16.3.1 二次根式的加减（第一课时）教学设计【2024春人教八下数学同步优质教案】

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人教版初中数学八年级下册
16.3.1 二次根式的加减 教学设计
一、教学目标：
1.了解二次根式的加、减运算法则.
2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
二、教学重、难点：
重点：掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算.
难点：经历知识产生的过程，化简二次根式.
三、教学过程：
复习回顾
一、满足什么条件的根式是最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
二、练一练：
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)=____；(2)=_______；(3)=_____.
知识精讲
同类二次根式
下列3组二次根式各有什么特征？
(1)，，，，，…
(2)，，，，，…
(3)，，，，，…
答：第(1)组二次根式的被开方数都是____；第(2)组二次根式的被开方数都是____；第(3)组二次根式的被开方数化成最简二次根式后都是____.
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.
典例解析
例1.若最简根式与可以合并，求的值.
解：由题意得
解得
即
【点睛】确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可.
【针对练习】如果最简二次根式 和 是同类二次根式，求，的值．
解：由题意，得：，
解得： ,
∴，．
知识精讲
问题：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
∵ 5＞＞
∴ 木板够宽
两个正方形的边长和为：(+)dm
+=+(化成最简二次根式)
= (分配律)
=
由＜1.5可知＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于木板的长，因此可以用这块木板按要求截出两个面积分是8dm2和18dm2的正方形木板.
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.
加减法的运算步骤：
(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找—找出被开方数相同的二次根式；
(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
典例解析
例2.计算：
(1) (2)
解：
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
4x-3x=(4-3)x=x 3a2+5a2=(3+5)a2=8a2
【针对练习】1.下列计算是否正确？为什么？
(1) ( ) (2) ( )
(3) ( ) (4) ( )
2.计算：
(1) (2)
解：
例3.计算：
(1) (2)
解：(1)原式=4-2+12=14
(2)原式=2+2+- =3+
与能合并吗？
【针对练习】计算：
(1) (2)
解：(1)原式=3+7-3=10-3
(2)原式=2+-+=3+
例4.如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形ABCD，，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
解：∵正方形ABCD的面积是125，
∴，
∵，
∴，
∴空白部分的小正方形的边长为，
∴这个小正方形的周长为．
【针对练习】如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56和25.12.求圆环的宽度d(π取3.14，结果保留小数点后两位).
解：依题意得
答：圆环的宽度约为0.83.
例5.已知a,b,c满足.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.
解：(1)由题意得；
(2)能.理由如下：∵，即a＜c＜b，
又∵ ∴ a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
【针对练习】有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.
解：当腰长为时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
当腰长为时，
∵
∴此时能构成三角形，周长为
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（　 ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式化简后可以合并的一组是 （ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
3．下列计算中，正确的是（　 ）
A． B．4
C． D．
4．估算的值是（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
5．若两个最简二次根式与可以合并，则合并后的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
7.已知等腰三角形的两边长分别为和则这个三角形的周长为( )
A.9或12 B.9 C.7或9 D. 12
8．计算：＝_______．
9．已知 ，，则 __________．
10．已知是的整数部分，是的小数部分，则________．
11．已知等腰的两边长分别为和，则等腰的周长
是___________．
12.计算：
(1); (2)； (3)．
13.计算：
14.若最简二次根式与可以合并，求的算术平方根．
【参考答案】
B
C
C
B
D
C
D
(1)解：原式．
(2)解：原式；
(3)解：原式．
13. 解：
14. 解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
解得，
∴，
∴，
即的算术平方根是5．
四、教学反思：
在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐.
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