m＝3；
当l1⊥l2时，
由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，
即·＝－1，解得m＝－.
综上，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为－.
8．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
[分析] 分类讨论直角梯形ABCD的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．
[解析] (1)如下图，当∠A＝∠D＝90°时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB．
∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1.
(2)如下图，当∠A＝∠B＝90°时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kABkBC＝－1.
∴
解得m＝，n＝－.
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.
课件47张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章3.1 直线的倾角与斜率第三章3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1．直线的倾斜角与斜率．
当直线倾斜角α≠90°时，斜率k＝__________.当直线倾斜角α＝90°时，斜率k__________．
直线倾斜角的范围是________________，直线斜率的取值范围是__________.●知识衔接tanα不存在0°≤α<180°k∈R2．在初中平面几何中两条直线平行的定义与判定方法
①定义：平面内两条直线__________公共点，则这两条直线平行．
②判定方法：(1)同位角_________；(2)内错角________；(3)同旁内角__________．
3．在初中平面几何中两条直线垂直的定义
平面内两条直线相交，而且它们的夹角是__________，那么这两条直线垂直．没有相等相等互补直角4．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为( )
A．0° B．135°
C．90° D．180°
[答案] C
5．直线l1的倾斜角为45°，l2∥l1，则l2的倾斜角为__________，若l2过点A(2,3)，B(－1，y)，则y＝________.45°01．平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2.
[破疑点] (1)当直线l1∥直线l2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．
(2)直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，当k1＝k2时，l1∥l2或l1与l2重合．
(3)对于不重合的直线l1，l2，其倾斜角分别为α，β，有l1∥l2?α＝β.●自主预习2．垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__________；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__________．－1互相垂直
[破疑点] 当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．
(1)平行：倾斜角相同，所过的点不同；
(2)重合：倾斜角相同，所过的点相同；
(3)相交：倾斜角不同；
(4)垂直：倾斜角相差90°.[答案] B●预习自测[答案] B3．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：
(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2；
(2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；
(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；
(4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)(4)都可能是两条直线重合，(1)(3)正确． 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．判断两直线平行●互动探究[探究] 根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况． 规律总结：判断两条直线是否平行的步骤
特别提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况．已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1,0)和D(0，－2)，试判断直线l1与l2的位置关系． 判断下列各题中的直线l1，l2是否垂直：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)，Q(2,1)；
(2)l2经过点A(3,4)，B(3,6)，l2经过点P(－5,20)，Q(5,20)；
(3)l1经过点A(2，－3)，B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)，D(4,2)．判断两条直线的垂直关系 规律总结：两条直线垂直的判定条件：
(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；
(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．
特别提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．已知四点A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] B 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
[探究] 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．两条直线平行与垂直的综合应用●探索延拓 规律总结：(1)在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．
(2)证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．
(3)判断四边形形状，要依据该四边形的特点，且不会产生其他情况．(1)已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2，3)，C(0，－4)，则D点坐标为________.
(2)已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则P点坐标为________.
[答案] (1)(3，－6)
(2)(0，－6)或(0,7)
[分析] 利用平行四边形的对边平行确定点D的坐标．易错点 忽略斜率不存在的特殊情形●误区警示
[错因分析] 只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2?k1·k2＝－1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．
[正解] 由题意知l2的斜率一定存在，l2的斜率则可能为0，下面对a进行讨论．
当k2＝0时，a＝5，此时k1不存在，所以两直线垂直．
当k2≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝0.
所以a的值为0或5.已知A(2，a＋1)，B(4,2a)，C(a＋1,1)，D(2a＋1,2)，问a为何值时，直线AB和直线CD的位置关系满足；
(1)平行．(2)垂直．
1．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A[解析]
2．直线l1的斜率为k1＝－3，直线l2的斜率为k2＝－3，则l1与l2( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．平行或重合
[答案] D[答案] D
4．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标为________.
[答案] (2,3)
[分析] 由长方形的性质知AD⊥CD，AD∥BC，则有kAD·kCD＝－1，kAD＝kBC，解方程组即可．5．判断下列各对直线是平行还是垂直：
(1)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)；
(2)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(0，－2)；
(3)l1经过点A(1,3)，B(1，－4)，l2经过点M(2,1)，N(2，3)；
(4)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2，1)．
[分析] 先求各直线斜率，若某一直线斜率不存在，再结合图形判断．第三章 3.2 3.2.1
基础巩固
一、选择题
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
[答案] C
[解析] 直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
2．经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是( )
A．y＋2＝(x－2) B．y－2＝(x＋2)
C．y－2＝(x＋2) D．y＋2＝(x－2)
[答案] B
[解析] k＝tan60°＝，则点斜式方程为y－2＝(x＋2)．
3．直线y－3＝－(x＋4)的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )
A．k＝－，b＝3 B．k＝－，b＝－2
C．k＝－，b＝－3 D．k＝－，b＝－3
[答案] C
[解析] 原方程可化为y＝－x－3，故k＝－，b＝－3.
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
[答案] D
5．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[答案] B
[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1＝a，k2＝2－a.两直线平行，则有k1＝k2.
所以a＝2－a，解得a＝1.
6．直线y＝2x－6通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
[答案] C
[解析] y＝2x－6过点(3,0)、T (0，－6)，因此直线过一、三、四象限，选C．
二、填空题
7．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为_________.
[答案] y－1＝－(x－2)
[解析] 设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
又k2＝1，∴k1＝－1.
∴l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．
8．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝_________，b＝_________.
[答案] －2 －2
[解析] 由题意，得解得k＝－2，b＝－2.
三、解答题
9．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
[解析] 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2.
又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.
由题意知l2在y轴上的截距为－2，
∴l在y轴上的截距b＝－2，
∴由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
10．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．
[分析] BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．
[解析] 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kBCkAD＝－1.
∴kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC边上的高所在直线的点斜式方程是y－0＝(x＋5)．
即y＝x＋3.
能力提升
一、选择题
1．方程y－y0＝k(x－x0)( )
A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线 D．不能表示与x轴垂直的直线
[答案] D
[解析] 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．
2．直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
[答案] A
[解析] 设y＝kx＋b，由题意k＜0，b＞0，且
解得
3．方程y＝ax＋表示的直线可能是( )
[答案] B
[解析] 直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距是.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距是>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上的截距是<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合．
4．(2015·合肥高一检测)下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①④不正确，②③正确，故选B．
二、填空题
5．直线x＋y＋1＝0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是_________.
[答案] x－y－7＝0
[解析] P(3，－4)，l的倾斜角为135°－90°＝45°，k＝tan45°＝1，则其方程为y＋4＝x－3，即x－y－7＝0.
6．(2015·山东师大附中)
设直线l的倾斜角是直线y＝－x＋1的斜率角为，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是_________.
[答案] y＝x±3
[解析] 因为已知直线的倾斜角是120°，所以直线l的倾斜角是60°，又直线l在y轴上的截距b＝±3，所以直线l的方程为y＝x±3.
三、解答题
7．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．
(1)过点P(3，－4)；
(2)在x轴上截距为－2；
(3)在y轴上截距为3.
[解析] 直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，∴α＝150°，
故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝.
(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得：
y＋4＝(x－3)，
∴y＝x－－4.
(2)在x轴截距为－2，即直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程得：y－0＝(x＋2)，∴y＝x＋.
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3.
8．求与直线x＝x＋垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l的方程．
[解析] 由直线l与直线y＝x＋垂直，可设直线l的方程为y＝－x＋b，
则直线l在x轴，y轴上的截距分别为x0＝b，y0＝b.
又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
所以S＝|x0||y0|＝24，
即|b||b|＝24，b2＝36，解得b＝6，或b＝－6.
故所求的直线方程为y＝－x＋6，或y＝－x－6.
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章3.2 直线的方程第三章3.2.1 直线的点斜式方程1．前面我们学习了直线的斜率、倾斜角及求直线斜率的方法．
(1)斜率：当直线l的倾斜角α不等于90°时，α的__________值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母__________表示．●知识衔接正切k(2)斜率公式：①k＝__________(α≠90°)；
②k＝______________，其中P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的两点．
(3)斜率与倾斜角的关系：一条直线必有唯一的倾斜角，但不一定有__________(倾斜角为90°时无斜率)．
(4)斜率的意义：斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程度．tanα斜率
2．确定直线的几何要素：直线上的一点和直线的__________角或直线上不同的__________点．
3．一次函数及其图象：函数y＝kx＋b(k≠0)称为一次函数，其图象是__________，该直线斜率为k，与y轴的交点为__________ ．倾斜两一条直线(0，b)1．直线的点斜式方程
(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程___________________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．●自主预习y－y0＝k(x－x0)(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或__________.
[破疑点] 一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．x＝x02．直线的斜截式方程
(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__________．倾斜角是__________的直线没有斜截式方程．y＝kx＋b截距90°
[破疑点] 值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．
[拓展] 1.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别
剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，即过点(0，b)．
联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．
区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0，y0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的，同一条直线的斜截式方程是唯一的．1．直线l的点斜率方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是( )
A．2 B．－1
C．3 D．－3
[答案] B
●预习自测2．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是________，在x轴上的截距是________.
3．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角为45°.
[解析] (1)y－5＝4(x－2)． y＝4x－3.
(2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2.
y＝x＋1. (1)一条直线经过点P1(－2,3)，斜率为2，则这条直线的方程为________.
(2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为________.
(3)求经过点(2,5)，且倾斜角为45°的直线方程为________.
[探究] (1)写直线的点斜式方程的两个前提条件是什么？
(2)垂直于y轴的直线的斜率存在吗？
(3)一条直线的倾斜角与其斜率有何对应关系？ 直线的点斜式方程 ●互动探究
[解析] (1)由直线的点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.
(2)直线垂直于y轴，故其斜率为0，所以此直线方程为y＝1.
(3)因为倾斜角为45°，所以直线斜率为tan45°＝1，由点斜式方程得y－5＝x－2，即y＝x＋3.
[答案] (1)2x－y＋7＝0 (2)y＝1 (3)y＝x＋3 规律总结：求直线的点斜式方程的步骤：
①确定定点坐标；
②求出直线的斜率；
③代入公式，写出方程．特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？
(1)经过点A(－2,5)，斜率是3；
(2)经过点B(2，－3)，倾斜角是135°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．
[解析] (1)y－5＝3(x＋2)；
(2)k＝tan135°＝－1 ∴y＋3＝－(x－2)；
(3)y＝－1；
(4)x＝1. 规律总结：①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在．
②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条直线上任意一点的横坐标都是1. 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.直线的斜截式方程 规律总结：对直线的斜截式方程的透析：
(1)斜截式是点斜式的一个特例，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示；
(2)斜截式方程与一次函数的关系
当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，一次函数表示直线，但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式．
特别提醒：应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率不存在时，不能表示成斜截式方程． (1)当a为何值是，直线l1：y＝(a＋3)x－2a与直线l2：y＝(a2－a)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l2：y＝(2a－1)＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？利用平行与垂直的条件求参数的值●探索延拓[注释] ①求解两直线l1，l2平行的问题时，除了要求k1＝k2，还应有b1≠b2，否则重合的两条直线也有可能符合条件． 规律总结：两条直线平行和垂直的判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2?k1·k2＝－1.
特别提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.
(2)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程为________.
[答案] (1)－1 (2)2x－y－1＝0
[解析] (1)由两直线垂直可得a(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0，所以a＝－1；
(2)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
[错解] 由题意，得a2－2＝－1，∴a＝±1.
[错因分析] 该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．
[思路分析] 要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．
[正解] ∵l1∥l2，∴a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.易错点 忽视两条直线平行的条件●误区警示[答案] C
1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
[答案] D[答案] C3．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )
A．x＝3 B．y＝－5
C．2y＝x D．x＝4y－1
[答案] B
4．过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________.平行于x的轴的直线方程为________.
[答案] x＝2 y＝1第三章 3.2 3.2.2
基础巩固
一、选择题
1．直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别为( )
A．2,5 B．2，－5
C．－2，－5 D．－2,5
[答案] B
[解析] 将－＝1化成直线截距式的标准形式为＋＝1，故直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别为2，－5.
2．如右图所示，直线l的截距式方程是＋＝1，则有( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
[答案] B
[解析] 很明显M(a,0)，N(0，b)，由图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a>0，b<0.
3．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为( )
A．＋＝1 B．－＝1
C．＋＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x轴上的截距为4，则直线的截距式方程为－＝1.
4．过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是( )
A．＝
B．＝
C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0
[答案] C
5．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
[答案] A
[解析] 点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.
6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A．－ B．－
C． D．2
[答案] A
[解析] 直线方程为＝，
化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.
二、填空题
7．已知点P(－1,2m－1)在经过M(2，－1)，N(－3,4)两点的直线上，则m＝_________.
[答案]
[解析] 方法1：MN的直线方程为：＝，即x＋y－1＝0，
代入P(－1,2m－1)得m＝.
方法2：M、N、P三点共线，
∴＝，解得m＝.
8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________.
[答案] 3x＋2y－6＝0
[解析] 设直线方程为＋＝1，则
解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，
即3x＋2y－6＝0.
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(3,4)，线段AB的中点为M，求过点M且平行于直线－＝1的直线l的方程．
[解析] 由题意得M(1,3)，直线－＝1的方程化为斜截式为y＝x－2，其斜率为，
所以直线l的斜率为.
所以直线l的方程是y－3＝(x－1)，即x－2y＋5＝0.
10．求分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；
(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
[分析] 欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式．
[解析](1)设直线l的方程为y＝x＋b.
令y＝0，得x＝－b，
∴|b·(－b)|＝6，b＝±3.
∴直线l的方程为y＝x±3.
(2)当m≠1时，直线l的方程是
＝，即y＝(x－1)
当m＝1时，直线l的方程是x＝1.
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；
∵直线过P(4，－3)，∴－＝1.
又∵|a|＝|b|，
∴解得或
当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，
∴l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝－x.
[点评] 明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．
能力提升
一、选择题
1．如果直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 008，b)在直线l上，那么b的值为( )
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
[答案] D
[解析] 根据三点共线，得＝，得b＝2 017.
2．两直线－＝1与－＝1的图像可能是图中的哪一个( )
[答案] B
3．已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是( )
A．2x－3y＝4 B．2x－3y＝0
C．3x－2y＝4 D．3x－2y＝0
[答案] A
[解析] ∵(x1，y1)满足方程2x1－3y1＝4，则(x1，y1)在直线2x－3y＝4上．同理(x2，y2)也在直线2x－3y＝4上．由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x－3y＝4.
[点评] 利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零．
4．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
[答案] B
[解析] 解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．
令y＝0得x＝，令x＝0得y＝－4k－3.
由题意，＝－4k－3，解得k＝－或k＝－1.
因而所求直线有两条，∴应选B．
解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为＋＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1.
∴所求直线有两条，∴应选B．
二、填空题
5．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为_________.
[答案] 2x－y＋4＝0
[解析] 设A(x,0)，B(0，y)．
由P(－1,2)为AB的中点，
∴ ∴
由截距式得l的方程为
＋＝1，即2x－y＋4＝0.
6．若直线l的方程为2x－y＝－1，则它的截距式方程为_________，斜截式方程为_________，直线l与x轴交于点_________，与y轴交于点_________.
[答案] ＋＝1 y＝6x＋3 (－，0) (0,3)
三、解答题
7．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
[解析] 设直线方程的截距式为＋＝1.
则＋＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
8．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；
(4)求AC边上的高所在直线的方程；
(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．
[解析] (1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0.
(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0.
(3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)，
所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，
即2x＋y＋6＝0.
(4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0.
(5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，
∴直线DM方程为＝，
即x－y＋6＝0.
课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章3.2 直线的方程第三章3.2.2 直线的两点式方程1．直线的点斜式方程
①过点P(x0，y0)，斜率为k的直线的方程为____________ ____________．
②过点P__________ ，斜率为k的直线方程为__________ (斜截式)●知识衔接y－y0＝k(x－x0)(0，b)y＝kx＋b kAB＝kBC
4．过点P(2,0)，斜率是3的直线的方程( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
[答案] C
5．已知直线的斜截式方程是y＝x－1，那么此直线的斜率是__________，倾斜角是__________.
6．已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点__________ ．145°(－1,0)●自主预习垂直
[破疑点] 直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．
当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；
当y1＝y2时，直线方程为y＝y1.(2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．
[破疑点] (1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为＋＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．[拓展]求直线方程时方程形式的选择技巧
一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距；已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线．[答案] B●预习自测[答案] A
3．点P1(5，－2)，点P2(－7,6)，则线段P1P2的中点M的坐标为________.
[答案] (－1,2)
4．在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程． 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[探究] 首先判定是否满足直线方程两点式的条件，若满足，则应用公式求解；若不满足，则根据具体条件写出方程．直线的两点式方程●互动探究 规律总结：对直线的两点式方程的理解：
特别提醒：用直线的两点式表示方程时，一定要先确定直线的斜率存在且不为零，否则就需对直线的斜率进行探讨．求经过下列两点的直线方程：
(1)A(2,5)，B(4,3)；(2)A(2,5)，B(5,5)；(3)A(2,5)，B(2,7)． 直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程．
[探究] 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程．直线的截距式方程 规律总结：(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．已知直线过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．
[探究] (2)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2,3)，易在直线方程为3x－2y＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0或3x－2y＝0.
[易错警示] 本题求解时易忽略直线在两坐标轴上的截距都为0，即直线过原点这种情况，而直接用直线的截距式方程求解． 直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的方程．与截距有关的三角形面积问题●探索延拓 规律总结：利用截距求面积：
(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．
(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A(－3,4)，求直线l的方程． 已知直线l过点P(2，－1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
[错因分析] 错解忽略了过原点时的情况．易错点 忽视截距为0的情形●误区警示
[思路分析] 截距式方程中a≠0，b≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x，y轴上的截距均为0，即过原点．求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线是________.
[答案] x－y＋1＝0或4x－3y＝0[答案] B
[解析] A、D不能表示斜率不存在的直线，C不能表示k＝0或不存在的直线． [答案] A[答案] B4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________.
[答案] y＝2x或－x＋y＝15．已知△ABC三个顶点坐标为A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在直线的方程．[点评] 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程．第三章 3.2 3.2.3
基础巩固
一、选择题
1．直线x－y＋3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90
[答案] B
[解析] 由x－y＋3＝0，得y＝x＋3.
其斜率为1，倾斜角为45°.
2．直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是( )
A．，－ B．，
C．，－2 D．，－2
[答案] D
[解析] 将3x－2y－4＝0化成截距式为＋＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是，－2.
3．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
[答案] C
[解析] 若m＝－1，则l1的斜率不存在，l2的斜率为，此时l1与l2不平行；若m≠－1，则l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－.因为l1∥l2，所以k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或－3.经检验均符合题意．
4．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值为( )
A．1 B．－
C．－ D．－2
[答案] D
[解析] 由题意，得(－)×(－1)＝－1，a＝－2.
5．(2013·广东改编)直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
[答案] A
[分析] 所求直线l与直线y＝x＋1垂直，可以直接设直线l的方程为y＝－x＋b，根据l在y轴上截距为，确定直线截距式方程，再化为直线方程的一般式．也可以设与y＝x＋1垂直的直线系方程进行求解．
[解析] 方法1：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.
方法2：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为，所以－c＝，即c＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0.
6．直线l1? ax－y＋b＝0，l2? bx＋y－a＝0(ab≠0)的图形只可能是下图中的( )
[答案] B
[解析] l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，在A选项中，由l1的图形知a>0，b<0，判知l2的图形不符合．在B选项中，由l1的图形知a>0，b<0，判知l2的图形符合，在C选项中，由l1知a<0，b>0，∴－b<0，排除C；在D选项中，由l1知a<0，b<0，由l2知a>0，排除D．所以应选B．
二、填空题
7．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为___________________；
截距式方程为___________________；
斜截式方程为___________________；
一般式方程为___________________.
[答案] y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
8．(2015·湖南改编)
在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为_________.
[答案] 4
[分析] 利用直线一般式方程判断直线平行的方法求参数，注意讨论系数．
[解析] 当a＝0时，l2：x＝0，显然与l1不平行．
当a≠0时，由，解得a＝4.
三、解答题
9．求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程．
[解析] 解法1：由题意知：可设l的方程为3x－4y＋m＝0，
则l在x轴、y轴上的截距分别为－，.
由－＋＝1知，m＝－12.
∴直线l的方程为：3x－4y－12＝0.
解法2：设直线方程为＋＝1，
由题意得 解得.
∴直线l的方程为：＋＝1.
即3x－4y－12＝0.
10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．
(1)l在x轴上的截距为－3；
(2)斜率为1.
[解析] (1)令y＝0，依题意得
由①得m≠3且m≠－1；
由②得3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－.
综上所述，m＝－
(2)由题意得，
由③得m≠－1且m≠，
解④得m＝－1或， ∴m＝.
能力提升
一、选择题
1．直线的斜率为－，且直线不通过第一象限，则直线的方程可能为( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．3x－4y＋7＝0 D．4x＋3y－24＝0
[答案] B
[解析] 由k＝－否定A、C,4x＋3y－24＝0过第一象限，否定D，故选B．
2．如果AC>0且BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 将Ax＋By＋C＝0化成斜截式，得y＝－x－.因为AC>0且BC>0，所以AB＞0，－＜0，－<0，所以直线不通过第二象限．
3．若原点在直线l上的射影是点(－2,1)，则直线l的方程是( )
A．x＋2y＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋3＝0
[答案] C
4．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是( )
A．m＝1 B．m＝±1
C． D．或
[答案] D
[解析] 根据两直线平行可得＝，所以m＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n≠－1；m＝－1时，n≠1.
二、填空题
5．若直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则实数a的值为_________.
[答案] －6
[解析] 把x＝3，y＝0代入方程(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0中得3(a＋2)－2a＝0，a＝－6.
6．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直且都过点A(1，m)，则a＝_________，b＝_________，m＝_________.
[答案] 10 －12 －2
三、解答题
7．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的值范围．
[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，所以2－a＝0，所以a＝2，方程为3x＋y＝0；
当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，方程为x＋y＋2＝0，
故所求的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当－(a＋1)≥0且a－2≤0，解得a≤－1，故所求a的取值范围为a≤－1.
8．(2015·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x－y＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程．
[解析] 设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，令y＝0，x＝－，令x＝0，y＝c，所以|(－)·c|＝9，c＝±6，故所求直线方程为2x－y±6＝0.
课件58张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章3.2 直线的方程第三章3.2.3 直线方程的一般式1．直线方程的四种形式：
(1)点斜式：当直线斜率k存在时，则过点P(x0，y0)的直线方程为________________；
(2)斜截式：当直线斜率k存在时，设在y轴上截距为b，则直线方程为__________；●知识衔接y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b[答案] x－3y＋16＝01．直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．●自主预习Ax＋By＋C＝0
(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．
[破疑点] AB>0时，k<0，倾斜角α为钝角；AB<0时，k>0，倾斜角α为锐角；A＝0时，k＝0，倾斜角α＝0°；B＝0时，k不存在，倾斜角α＝90°.3．直线方程五种形式的比较1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
[答案] D
[解析] A，B不能同时为0，则A2＋B2≠0.●预习自测[答案] B[答案] C4．直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件时，这条直线有如下性质？
(1)与x轴垂直；
(2)与y轴垂直；
(3)与x轴和y轴都相交；
(4)过原点；
(5)与x轴重合；
(6)与y轴重合．[解析] (1)当B＝0且A≠0时，这条直线与x轴垂直．
(2)当A＝0且B≠0时，这条直线与y轴垂直．
(3)要使直线与x轴，y轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)知，当A≠0且B≠0，即当AB≠0时，这条直线与x轴和y轴都相交．
(4)将x＝0，y＝0代入直线方程Ax＋By＋C＝0，得C＝0，故当C＝0时，这条直线过原点．
(5)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线方程化为y＝0，直线与x轴重合．
(6)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线方程化为x＝0，直线与y轴重合． 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．选择适当的形式写出直线的方程●互动探究
[探究] 分析条件→选择方程形式→代入条件→整理并写成一般式
[解析] (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0.
(2)由斜截式方程可知，
所求直线方程为y＝4x－2，
化为一般式方程为4x－y－2＝0. 规律总结：已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式；已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；已知直线上两点坐标时，选用两点式；已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式．直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距分别为________.已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．
[点评] 熟练进行直线各种形式方程的互化，是解决直线方程问题的基本功．请自己再用点斜式求l的方程，并化为斜截式．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；
(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.平行与垂直的应用 (1)已知三直线l1∶2x－4y＋7＝0，l2∶x－2y＋5＝0，l3∶4x＋2y－1＝0，求证：l1∥l2，l1⊥l3；
(2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：
与直线l：3x＋4y－20＝0平行；
与直线l：3x＋4y－20＝0垂直． 规律总结：1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.
2．直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0若l1⊥l2则：A1A2＋B1B2＝0；若A1A2＋B1B2＝0则l1⊥l2.
若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2或l1与l2重合．(2010·安徽高考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
[答案] A(2009·安徽高考)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
[答案] A关于直线平行(垂直)的参数的求解：
解决含参数的两条直线的一般式方程的平行或垂直关系时，若分类讨论，情况较多、较复杂，可尝试如下判定方法：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0
且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0.
(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
以上两种判定方法避开了讨论斜率是否存在的情况，可以减少失误．一般式的综合应用●探索延拓 已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)平行；(2)垂直．
[探究] 让我们仔细审题，探寻方法，可采用审题导引流程图． 规律总结：两种方法各有优点：斜率法易于记忆，系数法易于操作，比较而言，当方程中含有字母时，化为一般式进行判定，可避免分类讨论．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则m等于( )
A．2或3 B．2
C．3 D．－3易错点 忽视一般式方程中A与B的条件●误区警示
[错因分析] 错解忽视了当m＝2时，2m2－5m＋2＝0且－(m2－4)＝0.
[思路分析] 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中，A与B满足的条件是A与B不能同时为0，即A2＋B2≠0.当A＝B＝0时，方程变为C＝0，不表示任何图形．[答案] C[答案] D2．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是( )
[答案] C3．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.4．直线2x－4y－8＝0的斜率k＝________，在y轴上的截距b＝________.5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线，
(1)求实数m的范围．
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．第三章 3.3 3.3.1
基础巩固
一、选择题
1．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是( )
A．(－2，－1) B．(－1，－2)
C．(1,2) D．(2,1)
[答案] B
[解析] 解方程组
得即交点坐标是(－1，－2)．
2．经过两点A(－2,5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是( )
A．(－，0) B．(－3,0)
C．(，0) D．(3,0)
[答案] A
[解析] 过点A(－2,5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为(－，0)．
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )
A．－2 B．－
C．2 D．
[答案] B
[解析] 由得交点(－1，－2)，
代入x＋ky＝0得k＝－，故选B．
4．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(3,1) D．(2,1)
[答案] C
[解析] 方程可化为y－1＝k(x－3)，即直线都通过定点(3,1)．
5．经过直线2x＋y＋5＝0与x－3y＋4＝0的交点且斜率为－的直线的方程为( )
A．19x－3y＝0 B．19x－9y＝0
C．9x＋19y＝0 D．3x＋19y＝0
[答案] D
[解析] 由解得交点坐标(－，)，又k＝－，则方程为y－＝－(x＋)，即3x＋19y＝0.
6．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0
[答案] B
[解析] 在方程3x－4y＋5＝0中，用－y代替y，得3x＋4y＋5＝0即为所求直线的方程．
二、填空题
7．在△ABC中，高线AD与BE的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A_________；B_________；C_________.
[答案] (－2,1) (1,0) (2,5)
[解析] 高线AD与边AB的交点即为顶点A，高线BE与边AB的交点即为顶点B，顶点C通过垂直关系进行求解．
8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝_________.
[答案] －2或－
[解析] 由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－.
三、解答题
9．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．
[分析] 解方程组得交点坐标，再根据点M在第四象限列出不等式组，解得m的取值范围．
[解析] 由得
∴交点M的坐标为(，)．
∵交点M在第四象限，
∴解得－1∴m的取值范围是(－1，)．
10．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
[解析] 解法1：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，
∴?，
∴kAP＝＝－，
故所求直线l的方程为：y＝－x＋1，
即x＋4y－4＝0.
解法2：设所求直线l方程为：
y＝kx＋1，l与l1、l2分别交于M、N.
解方程组?N(，)
解方程组?M(，)
∵M、N的中点为P(0,1)则有：
(＋)＝0?∴k＝－.
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法3：设所求直线l与l1、l2分别交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有：
?
代入l2的方程，得：
2(－x1)＋2－y1－8＝0即2x1＋y1＋6＝0.
解方程组?M(－4,2)．
由两点式：所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法4：同解法1，设A(x0，y0)，
，两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)
考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为：x＋4y－4＝0.
能力提升
一、选择题
1．已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为( )
A．4 B．－4
C．±4 D．与A有关
[答案] B
[解析] 由题意，l2与y轴的交点在l1上，又l2与y轴的交点为(0，)，所以A×0＋3×＋C＝0，C＝－4.故选B．
2．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(2,1)
C．(2,3) D．(－2，－1)
[答案] C
[解析] 将A、B、C、D四个选项代入x－y＋1＝0否定A、B，又MN与x＋2y－3＝0垂直，否定D，故选C．
3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
[答案] B
[解析] 由得交点(－1,4)．
∵所求直线与3x＋y－1＝0垂直，
∴所求直线斜率k＝，∴y－4＝(x＋1)，
即x－3y＋13＝0.
4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
[答案] B
[解析] ∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.
二、填空题
5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是_________.
[答案] －[解析] 解方程组得交点在第四象限，所以解得－6．已知直线l1：a1x＋b1y＝1和直线l2：a2x＋b2y＝1相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是_________.
[答案] 2x＋3y＝1
[解析] 由题意得P(2,3)在直线l1和l2上，
所以有则点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐标是方程2x＋3y＝1的解，
所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x＋3y＝1.
三、解答题
7．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
[解析] (1)由题意BH与AC垂直，
∴kBH·kAC＝kAC＝－1.
∴kAC＝－2，
∴直线AC的方程为2x＋y－11＝0.
解方程组
得点C的坐标为(4,3)．
(2)设B(x0，y0)，得M(，)，
于是有x0＋5－－5＝0，
即2x0－y0－1＝0.
与x0－2y0－5＝0联立，
解得点B的坐标为(－1，－3)．
∴直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
8．m为何值时，直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3＝2x－3my－4＝0不能围成三角形？
[解析] (1)先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．
①若m≠0，则k1＝－4，k2＝－m，k3＝，
当m＝4时，k1＝k2；当m＝－时，k1＝k3；而k2与k3不可能相等．
②若m＝0，则l1：4x＋y－4＝0，l2：y＝0，l3：2x－4＝0，这时三条直线能围成三角形．
∴当m＝4或m＝－时，三条直线不能围成三角形．
(2)再考虑三条直线共点的情况．
将y＝－mx代入方程4x＋y－4＝0，得(4－m)x＝4，当m≠4时，x＝，即l1与l2交于点P(，－)，将P点坐标代入l3的方程得＋－4＝0，解得m＝－1或m＝.
∴m＝－1或m＝时，l1，l2，l3交于一点，不能围成三角形．
综上所述，当m＝－1，－，，4时，三条直线不能围成三角形．
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章3.3 直线的交点坐标与距离公式第三章3.3.1 两条直线的交点坐标1．二元一次方程组的解法：代入消元法、____________．
2．平面上两条直线的位置关系：__________________．
3．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2的条件为______________＝0，l1与l2平行或重合的条件为______________＝0，l1与l2相交的条件为A1B2－A2B1≠0.●知识衔接加减消元法平行、重合、相交A1A2＋B1B2A1B2－A2B1两条直线的交点坐标
(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的__________判断两直线的位置关系．
一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组●自主预习交点个数有唯一
无
有无数组
[破疑点] 若两直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交，还可能有重合．
[知识拓展] 直线系方程
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数(也称参变量)．
(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.
(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系方程：当斜率k一定而m变动时，y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x＝x0)．
在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而求出方程．1．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,1) D．(2,2)
[答案] A●预习自测2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
[答案] B[答案] A4．判断直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x－2y＋3＝0的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
[点评] 本题也可利用斜率或A1B2－A2B1≠0判断这两条直线相交，但不能求出交点坐标． 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[探究] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．两直线的交点问题●互动探究 规律总结：1.方程组的解的组数与两条直线的位置关系
2．两条直线相交的判定方法：
(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；
(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．
特别提醒：若两直线的斜率一个不存在，另一个存在，则两直线一定相交．[答案] (1)C (2)C 求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一个定点．
[探究] 既然m不论取何值，直线恒过定点，可以任取m的两个不同值，得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出定点，最后证明直线恒过该点． 直线恒过定点问题 规律总结：解决含参数的直线恒过定点问题，常用的方法有两种．
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两个不同的直线方程，那么定点必在这两个方程表示的直线上，解这两个方程组成的方程组，即得定点坐标．
(2)分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号左边为0的形式，然后令参数的系数和不含参数的项分别为零，解得此方程组的解即为已知含参直线恒过的定点．即将所给方程化成(A1x＋B1y＋C1)＋m(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，(2)(2015·山东潍坊高一上学期期末)不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] (1)D (2)D 已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程．
[探究] 可先求l1与l2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．用过两直线交点的直线系方程解题●探索延拓 规律总结：(1)过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，且m，n不同时为0)．
(2)上面的直线系方程可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为参数)．这个参数形式的方程在解题中较为常用．
求直线方程的问题时，如果知道所求直线过已知两直线的交点，可利用此直线系方程求解，这样可以避免求交点的繁杂计算．求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．
[分析] 既可以用通过两直线交点的直线系求解，也可以先解出两直线的交点，然后再求解． 规律总结：使用过两直线交点的直线系方程避免了求两条直线的交点，但解题过程不一定简捷．若使用与直线垂直的直线系方程，要先求交点，求交点有时也不繁杂，适当选择不同方法求解，有助于训练自己的解题思路，使自己的思路更宽阔． 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为( )
A．a≠±1 B．a≠1且a≠－2
C．a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
[错解] 选A或选B易错点 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误●误区警示
[错因分析] 在解题过程中，若由①处得a≠1且a≠－2，错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．
由②处得a≠±1，错选A，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1， ②
当a＝1时，l1与l2重合．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，
当a＝1，l2与l3重合．
(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，
当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；
当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2.
[正解] D若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为________.[答案] C2．直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0相交，则交点是( )
A．(2，－2) B．(－2,2)
C．(－2,1) D．(－1,2)
[答案] B
3．已知直线l1：4x＋3y＝10，l2：2x－y＝10，l3：ax＋2y＋8＝0，则l1与l2的交点为________；若l1，l2，l3三直线相交于同一点，则a＝________.
[答案] (4，－2) －1
[解析] 联立l1与l2的方程，解方程组得交点坐标；当交点也在l3上，即交点坐标也满足l3的方程，可解得a的值．4．不论λ取何值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0过定点________.
[答案] (－1，－2)5．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．第三章 3.3 3.3.2
基础巩固
一、选择题
1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )
A．2 B．1
C． D．5
[答案] C
[解析] N(－1,2)，|ON|＝＝.故选C．
2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )
A．－3 B．5
C．－3或5 D．－1或－3
[答案] C
[解析] 由两点间的距离公式知
|AB|＝＝，
由5＝，
解得b＝－3或b＝5.
3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)
[答案] A
[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.
4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
[答案] C
[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.
5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．
∴|CD|＝＝；
故选A．
6．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] |AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴|AC|＝|BC|≠|AB|，
且|AB|2≠|AC|2＋|BC|2.
∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．
二、填空题
7．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝2，则实数m＝_________.
[答案] 1或3
[解析] 由题意得＝2，解得m＝1或m＝3.
8．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝_________.
[答案]
[解析] ＝，
解得a＝.
三、解答题
9．求证：等腰梯形的对角线相等．
[证明] 已知：等腰梯形ABCD．
求证：AC＝BD．
证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．
设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．
则|AC|＝＝，
|BD|＝＝，
∴|AC|＝|BD|.
即：等腰梯形的对角线相等．
10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和A(1，－1)，过点A作直线l2与已知直线交于点B且|AB|＝5，求直线l2的方程．
[解析] 当直线l2的斜率存在时，设其为k，则
?(k＋2)x＝k＋7，
而k≠－2，故解得x＝，所以B(，)，
又由|AB|＝5，利用两点间距离公式得
＝5?k＝－，
此时l2的方程为3x＋4y＋1＝0.
而当l2的斜率不存在时，l2的方程为x＝1.
此时点B坐标为(1,4)，则|AB|＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l2的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
能力提升
一、选择题
1．已知点A(2,3)和B(－4,1)，则线段AB的长及中点坐标分别是( )
A．2，(1,2) B．2，(－1，－2)
C．2，(－1,2) D．2，(1，－2)
[答案] C
[解析] |AB|＝＝2，中点坐标为(，)，即(－1,2)，故选C．
2．已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于，则实数m的范围是( )
A．－＜m＜2 B．m＜－或m＞2
C．m＜－2或m＞ D．－2＜m＜
[答案] B
[解析] 根据两点间的距离公式
|PQ|＝＝＞?5m2－6m－8＞0?m＜－或m＞2.
3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 易得A(0，－2)，B(－1，)．
∴|AB|＝＝.
4．在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使P点到A(2,3)距离为，则P点坐标是( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
[答案] C
[解析] 设点P(x，y)，则y＝，
由|PA|＝得(x－2)2＋(－3)2＝13，
即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5，
当x＝－1时，y＝1，
当x＝5时，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)．
二、填空题
5．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是_________.
[答案]
[解析] 由题意得|AB|＝
＝＝，所以当a＝时，|AB|取得最小值．
6．已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为_________.
[答案] (9,0)或(－1,0)
[解析] 设P(a,0)，则＝13，
解得a＝9或a＝－1，∴点P的坐标为(9,0)或(－1,0)．
三、解答题
7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD是长方形，则对平面内任一点M，等式AM2＋CM2＝BM2＋DM2成立．
[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．
证明：如图，取长方形ABCD的两条边AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．
设长方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)、B(a,0)、C(a，b)、D(0，b)．在平面上任取一点M(m，n)，
则有AM2＋CM2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，
BM2＋DM2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，
∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.
8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．
[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．
[解析] 以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
因为AD＝5 m，AB＝3 m，
所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，
所以kAC·kDM＝－1，
即·＝－1.
所以x＝3.2，即BM＝3.2，
即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．
故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．
由两点间距离公式得DM＝＝.
课件37张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章3.3 直线的交点坐标与距离公式第三章3.3.2 两点间的距离公式1．在平面直角坐标系中，易知x轴上的两点A(x1,0)、B(x2,0)间的距离为|AB|＝__________；在y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)间的距离为|CD|＝__________.
2．平行四边形的性质：平行四边形的对边__________且__________，对角线__________．
3．勾股定理：
在直角三角形ABC中，若∠B为直角，则AC2＝__________.●知识衔接|x1－x2||y1－y2|平行相等互相平分AB2＋BC2
4．直线l1：2x＋3y＋4＝0与l2：4x＋6y＋8＝0的位置关系是( )
A．重合 B．平行
C．垂直 D．相交但不垂直
[答案] A[答案] C
6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直线x－2y＝0的直线方程是______________.x－2y＋11＝01．两点间的距离公式
(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝______________________.
(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
[破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．●自主预习
2．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用__________方法解决几何问题的方法称为坐标法．
(2)步骤：①建立__________，用坐标表示有关的量：②进行有关__________；③把代数运算结果“_________”成几何关系．代数坐标系代数运算翻译1．已知点A(－3,0)，B(2,0)，则|AB|＝________.
[答案] 5
2．已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________.●预习自测3．用坐标法证明：矩形的对角线相等． 已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值．
[探究] 利用两点间距离公式列方程解得a的值．求平面上两点间距离●互动探究已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________.
[分析] 设出点P的坐标，根据两点间距离公式，列方程求解．
[答案] (－5,0)或(11,0) 用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
[探究] 以第三边所在直线为x轴，并以其中点为原点建立坐标系，利用斜率相等证明平行，利用两点间距离公式证明长度关系．坐标法的应用 规律总结：建立直角坐标系的原则：
(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；
(2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；
(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴建立直角坐标系；
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系．
正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立坐标系，求证：BF⊥AE. 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判定△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
[探究] 可按照以下流程进行思考：两点间距离公式的应用●探索延拓[解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证 规律总结：三角形形状的判定策略
(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C[答案] A[答案] A[答案] A[答案] C[答案] D5．已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等．[分析] 取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系，再写出各顶点坐标，给出证明．第三章 3.3 3.3.3
基础巩固
一、选择题
1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)，B(－4,3)，C(2，－3)，则点A到BC边的距离为( )
A． B．
C． D．4
[答案] B
[解析] BC边所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0；则d＝＝.
2．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A．4 B．
C． D．
[答案] D
[解析] 3x＋y－3＝0变形为6x＋2y－6＝0，可知m＝2，则d＝＝.
3．若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A． B．－
C．－或－ D．或
[答案] C
[解析] 由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.
4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
[答案] C
[解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，则有，解得或.
5．与直线2x＋y＋1＝0的距离为的直线方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
[答案] D
[解析] 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠1)，因为两直线间的距离等于，所以＝，解得C＝0或C＝2，所以所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.故选D．
6．(2013·广东改编)
直线l垂直于直线y＝x＋1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点，则直线l的方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
[答案] A
[分析] 所求直线l与直线y＝x＋1垂直，可以直接设直线l的方程为y＝－x＋b，与y轴正半轴有交点，确定截距范围，再利用原点到直线的距离等于1求参数，得直线方程．
[解析] 因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以直接设直线l的方程为y＝－x＋b，又l与y轴正半轴有交点，知b>0，即x＋y－b＝0(b>0)的距离＝1，求得b＝(b＝－舍去)，所以所求直线l的方程为x＋y－＝0.
二、填空题
7．两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则其顶点的角平分线所在直线的方程为_________.
[答案] 7x－4y＋9＝0,8x＋14y＋1＝0
[解析] 设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P到l1，l2的距离相等，即＝，整理，得所求直线的方程为7x－4y＋9＝0,8x＋14y＋1＝0.
8．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_________.
[答案] 3x－y＋10＝0
[解析] 当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.
三、解答题
9．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程．
[解析] 由解得
即该正方形的中心为(－1,0)．
所求正方形相邻两边方程3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0.
∵中心(－1,0)到四边距离相等，
∴＝，＝，
解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7，
∴所求方程为3x－y－3＝0,3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0.
10．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．
[分析] 解答本题可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l与直线AB的位置关系，再求l方程．事实上，l∥AB或l过AB中点时，都满足题目的要求．
[解析] 方法1：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y－2＝k(x－1)，
由条件得＝，解得k＝4，
故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
方法2：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点．
∵kAB＝4，
若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.
若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，
∴所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
规律总结：针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l的特征，然后由已知直接求出直线l的方程．
能力提升
一、选择题
1．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B．
C．3 D．6
[答案] C
[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.
2．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
[答案] B
[解析] 联立方程组解得即交点坐标为(，)，它到原点的距离恰好等于1，故满足条件的直线共有1条．
3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程( )
A．x－4y＋4＝0
B．7x＋4y＝0
C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0
D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0
[答案] D
[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得＝，即＝±，化简得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( )
A．8 B．2
C． D．16
[答案] A
[解析] x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，
∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，
∴x2＋y2最小值为8.故选A．
二、填空题
5．已知点A(1,1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，则当|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标为_________.
[答案] (，)
[解析] 设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋10＝10(t2－t＋1)＝10(t－)2＋，当t＝时，|PA|2＋|PB2|取得最小值，即P(，)．
6．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是_________.
[答案] ②③
[解析] 根据题意，看所给直线上的点到定点M的距离能否取4.可通过求各直线上的点到M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．①d＝＝3＞4，故直线上不存在点到M距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝＝4，直线上存在一点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；④d＝＝＞4，故直线上不存在到M距离等于4的点，不是“切割型直线”，故填②③.
三、解答题
7．过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，求直线l的方程．
[解析] 设线段AB的中点P的坐标为(a，b)，由点P到直线l1，l2的距离相等，得＝，整理得2a－5b＋1＝0.又点P在直线x－4y－1＝0上，所以a－4b－1＝0.解方程组，得，即点P的坐标为(－3，－1)．又直线l过点(2,3)，所以直线l的方程为＝，即4x－5y＋7＝0.
8．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．
[解析] 由题知|AB|＝＝5，
∵S△ABC＝|AB|·h＝10，∴h＝4.
设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y－2＝－(x－3)，即3x＋4y－17＝0.
∴
解得或
∴点C的坐标为(－1,0)或(，8)．
课件47张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章3.3 直线的交点坐标与距离公式第三章3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离1．平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________，其推导方法是利用勾股定理．
两点A(1，－2)，B(－3,2)间的距离是__________.
2．直线方程的一般形式：Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)．
3．与直线Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)垂直的直线可设为________________________，与之平行的直线可设为________________________．
4．点到直线的距离即点到直线的垂线段的长度．
5．两条平行直线间的距离可转化为一条直线上________到另一直线的距离．●知识衔接Bx－Ay＋λ＝0Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)任一点1．点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝___________________.
[破疑点] 点到几种特殊直线的距离：
(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.●自主预习
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．
(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．公垂线段点到直线
[破疑点] (1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：
①把直线方程化为直线的一般式方程；
②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．
(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.1．点(1，－5)到直线2x－y－2＝0的距离d＝________.●预习自测[答案] A[答案] B 求点P(3，－2)到下列直线的距离．
[探究] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．点到直线的距离公式●互动探究 规律总结：针对这个类型的题目一般先把直线的方程化为一般式，然后直接利用点到直线的距离公式求得．对于与坐标轴平行的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.求点P0(－1,2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
[分析] 对于(1)(2)(3)，均可直接利用点到直线的距离公式求解；
另外对于(2)，还可利用d＝|x－x0|求解；
对于(3)，还可利用d＝|y－y0|求解． 规律总结：求点到直线的距离的步骤： 求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．求两平行直线的距离[温馨提示] 利用两行平直线间的距离公式解决含参问题时，一般有两个结果，注意加以检验． 规律总结：已知两平行直线间的距离及其中一直线的方程求另一直线的方程，一般先根据题意设出直线方程，然后利用两平行直线间的距离公式求解．也可以把两平行直线间的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问题，然后利用点到直线的距离公式求解．[答案] (1)C (2)2x－y＋1＝0[探究] (1)求两平行线间的距离的依据是什么？
(2)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线应如何表示？ 两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d，
(1)求d的变化范围；
(2)求当d取得最大值时的两条直线方程． 距离公式的应用●探索延拓 规律总结：上面我们用两种思路作了解答，不难发现解法2比解法1简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展．若A(1,4)，B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d.
(1)d的取值范围为________；
(2)当d取最大值时，直线l的方程为________.
(3)当d＝4时，直线l的方程为________.
[答案] (1)[0,5] (2)4x＋3y＋9＝0 (3)24x＋7y＋65＝0 已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．易错点 求直线方程时，忽略斜率不存在的情况●误区警示[错因分析] 符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．[总结] 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
[解析] (1)若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，由点斜式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，
因为直线l1过点A(0,1)，
(2)若l1，l2的斜率不存在，
则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上所述，满足条件的直线方程组有两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
或l1：x＝0，l2：x＝5.[答案] D[答案] A[答案] D4．点P(m,1)到直线l：2x＋y－1＝0的距离d＝1，则实数m的值等于________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
[分析] 设直线方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，利用平行线间的距离公式列出方程，解得m的值．课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教版 · 必修2 直线与方程第三章章末归纳总结第三章
专题一 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．
(1)倾斜角的范围是[0°，180°)．
(2)倾斜角与斜率的对应关系
①α≠90°时，k＝tanα；
②α＝90°时，斜率不存在． 已知直线l过点P(1,1)且与以A(－1,0)、B(3，－4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
[探究] 利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情形．
[解析] 如图所示，直线PA的斜率 规律总结：借助数形结合思想既可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法．专题二 直线方程的五种形式的应用问题
已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程．
[探究] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．
[解析] 设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E为中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(xB,1)．
专题三 两条直线的位置关系
(1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥l2?k1k2＝－1；
l1与l2相交?k1≠k2.
(2)已知直线的一般式方程：
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则：l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0；
l1与l2相交?A1B2≠A2B1.
(3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax＋By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[探究] 对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等求解．专题五 对称问题
(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本的也是最重要的对称，解决此类问题要抓住两点：一是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上；二是已知点与对称点的连线与对称轴垂直．
几种特殊对称：
①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)；
②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)；
③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)；
④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)；
⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．
(2)与对称有关的最值问题．
在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点．
在直线l上找一点P到两点A，B的距离之差最大，则点P必定在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用的对称转化为同侧的点．
可以简单记“异侧和最小，同侧差最大”． 已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和y＝0上分别有M和N使△AMN的周长最短，求点M，N的坐标．
[探究] 分别作出点A关于直线x－y＝0和y＝0的对称点，利用两点之间线段最短来确定△AMN的周长最短．
[解析] 如图所示，点A关于直线x－y＝0的对称点为A1(1,3)，点A关于直线y＝0的对称点为A2(3，－1)，专题六 直线系方程
(1)平行直线系：y＝kx＋b(k为常数，b为常数)，表示一组斜率为k的平行直线．
(2)共点直线系：y－y0＝k(x－x0)(定点(x0，y0)，k为常数)，表示一束过定点(x0，y0)的直线(不包括直线x＝x0)．
(3)过直线l1，l2交点的直线系：设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)表示一束过l1，l2交点的直线(不包括l2)． 求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点距离为1的直线方程．专题七 分类讨论的思想
在解题过程中，遇到某一步被研究的对象包含多种可能的情形时，把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想．
利用分类讨论的思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题之一，这是因为：其一，分类讨论的问题都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力及分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相结合． 已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段的长为5，求直线l的方程．
[剖析] 直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的，当直线斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方程．在错解中，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，已经默认了直线l的斜率存在，从而漏去了直线l斜率不存在的情况，而本题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意，所以错解丢掉了一个解．
[正解] 正解1：若直线l的斜率存在，由前面解法，知所求直线l的方程为y＝1.
若直线l的斜率不存在，则直线方程为x＝3，此时与l1和l2的交点分别为A(3，－4)和B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
综上所述，直线l的方程为y＝1或x＝3.
[点评] 由上面分析可知，求过一定点，且被两已知平行直线截得线段长为定长a的直线，当a小于两平行直线之间的距离d时无解；当a＝d时有唯一解；当a>d时有且只有两个解．此题按以上思路分析，先求出夹角θ后再求直线l的斜率或倾斜角，从方法上看较为简便，即解法2较为简便．
专题八 数形结合的思想方法
数学结合的思想是一种重要的思想方法，数形结合的应用大致分为两类：第一类“以数解形”——就是有些图形太过于复杂或过于简单，直接观察不易求解，这时需要给图形赋值；第二类“以形助数”——借助图形的直观性阐明数之间的关系．
[探究] 本题考查数形结合的思想方法，不难发现，经过配方，可以把函数的右边看成是一个动点到两个定点的距离之和，再利用对称知识求出函数的最小值．[点评] 本题若直接求解，会比较繁琐，因此把问题转化为两点的距离问题，体现了从“数”到“形”的转化．
专题九 转化与化归思想
数学问题的解答离不开转化与化归．利用它把代数问题几何化，几何问题代数化，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，可使复杂的数学问题直观化，简单化，具体化，从而使问题快速得到解决．[探究] 利用已知条件将S＝xy转化为关于x的二次函数，进而利用二次函数求最值． 规律总结：(1)利用二次函数的图象和性质求最值．作出二次函数的简图，结合性质求二次函数的最值，即以形助数．
(2)利用配方法求函数的最值，转化为二次函数在某个区间上的最值问题．第三章综合素能检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2015·吉林省高二期末)
已知点A(1，)，B(－1，3)，则直线AB的倾斜角是( )
A．60° B．30°
C．120° D．150°
[答案] C
[解析] 直线AB的斜率为＝－，则直线AB的倾斜角是120°.
2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0
[答案] D
[解析] 由题意k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y－2＝1·(x＋1)，即x－y＋3＝0.
3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为( )
A．－3 B．－6
C． D．
[答案] B
[解析] 由题意得a·(－1)－2×3＝0，∴a＝－6.
4．直线－＝1在y轴上的截距为( )
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
[答案] B
[解析] 令x＝0，则y＝－b2.
5．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a的值是( )
A．0 B．－4
C．－8 D．4
[答案] C
[解析] 根据题意可知kAC＝kAB，即＝，解得a＝－8.
6．(2015·福州八中高一期末)如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，由AB<0，BC<0，得－>0，－>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
7．(2015·江苏淮安高一期末)
已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
[答案] C
[解析] 由已知条件可知线段AB的中点(，0)在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3.
8．(2015·兰州一中高一期末)
经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( )
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
[答案] C
[解析] 解得，即直线l1，l2的交点是(－，)，由两点式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0.
9．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )
A．(0,0) B．(，)
C．(，) D．(，)
[答案] C
[解析] 直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点(，)．
10．(2015·广东省高一期末)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
[答案] D
[解析] 将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x－2y＋1＝0上取一点P(3,2)，点P关于直线x＝1的对称点P′(－1,2)必在所求直线上，只有选项D满足．
11．(2015·吉林模拟)
已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
[答案] B
[解析] 因为l的斜率为tan135°＝－1，所以l1的斜率为1，所以kAB＝＝1，解得a＝0.又l1∥l2，所以－＝1，解得b＝－2，所以a＋b＝－2，故选B．
12．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
[答案] A
[解析] 设B(x，y)，根据题意可得，
即，
解得或，所以B(2,0)或B(4,6)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为_________.
[答案] －
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－1，又y1＝1，∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3)，又＝1，∴x1＝－2，即A(－2,1)，∴kAB＝＝－.
14．点A(3，－4)与点B(5,8)关于直线l对称，则直线l的方程为_________.
[答案] x＋6y－16＝0
[解析] 直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为(4,2)，kAB＝6，所以kl＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋6y－16＝0.
15．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_________.
[答案] 3
[解析] 依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.
16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)
[答案] ①⑤
[解析] 两平行线间的距离为
d＝＝，
由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
[点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的．所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－，
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
[解析] (1)直线l的方程为：y－5＝－(x＋2)整理得
3x＋4y－14＝0.
(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，
d＝＝3，
解得n＝1或－29.
∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
18．(本小题满分12分)求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程．
[解析] 解法一：设所求直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.
由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得
－·(－)＝－1.
解得λ＝.
故所求直线方程是3x－y＋2＝0.
解法二：设所求直线方程为3x－y＋m＝0.
由解得
即两已知直线的交点为(－1，－1)．
又3x－y＋m＝0过点(－1，－1)，
故－3＋1＋m＝0，m＝2.
故所求直线方程为3x－y＋2＝0.
19．(本小题满分12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2.
[分析] 解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|＝|PB|”和“到直线的距离为2”列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解．
[解析] 解法1：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|，
所以＝. ①
又点P到直线l的距离等于2，
所以＝2. ②
由①②联立方程组，解得P(1，－4)或P(，－)．
解法2：设点P(x，y)．因为|PA|＝|PB|，
所以点P在线段AB的垂直平分线上．
由题意知kAB＝－1，线段AB的中点为(3，－2)，所以线段AB的垂直平分线的方程是y＝x－5.
所以设点P(x，x－5)．
因为点P到直线l的距离等于2，所以＝2.
解得x＝1或x＝.
所以P(1，－4)或P(，－)．
[点评] 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题．其中解法2是利用了点P的几何特征产生的结果，所以解题时注意多发现，多思考．
20．(本小题满分12分)(2015·甘肃兰州一中期末)
△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)求直线BC的方程；
(3)求△BDE的面积．
[解析] (1)由已知得直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
(2)由得
即直线AB与直线BE的交点为B(，2)．
设C(m，n)，
则由已知条件得
解得∴C(2,1)．
∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0.
(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)．
∴|BE|＝＝，
由得
∴D(，)，
∴D到BE的距离为d＝＝，
∴S△BDE＝·d·|BE|＝.
21．(本小题满分12分)直线过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6.
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] 设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①
又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12，③
由题意得，＋＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
(1)若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
(2)当－2＋≤k≤0时，求折痕长的最大值．
[解析] (1)①当k＝0时，A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝.
②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，
∴A与G关于折痕所在的直线对称，
有kOG·k＝－1?·k＝－1?a＝－k.
故G点坐标为(－k,1)，
从而折痕所在直线与OG的交点坐标(即线段OG的中点)为M(－，)．
故折痕所在的直线方程为y－＝k(x＋)，即y＝kx＋＋.
由①②得折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋.
(2)当k＝0时，折痕的长为2.
当－2＋≤k＜0时，折痕所在直线交直线BC于点E(2,2k＋＋)，
交y轴于点N(0，)．
则|NE|2＝22＋[－(2k＋＋)]2＝4＋4k2≤4＋4(7－4)＝32－16.
此时，折痕长度的最大值为＝2(－)．
而2(－)＞2，
故折痕长度的最大值为2(－)．
