七年级下第八章全章教案(全国新人教版)
文档属性
| 名称 | 七年级下第八章全章教案(全国新人教版) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 81.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-04-19 22:00:00 | ||
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文档简介
第八章 二元一次方程组
本章教材分析
本章主要内容包括：二元一次方程组的相关概念、二元（三元）一次方程组的解法及其应用．本章在学生对一元一次方程已有所了解的基础上，将“一元”问题向“多元”问题探究，引入了二元一次方程组．在实际问题向方程组转化的数学建模过程中，应使学生充分挖掘实际问题中的各种条件，正确寻找相应的等量关系，这是列出正确方程组的关键．二元一次方程组的解答过程体现了将一种新知识向已学过的知识的转化思想，所以一元一次方程也就成了二元一次方程组得以解答的基础．转化的方法──“消元法”，具体地可分为加减、代入消元法．教学中应让学生深刻理解这种消元的目的，三元一次方程组是对于二元一次方程组的拓展．
以下是本章知识结构．
( http: / / www. / )
本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：
8．1 二元一次方程组 1课时
8．2 消元 3课时
8．3 实际问题和二元一次方程组 3课时
*8．4 三元一次方程组解法举例 1课时
本章复习 1课时
8.1 二元一次方程组
从容说课
本章是前面一元一次方程的继续与深化，实际生活中的未知元往往不止一个，因此有必要研究未知数多于一个的方程和方程组，学习二元一次方程组能使我们深刻体会到归化思想的神奇作用．
本节要让学生通过探索与活动了解二元一次方程、二元一次方程组的概念，体会增设未知元的优越性，进一步感受方程是刻画现实世界的有效模型，理解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念，会检验一组数是否是方程、方程组的解，从而达到能够通过设两个未知数将实际问题转化为二元一次方程组来解决的目的．
教学目标
1．了解二元一次方程、二元一次方程组的概念．
2．理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念，并会检验一组未知数的值是否是方程或方程组的解．
3．能通过设两个未知数，将实际问题转化为二元一次方程组．
教学重点
了解二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解的含义，并会检验二元一次方程组的解．
教学难点
1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．
2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．
导入新课
师：同学们都很喜欢篮球明星姚明吧，他在今年的雅典奥运会上带领我国篮球健儿们奋勇拼搏，打进了世界八强，为祖国争得了很高的荣誉．同学们，你们了解篮球联赛的有关规定吗？请看下列问题：
1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
2．已知某一铁路桥长1000m，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1min，整列火车完全在桥上的时间为40s，求火车的速度和它的长度．
你能用学过的一元一次方程解决这些问题吗？请同学们思考、讨论，并积极发表意见．
生：解：设这个队胜x场，则负（22-x）场，据题意，得2x+（22-x）=40．
解得x=18，∴22-18=4．
答：这个队胜18场负4场．
生：对于问题2 ，我发现1min减去40s即20s的时间火车走了两个身长，但它们都是未知数．
生：不用方程也可以解答．
如果把问题转化成从车头上桥到车头出桥为一个过程，则相当于1min加40s走了2个过程，每次行程1000m，所以火车的速度为（1000×2）÷（60+40）=20，再结合上位同学提到的车身长=×速度×时差=×20×（60-40）=200（m），所以说火车速度为20m/s，车身长为200m．
师：同学们的发言都很精彩，特别是第三位同学的深入思考解决了第二位同学的困难，而且他们都用到了数学的化归思想，我们为他们的良好表现鼓掌加油，好吗？
刚才第二位同学提到速度与车身长都是未知数，而且在解决上述两个问题时，大家讨论中也能发现，设一个未知数或用算术解法都需要深入思考才能解决问题，那么我们能不能多设一个未知数来解决大家遇到的困难呢？
推进新课
多条件限制，增设未知元帮忙
师：对于问题1，我们设这个队胜x场，负y场，请同学们寻求等量关系．
生：胜场数+负场数=总场数；
胜积分+负积分=总积分．
师：请同学们根据条件列出方程．
生：x+y=22；2x+y=40．
师：能按同样办法解决问题2吗？
（这时老师可参与学生的讨论，帮助学生用示意图寻找等量关系）
( http: / / www. / )
（从图中学生不难找出等量关系）
讨论结果：
①桥长+车身长=车速×时间；
②桥长-车身长=车速×时间．
注意：一个min，一个40s，要单位统一．
设火车速度为xm/s，车身长为ym，根据题意可列出下列方程：
1000+y=x·60，1000-y=x·40．
师：同学们已经感受到了，设出两个未知元，列方程时简便多了，请大家仔细观察和讨论，我们上面列出的四个方程和我们以前学过的一元一次方程有什么区别与联系．
定义方程、理解含义
生：上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数项的次数都是一次，我们是不是可以称它们为二元一次方程呢？
师：很好，它们的确都是二元一次方程．老师现在有一个方程，请同学们判断它是不是二元一次方程？
xy+1=0．
它和上面四个方程一样吗？
（同学们各抒己见，激烈争论，最后得出结论）
它和上面四个方程不一样，虽然含有两个未知数，未知数x，y的次数也都是一次的，但xy这一项是二次的，所以它不是二元一次方程．
师：大家看到了问题的本质，这很好．那么请同学们用自己的语言归纳什么叫二元一次方程，好吗？
归纳结果：
含有两个未知数且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫二元一次方程．
出示投影：
判断下列方程是不是二元一次方程．
1．2x2+y=0 （ ）
2．+3y=1 （ ）
3．x+y=0 （ ）
4．2x+3y=1+2x （ ）
5．=y （ ）
6．HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 =1 （ ）
答案：1．× 2．× 3．∨ 4．× 5．∨ 6．∨
师：接下来，我们继续研究方程x+y=22和2x+y=40，它们中的x、y含义相同吗？
生：应该相同，在两个方程中x都表示胜的场数，y都表示负的场数．
师：也就是说x、y同时满足两个二元一次方程，于是我们把这两个方程合在一起，写成
像这样的含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．
如：由问题2可得一个二元一次方程组HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4
在这个二元一次方程组中x都表示火车的速度，y都表示车身长．
出示投影：
做一做：
1．x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他适合x+y=8的x，y的值吗？
2．找一组x，y的值同时适合方程1000+y=60x和1000-y=40x．
3．通过上述问题，归纳总结什么是二元一次方程的解，满足什么条件的一组值才能作为二元一次方程组的解．
（教师参与学生的活动，从中发现问题，及时解决）
师生共析得出：两个二元一次方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
应用举例，巩固发展
例1：若3xm+1+5y2-n=3是一个二元一次方程，则m=______，n=______．
解：由二元一次方程的定义，得m+1=1，2-n=1．
∴m=0，n=1．
例2：写出一个以为解的二元一次方程组．
（开放题，答案不唯一）
如HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 等．
评价：像这样的构造型题，构造应按要求进行，越简单越好，不必将问题复杂化．
知能训练
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件，现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
解：设有x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，
由题意，得
根据问题的实际意义x、y必须是正整数，且x>y>0，取y=1，2，3，得x=6，5，4．经验证可得x=4，y=3，即解
所以安排第一道工序4人，第二道工序3人，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等．
课堂小结
这节课我们通过对实际问题的分析，进一步体会到方程是刻画现实世界的模型，在此基础上了解了二元一次方程（组）及其解等概念，并学会判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程组的解．
布置作业:习题8．1 1、2．
活动与探究
足球联赛得分规定: 胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分.某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？
8.2消元
第一课时
教学目标
1．体会用“代入法”解二元一次方程组的基本思路；
2．熟练地用代入法解二元一次方程组；
3．掌握“代入法”这一基本数学思想．
教学重点难点
1．用代入法解二元一次方程组；
2．利用代入法解方程组时，灵活运用已学知识；
3．学会选择适当的、简便的、有特点的方程变形．
教学准备
课件．
教学过程
课件展示上节课例“篮球联赛”题．
师：设一个未知数（设胜x场），
可以用一元一次方程2x＋(22－x)＝40来解．
如果设两个未知数（设胜x场，负y场），可以列方程组
那么一元一次方程与二元一次方程组有什么关系呢？
点评：引出的这一问题是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，体现了以学生为本的教学观念．
一、探究活动一．一元一次方程与二元一次方程的关系．
生：我们小组经过讨论，认为二元一次方程组中第一个方程x＋y＝22可变形为y＝22－x，再将第二个方程2x＋y＝40中的y换为(22－x)，二元一次方程组就化为一元一次方程．
解这个方程，得x＝18，再把x＝18代入y＝22－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解．
师：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
点评：创设学习情境，为学生提供从事数学活动的机会，同时也使学生在学习过程中不断被点拨、提升和指导．
二、探究活动二．如何用代入法解二元一次方程组？
组：我们小组讨论后认为首先应从方程组中选取一个方程，把其中的某一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来．例如，可将中的第一个方程变形为
y＝22－x③．
生：我们同意他们的做法，接下来就应该将这个代数式代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的，得到只含有一个未知数的一元一次方程．
例如，将③代入②，得到方程2x＋(22－x)＝40，再解这个方程，求出一个未知数x＝18，最后将x＝18代入第一步所得的式子，求出另外一个未知数的值．
师：同学们的探究活动进行得很好，如何解二元一次方程组呢？可以概括为：
（课件展示．）
（1）求表达式；
（2）代入消元；
（3）回代求解．
师：下面我们用大家总结出来的代入消元法求二元一次方程组的解．
（例题分析．）
例1 用代入法解方程组
三、探究活动三．如何求二元一次方程组的解？需注意哪些问题？
师：选择哪个方程呢？为什么？
组：我们认为选取①，因为①中未知数x的系数为1，用含y的代数式表示x，比较简便，把①变为x＝3＋y③．
师：把③代入①可以吗？为什么？
生：不可以．因为③与①是同一个方程，应将③代入②，得3(3＋y)－8y＝14．
师：得到这个方程后，下一步如何解？
生：先解出这个方程y＝－1，再把y＝－1代入③，得x＝2．
师：能否将y＝－1代入①或②？
生：可以．
师：如何表示方程组的解？
生：把两个未知数的解写在一起，就是方程组的解，一般写成的形式．
师：请同学们完整地解出题目．
四、探究活动四．如何用方程（组）解决实际问题．
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
师：如何来求解？
生：我们组认为用方程组解比较好．
设大瓶数为x，小瓶数为y．
两个相等关系分别为：
大瓶数︰小瓶数＝2∶5．
大瓶装消毒液＋小瓶装消毒液＝总生产量．
可列出方程组
师：不论用一元一次方程还是用二元一次方程组，都能达到解决问题的目的．如何解这个二元一次方程组呢？由同学们自己独立完成，并以小组为单位，归纳出解二元一次方程组的步骤．
课件展示几个学生的解题过程及解二元一次方程组的步骤．
点评：不断地帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握数学的基础知识和基本技能，帮助学生体会数学思想，掌握数学方法．
生：由①得，5x＝2y，变形为．③
把③代入②，得500x＋625x＝22500000．
解这个方程，得x＝20000．
把x＝20000代入③，得y＝50000．
这个方程组的解是
生：小结解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个未知数比较简单的方程；
（2）用一个未知数的代数式表示另一个未知数；
（3）把代数式代入到另一个方程，消未知数，得到一元一次方程；
（4）解一元一次方程，求出未知数的值；
（5）把未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；
（6）写出方程组的解．
师：在解二元一次方程组的解时，往往需先化简方程组．
点评：给予学生充分展示自我的机会，体现学生学习的主体性，关注学生在学习中成功情感的体验．
五、课堂练习．
解方程组
师：如何解这个二元一次方程组？
生：我认为首先要对①进行化简，这样做的目的在于降低计算难度．化简①，得4x－3y＝－5，则3y＝4x＋5，不必化为，为什么？
生：因为②中恰好有－3y这一项，故可将3y看成一个整体，代入消元，这样也可以减少计算量．
点评：从简单的“代入法”到“整体消元”，体现了技巧的灵活性和练习的层次性．
由学生独立写出解题步骤．
师：如何求的解？
生：我们发现方程中x、y都是以x－2，y－1的形式出现的，若将x－2，y－1看成整体，看成新的未知数，解关于x－2，y－1的方程组比较简便．
学生独立完成解题过程．
生：由①，得3(x－2)＝7＋4(y－1)③．
把③代入②，得3[7＋4(y－1)]－10(y－1)＝－25．
2(y－1)＝－46，
y－1＝－23，
y＝－22．
将y－1＝－23代入③，得
3(x－2)＝－85，
x－2＝，
原方程组的解为
师：代入法是解二元一次方程组的基本方法之一，其基本思想是“消元”，将“二元”转化为“一元”，同时也体现了数学中的“转化思想”．代入法是在很多地方都用得到的一种基本数学方法，更是一种数学思想．
六、课后小结．
今天的探究学习你们有哪些收获？以小组为单位总结出来．
七、作业练习．
p103 1，2，3．
教学反思：
本节教案的设计以学生为本，重视学生的感悟，主动探究、合作、补充的学习过程．注重激发学生的学习积极性，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，充分体现了学生是学习的主体这一教育理念．
8.2消元
第二课时
教学目标
1．进一步体会用“代入消元法”解二元一次方程组的基本思想；
2．熟练地用“加减消元法”解二元一次方程组；
3．掌握“加减消元法”这一基本数学思想．
教学重点难点
1．用“加减消元法”解二元一次方程组；
2．利用“加减消元法”解方程组时，灵活运用已学知识；
3．选择适当的、简便的、有特点的方程变形．
教学准备
课件．
教学过程
师：观察方程组并求解
师：（待同学们解出后，教师根据学生解题情况小结）同学们大多用代入消元法解出，“代入”的目的是“消元”，把“二元”消成“一元”，把不会解的转化为会解的，同学们观察方程组，它还有什么特征？你还能发现新的消元方法吗？
点评：所提出的问题，能帮助学生明确探究方向．
一、探究活动一．如何消元？
生：在这个方程组的两个方程中，y的系数相同，若将②—①，即可消去未知数y．
2x＋y－(x＋y)＝40－22，
x＝18．
师：用②—①的理论依据是什么？
生：利用等式的性质．
师：当二元一次方程组中某一未知数的系数相同时，可以利用等式的性质，消去这一未知数，达到化“二元”为“一元”的目的．
点评：所提出的问题，让学生认识到推理必须要有依据，引导学生从问题出发，利用观察、比较、归纳等思维活动，寻求解决问题的方法．
二、探究活动二．如何解方程组？
师：联系上一解法，思考一下如何解方程组：
生：二元一次方程组中y的系数相反，②＋①可消去未知数y，得19x＝11.6．
师：什么情况下，可以用这种方法消元？
生：在两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，可以用这种方法．
师：在两个二元一次方程中，同一未知数的系数相等或相反时，将两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，得到一元一次方程，这种方法叫做“加减消元法”，简称加减法．
三、探究活动三．能否用加减消元法解方程组？
师：方程组能用加减消元法吗？
生：这两个方程中没有同一个未知数的系数相同或相反，不能直接用加减消元法，如果将
①×3，得9x＋12y＝48．③
②×2，得10x－12y＝66．④
③④组成的新方程组中未知数y的系数相反，就可以用加减消元法．
师：③④组成的新方程组的解一定是①②组成的方程组的解吗？
生：一定是．因为③与①是同解方程，④与②是同解方程，所以③④的解一定是①②的解．
师：如果用加减法消去x，应如何解？
生：要想消去x，那么就需要将y的系数化成相等或相反．因此①×5，②×3之后，x的系数就相等了．
①×5得，15x＋20y＝80．③
②×3得，15x－18y＝99．④
③－④消去x，得一元一次方程 38y＝－19．
师：在解一个二元一次方程组时，首先要根据两个方程的未知数的系数特征，选择合适的未知数消元．
四、探究活动四．如何选择消元的对象？
生：我们小组经过讨论交流后认为：
一般选择系数绝对值较小的未知数消元；
（1）当某一未知数绝对值相等：若符号不同，用加法消元；若符号相同，用减法消元．
（2）当相同未知数的系数都不相同时：找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得某未知数系数的绝对值相同，再用加减消元法求解．
师：在用加减法解二元一次方程组时，应仔细观察两个方程的系数特征，通过比较后，选择一个易于消去的未知数，通过变形再用加减法．加减消元法是解二元一次方程组不同于代入消元法的另一基本方法．
点评：引导学生体会数学方法之间的联系，感受数学的整体性，不断地丰富解题的方法，提高解决问题的能力．
五、探究活动五．如何用加减法解二元一次方程组？
生：我们经过讨论后，总结出如下步骤：
（1）把一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等；
（2）把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个方程，求得一个未知数的值；
（4）把所求得的未知数的值代入方程组中某一个方程，求出另一个未知数的值；
（5）把求得的未知数的值写成的形式．
师：这个组总结得很好．总之，以上步骤可以概括为：变换系数，加减消元，回代求解．
点评：此处体现了教师是数学教学活动的组织者、引导者和合作者，教师的作用在于启迪学生的思维．
为学生提供从事数学活动的机会，帮助学生在合作交流、自主探索的过程中掌握数学知识与技能，获取广泛的数学活动经验．
六、探究活动六．如何列方程组解应用题？
师：运用方程组的知识如何解决实际问题，请看例题（课件展示）：
2台大收割机和5台小收割机，工作2小时收割小麦3.6公顷；3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷．求1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
学生自主学习合作交流，师点评。
七、探究活动七．用什么方法解方程组呢？
生：我认为（1）可以用代入消元法，具体做法是：
由①，得y＝1.5－2x．③
把③代入②，得3.2x＋2.4(1.5－2x)＝5.2．
化为一元一次方程，－1.6x＝1.6．
解一元一次方程，得x＝－1．
代入③，求出另一个未知数的值y＝3.5．
方程组（1）的解为
生：在求二元一次方程组的解时，当某一个未知数的系数为1或－1时，用代入消元法更合适．
组：我们发现第（2）题中y的系数有倍数关系，只要②×4，得12x－8y＝10，y的系数相反了，可以用加减消元法．
点评：教师通过设计教学活动内容，及时发现学生认知水平和能力的差异，满足学生多样化的学习．
具体做法是：
②×4，得12x－8＝20．③
③＋①，得16x＝32．
解这个一元一次方程，得x＝2．
将x＝2代入②，得
写出方程组的解
师：解二元一次方程组时，当某一个未知数的系数相等或相反时，可以直接用加减消元法；当某一个未知数的系数成倍数关系时，直接将一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减消元法．
点评：为学有余力的学生提供足够的学习材料，帮助他们发展数学才能．
生：第（3）题既不可以直接用代入消元法，也不可以直接用加减消元法，但是我们可以将x＋y，x－y看成一个整体，解关于x＋y，x－y的二元一次方程组，具体做法是：
设x＋y＝A，x－y＝B．
原方程组变为
①×8，得4A＋4B＝56．③
A的系数就化为相同的了，再用加减消元法．
师：非常好!这位同学的想法实际上是换元法．通过观察、分析、比较题目特征，选择适当的解题方法，灵活解决问题，恰是解方程组的关键所在．
师：下面请同学们独立完成第（3）题，体会换元法的好处．
点评：对于学习暂时有困难的学生，不断地鼓励他们参与数学学习活动，给他们发表自己看法的机会，及时鼓励他们的进步．
八、拓展探索．
一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成一个正方形，并且两个图形的面积相等，求这个长方形的长、宽各是多少？
生：设长方形的长为xcm，宽为ycm．
两个相等关系是：
（1）长减少5cm，宽增加2cm，变成正方形；
（2）长方形的面积二正方形的面积．
列方程组为
师：这个方程组该如何解呢？
生：化简②就可以变成一元一次方程
xy＝xy＋2x－5y－10，
即2x－5y＝10．③
再解由①③组成的二元一次方程组．
师：②表面看起来不是二元一次方程，经过化简变为二元一次方程．所以同学们一定要仔细观察方程的特征，再选择适当的方法解二元一次方程组．
九、课后小结．
1．通过今天的探究学习，你有哪些收获？以小组为单位讨论，个人再以书面的形式写出来；
2．小结一下解二元一次方程组的方法．
作业练习p103 2，3，4，5，6，7，8．
教学反思：
此节教案的设计，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而让学生更好地体会、理解数学知识的意义，同时也将新课标的理念化繁为简，化难为易，并逐条逐项地落实到教学中，重点突出，注重培养学生的能力，突出教材中知识、能力、素质三元合一的教学模式，侧重学法指导，启迪思维方法，在整个教学过程中，不断鼓励学生大胆实践．
8.3再探实际问题与二元一次方程组
第一课时
教学目标
1．了解方程个数与未知数个数之间的关系；
2．会列出二元一次方程组解简单的实际问题；
3．通过分析实际问题中的相等关系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点难点
根据实际问题中的数量关系，列出方程（组），并掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤．
教学准备
课件．
教学过程
师：前面我们结合实际问题，讨论了如何用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们将继续探讨如何用二元一次方程组解决实际问题．同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出结论后，再与小组成员交流．
点评：鼓励学生应用数学知识解决实际问题，增强学生学习数学的愿望与信心．
通过创设问题情境，帮助学生建立数学模型，从而将实际问题转化为数学问题．
一、探究活动一．如何将实际问题转化为数学问题？
（课件展示．）
养牛场原有30头母牛和15头小牛，1天约需用饲料675kg．一周后又购进12头母牛和5头小牛，与原有牛合起来，一天约需用饲料945kg．饲养员李大叔估计平均每头母牛1天约需饲料18—20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？
学生独立思考，设未知数，找相等关系，列方程组．
生1：我认为应设两个未知数：
设平均每日母牛约需饲料xkg；
设平均每日母牛约需饲料ykg．
根据题目内容，我找到两个相等关系：
①每天30头母牛和15头小牛吃饲料675kg；②因购进12头母牛和5头小牛后，母牛数变成42头，小牛数20头．所以得：
每天42头母牛和20头小牛吃饲料945kg．根据相等关系，列出方程组为：
师：根据两种情况的饲料用量，找到两个相等关系，并列出方程组，很好!列方程组解决实际问题，关键是找相等关系．
点评：不断地引导学生主动地参与教学活动，发扬教学民主，让学生成为课堂的主人．
生2：我找到的相等关系是：
每天30头母牛和15头小牛吃饲料675kg，
每天12头母牛和5头小牛吃饲料（945—675）kg．
列出方程组为：
师：好!这位同学做得也非常好．若将实际问题转化为数学问题，要找准题目中的已知
量、未知量，弄清题目中的相等关系，才能从实际问题中列出方程组．下面同学将方程组自行解出．
点评：对于学生的表现及时给出鼓励性评价，关注学生的差异，实施有差异的教学，让每个学生都在教学活动中有所收获．
二、探究活动二．如何设计种植方案？
（课件展示．）
根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5．现要在一块长200m、宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样分配种植面积，使甲、乙两种作物的总产量是3∶4（结果取整数）？
学生独立思考，然后小组交流，发表看法．
生1：我们设计的种植方案是：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．设AE＝xm，BE＝ym，两个相等关系是：
（1）AE＋BE＝200；
（2）甲、乙两种作物的总产量是3∶4．
列出方程组为
由②，得450y＝400x，即8x＝9y③
把③代入①，得
在离长方形土地长边一端约106米处，把这个长方形分成两个小长方形，较大的一块地种甲作物，较小的一块地种乙作物．
师：这个方案设计得非常好!那么其他同学还有不同的设计方案吗？
生2：我们设计的方案是：
点评：不断地鼓励学生大胆设想，大胆实践，在设想、实践、交流等数学活动中，让学生进一步形成自己对数学知识的理解和认识．
甲种作物种xm2，乙种作物种ym2．
相等关系是：
两种作物的种植面积为2000m2；
两种作物的总产量是3∶4．
列出方程组为：
师：通过对这两个实际问题的探究学习，我们思考一下该如何列方程组解决实际问题？
点评：让学生在数学活动中，掌握必要的基础知识及基本技能，发展学生应用数学知识的意识与能力，大胆放手让学生去总结、去归纳，不断地提高学生的能力．
三、探究活动三．如何列方程组解决实际问题？
生：我们经过讨论后，认为：
第一，要认真审题，找准题目中的已知量、未知量，弄清题目中的相等关系；
第二，设未知数；
第三，找出相等关系；
第四，根据相等关系，列出方程组，并求解．
师：他们总结得很好!有没有补充？
生：我们认为，求出方程组的解后，要对方程组的解进行检验．首先要检验解的正确性，然后再检查其解是否符合实际意义，不合理的结果要舍弃．
师：列方程组解应用题时，还应注意这样几个问题：
（1）方程的个数与所设未知数的个数应相等，否则会出现“不定解”的情况；
（2）在分析题意时，如果采用列表或图解方法，可以帮助我们理解和揭示数量之间的相等关系，以便于顺利地列出方程组；
（3）要不断总结，将常见的实际问题进行归类，利于我们提高解决问题的能力；
（4）解实际问题时，要特别注意检验．
点评：利用数学活动，为不同层次的学生提供从事数学活的机会，丰富学生的数学活动经验，提高思维水平．
四、课堂练习．
有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
师：能否通过列表或图解的方法，帮助我们找到数量之间的相等关系．
生：我们列出了这样一张表：
设大货车每辆装x吨，小货车每辆装y吨．
大货车数 小货车数 运货吨数
2 3 15.5
5 6 35
相等关系为：
2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；
5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．
列出方程组为：
师：请大家求出方程组的解，注意要对解进行检验．尤其要注意所设未知数并不是题目要求的量，这样设，是为了解题方便．
点评：不断地为学生提供帮助，使学生在教师的指导下，主动地学习，完成个性化的学习．
五、课后小结．
1．通过今天的探究学习，我们可以体会到方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．根据问题的数量关系，列出方程组就是建立了问题的数学模型，解出方程组后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
2．小结今天探究学习的收获，并归纳问题类型．
六、作业练习．
p108 2，3，4．
8.3再探实际问题与二元一次方程组
第二课时
教学目标
1．进一步学会列出二元一次方程组解较复杂的实际问题；
2．通过分析实际问题中的相等关系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；
3．帮助学生通过观察、分析、比较，运用方程组的相关知识解决数学问题．
教学重点难点
1．掌握列方程组解决实际问题的方法；
2．通过分析实际问题中的相等关系，会列出方程组解决实际问题．
教学准备
课件．
教学过程
一、引入新课．
师：从实际问题中列出方程组，将实际问题转化为数学问题，并加以解决，仍旧我们这一节主要探究的内容．我们首先要对材料进行认真地阅读，通过理解、分析、比较，运用方程组的相关知识，去解决这些问题，从而进一步提高我们分析问题和解决问题的能力．
（课件展示．）
已知（如图8—3—1）长青化工厂与A、B两地由公路和铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元／（吨·千米），铁路运价为1.2元／（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
师：销售款与什么因素有关？原料费与什么因素有关？存在着怎样的相等关系？
生：销售款与产品质量有关；原料费与原料质量有关；要想求销售款与原料费，首先需求出产品质量及原料质量．
设产品质量为x吨，原料质量为y吨．则产品质量与原料质量都与运费有关，但是我们还没有找到他们之间的质量关系．
点评：有意识地引导学生主动地参与分析、交流等数学活动．
师：好，首先应该表扬的是，你们没有“问什么就设什么”，而是设了一对间接未知量，这恰好抓住了问题的关键，至于如何寻求数量关系，不要着急，先请大家思考一下，两次运费共支出公路运费15000元是什么含义呢？
生：我们认为是（由A→长青化工厂）10km的公路运费与（由长青化工厂→B）20km的公路运费之和．
师：很好!那么“由A→长青化工厂”这10km的公路运费如何表示出来呢？
点评：教师非常尊重学生在学习中所表现出的差异．
生：由A→长青化工厂这10km的公路运费与运价、原料的质量以及公路的长度有关，可以表示为10×1.5y；由长青化工厂→B的公路运费可以表示为20×1.5x．
点评：将问题分解，目的是为了鼓励学生有信心、有兴趣地参与数学活动．
两者的和为15000元，用方程可表示为：10×1.5y＋20×1.5x－15000，化简后为15y＋30x＝15000．
师：通过分析，我们找到一个相等关系：
10km的公路原料运费＋20km的公路产品运费＝15000元． 顺着这一思路考虑，能否找到其他相等关系？
生：120km的铁路原料运费＋110km的铁路产品运费＝97200元．
列出方程为：120×1.2y＋110×1.2x＝97200．化简后为144y＋132x＝97200．
点评：对于学习有困难的学生，教师及时给予帮助，鼓励他们发表自己的看法．
师：非常好!我们通过阅读材料，理解了内容，分析出两个相等关系，列出了方程组．我们在阅读材料时，能否通过列表或图解等方法表示出数量之间相等关系呢？
点评：对于学生在学习过程中出现的困难，耐心地引导他们去分析问题，目的是增强他们学习数学的兴趣和信心．
生：能．我们列出了这样一个表格：
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费
铁路运费
x吨产品的公路运费可以表示为：20×1.5x；y吨原料的公路运费可以表示为：10×1.5y；
公路运费合计为：20×1.5x＋10×1.5y＝15000；
x吨产品的铁路运费可以表示为：110×1.2x；y吨原料的铁路运费可以表示为：120×1.2y；
铁路运费合计：110×1.2x＋120×1.2y＝97200．
依据表格中的数量关系，可列方程组为：
师：列表可以一目了然地表示数量之间关系，下面请同学们独立求出方程组的解．
生：我解出的解为
师：那么销售款如何计算呢？原料费为运输费的和又如何计算呢？
生：产品300吨，每吨8000元；
销售款为8000×300＝2400000（元）；原料400吨，每吨1000元；原料费为400×1000＝400000（元）．
运费合计15000＋97200＝112200元．
销售款比原料费与运输费的和多2400000－(112200＋400000)＝1887800（元）．
师：通过以上的探究学习，我们认识到方程组是解决含有多个未知数的问题的重要工具．根据问题中的数量关系，列出方程组就是建立了数学模型，解出方程组后，应进一步考虑解是否符合问题的实际意义．
二、课堂练习．
买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，打折后比不打折少花多少钱？
师：仔细阅读材料，理解材料内容，找到相等关系，是解答本题的关键．
生：所求量与打折前A、B商品的价格有关系，因此需先求出打折前A、B两种商品的价格．
师：打折前A、B两种商品的价格又与哪些量之间存在着怎样的关系呢？
生：我们通过列表找到数量之间的相等关系．
设打折前A商品的价格为x元，打折前B商品的价格为y元．
A B 合计
60x 30y 1080
50x 10y 840
两个相等关系为：
60件A商品和30件B商品用了1080元；
50件A商品和10件B商品用了840元．
列出方程组为：
方程组的解为：
再求出打折前500件A商品和500件B商品用了多少元：
(16＋4)×500＝10000（元）．
最后再计算出少花多少钱：
10000－9600＝400元．
师：当计算出打折前A、B两种商品的价格后，要特别注意检验，一是要检验所求得的解是否是原方程组的解，二是要看它是否符合实际意义．
三、拓展探索．
下表为某一周甲、乙两种股票每天的收盘价
（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：
周一 周二 周三 周四 周五
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.15
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费），此人账户上周二比周一多200元，周三比周二多1300元，试问此人持有甲、乙股票各多少股？
师：正确理解表格，建立方程组是解答本题的关键．股价的变化以表格的形式给出，同学们关键要读懂表格，理解表格中数据的意义，充分利用表格中的信息．
点评：通过教师的引导、启发，帮助学生获得解决问题的思路．
生：获利与甲、乙两种股票的股数有关，同时还与每天的收盘价有关．
设甲股票有x股，乙股票有y股．
从表格中看出数量关系．
师：表格上没有直接反映出数量关系，但是我们可以从两次获利情况找出相等关系．
组：我们找到了两个相等关系；
周二比周一多200元；
周三比周二多1300元；
但这两个关系又该如何转化为方程呢？
师：那就需要分别求出周一、周二、周三的情况．
生：周一、周二、周三的钱数均与甲、乙两种股票的股数及当天的股价有关．
周一情况：12x＋13.5y；
周二情况：12.5x＋13.3y；
周三情况：12.9x＋13.9y．
周二比周一多200元可列方程为：
12.5x＋13.3y－(12x＋13.5y)＝200．
周三比周二多1300元可列方程为：
12.9x＋13.9y－(12.5x＋13.3y)＝1300．
师：好!表格的作用是告诉我们股价变化与时间的关系．我们要充分利用表格中提供的信息，从不同的获利处找寻相等关系，列出方程组．
点评：帮助学生寻找解决问题的有效办法，鼓励学生表述自己的思考过程．
四、课后小结．
1．通过今天的探究活动，你们有哪些收获，思考后在组内交流．
2．列方程组解应用题的核心就是根据题意把已知量与未知量联系起来找相等关系．一般设几个未知数，就需要列几个方程，列方程组解应用题，还要树立检验意识．
五、作业练习．
p108 5，6；7、9
教学反思：
列方程组解应用题，历来都是教学中的难点，为了寻求突破，本节教学内容的设计，结合具体的数学内容采用了“问题情境——建立模型——解释应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而让学生更好地理解了数学知识的含义．在整个数学活动的设计中，充分体现了教师是组织者、引导者、合作者，教师在不断地引导学生主动从事独立思考、分析及与他人交流、发展自己看法的教学活动中，帮助学生形成应用数学的意识，同时还鼓励与提倡学生用多种方法解决问题，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平．这样的教学活动可以促使学生加深对数学知识的理解和逐步形成有效的学习策略．
8.4 三元一次方程组的解法举例
教学目标
一、知识目标
1．知道什么是三元一次方程．
2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．
二、能力目标
1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．
2．培养学生的计算能力、训练解题技巧．
三、思品目标
1、渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知．
2、通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．
教法与学法：
1．教学方法：观察法、讨论法、练习法．
2．学生学法：三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键．一般来说应先消去系数最简单的未知数．
重点、难点
1、重点：使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．
2、难点：针对方程组的特点，选择最好的解法．
教学过程
一、复习导入、探索新知
（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？
甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
题目中有几个未知数？含有几个相等关系 你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得
④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程组．
解：由②，得 ④
把④代入①，得 ⑤
把④代入③，得 ⑥
⑤与⑥组成方程组
解这个方程组得
把 代入④，得
∴
∴ Z = -2
注意：a．得二元一次方程组后，解二元一次方程的过程在练习本上完成．
b．得 ， 后，求 ，要代入前面最简单的方程④．
c．检验．
这道题也可以用加减法解，②中不含 ，那么可以考虑将①与③结合消去，与②组成二元一次方程组．
学生活动：在练习本上用加减法解方程组．
（教法说明：通过一题多解，不仅能开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且，可以巩固解方程组时通过“消元”把未知转化为已知的基本思想．）
二、学生尝试解决例题
例1 解方程组
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
解：②×3＋③，得 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把 ， 代入②，得
∴
∴
归纳：这个方程组的特点是方程①不含 ，而②、③中 的系数绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②、③中消去 后，再与①组成只含 、 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③较繁．
（教法说明：有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．）
三、尝试反馈，巩固知识
1、练习：P114页第1、2题。
2、学生活动：独立完成练习后，同桌、前后桌之间按不同解法的同学交换，看哪种方法最简单．
四、变式训练，培养能力
补例：解方程组
（学生活动：可独立完成．）
（教法说明：此方程组中方程①、③中 、 的系数完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 ．这道题直接化三元为一元，能使学生体会到解法技巧的重要性，觉得数学问题真是奥妙无穷!）
五、总结、扩展
1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
3．注意检验．
（教法说明：这样总结，既突出了本课重点，又突出了本节内容中例题、习题的特点—某个方程只含两元，使学生在以后解题时有很强的针对性．）
六、布置作业
（一）必做题：课本P114页 习题8.4第1、2题
教学反思：在本节教学中通过复习二元一次方程组的解题思想，从而类推出三元一次方程组的解题思想及解题方法，让学生牢牢抓住利用消元的思想化三元为二元，再化二元为一元的办法来求解．
本章教材分析
本章主要内容包括：二元一次方程组的相关概念、二元（三元）一次方程组的解法及其应用．本章在学生对一元一次方程已有所了解的基础上，将“一元”问题向“多元”问题探究，引入了二元一次方程组．在实际问题向方程组转化的数学建模过程中，应使学生充分挖掘实际问题中的各种条件，正确寻找相应的等量关系，这是列出正确方程组的关键．二元一次方程组的解答过程体现了将一种新知识向已学过的知识的转化思想，所以一元一次方程也就成了二元一次方程组得以解答的基础．转化的方法──“消元法”，具体地可分为加减、代入消元法．教学中应让学生深刻理解这种消元的目的，三元一次方程组是对于二元一次方程组的拓展．
以下是本章知识结构．
( http: / / www. / )
本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：
8．1 二元一次方程组 1课时
8．2 消元 3课时
8．3 实际问题和二元一次方程组 3课时
*8．4 三元一次方程组解法举例 1课时
本章复习 1课时
8.1 二元一次方程组
从容说课
本章是前面一元一次方程的继续与深化，实际生活中的未知元往往不止一个，因此有必要研究未知数多于一个的方程和方程组，学习二元一次方程组能使我们深刻体会到归化思想的神奇作用．
本节要让学生通过探索与活动了解二元一次方程、二元一次方程组的概念，体会增设未知元的优越性，进一步感受方程是刻画现实世界的有效模型，理解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念，会检验一组数是否是方程、方程组的解，从而达到能够通过设两个未知数将实际问题转化为二元一次方程组来解决的目的．
教学目标
1．了解二元一次方程、二元一次方程组的概念．
2．理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念，并会检验一组未知数的值是否是方程或方程组的解．
3．能通过设两个未知数，将实际问题转化为二元一次方程组．
教学重点
了解二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解的含义，并会检验二元一次方程组的解．
教学难点
1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．
2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．
导入新课
师：同学们都很喜欢篮球明星姚明吧，他在今年的雅典奥运会上带领我国篮球健儿们奋勇拼搏，打进了世界八强，为祖国争得了很高的荣誉．同学们，你们了解篮球联赛的有关规定吗？请看下列问题：
1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
2．已知某一铁路桥长1000m，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1min，整列火车完全在桥上的时间为40s，求火车的速度和它的长度．
你能用学过的一元一次方程解决这些问题吗？请同学们思考、讨论，并积极发表意见．
生：解：设这个队胜x场，则负（22-x）场，据题意，得2x+（22-x）=40．
解得x=18，∴22-18=4．
答：这个队胜18场负4场．
生：对于问题2 ，我发现1min减去40s即20s的时间火车走了两个身长，但它们都是未知数．
生：不用方程也可以解答．
如果把问题转化成从车头上桥到车头出桥为一个过程，则相当于1min加40s走了2个过程，每次行程1000m，所以火车的速度为（1000×2）÷（60+40）=20，再结合上位同学提到的车身长=×速度×时差=×20×（60-40）=200（m），所以说火车速度为20m/s，车身长为200m．
师：同学们的发言都很精彩，特别是第三位同学的深入思考解决了第二位同学的困难，而且他们都用到了数学的化归思想，我们为他们的良好表现鼓掌加油，好吗？
刚才第二位同学提到速度与车身长都是未知数，而且在解决上述两个问题时，大家讨论中也能发现，设一个未知数或用算术解法都需要深入思考才能解决问题，那么我们能不能多设一个未知数来解决大家遇到的困难呢？
推进新课
多条件限制，增设未知元帮忙
师：对于问题1，我们设这个队胜x场，负y场，请同学们寻求等量关系．
生：胜场数+负场数=总场数；
胜积分+负积分=总积分．
师：请同学们根据条件列出方程．
生：x+y=22；2x+y=40．
师：能按同样办法解决问题2吗？
（这时老师可参与学生的讨论，帮助学生用示意图寻找等量关系）
( http: / / www. / )
（从图中学生不难找出等量关系）
讨论结果：
①桥长+车身长=车速×时间；
②桥长-车身长=车速×时间．
注意：一个min，一个40s，要单位统一．
设火车速度为xm/s，车身长为ym，根据题意可列出下列方程：
1000+y=x·60，1000-y=x·40．
师：同学们已经感受到了，设出两个未知元，列方程时简便多了，请大家仔细观察和讨论，我们上面列出的四个方程和我们以前学过的一元一次方程有什么区别与联系．
定义方程、理解含义
生：上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数项的次数都是一次，我们是不是可以称它们为二元一次方程呢？
师：很好，它们的确都是二元一次方程．老师现在有一个方程，请同学们判断它是不是二元一次方程？
xy+1=0．
它和上面四个方程一样吗？
（同学们各抒己见，激烈争论，最后得出结论）
它和上面四个方程不一样，虽然含有两个未知数，未知数x，y的次数也都是一次的，但xy这一项是二次的，所以它不是二元一次方程．
师：大家看到了问题的本质，这很好．那么请同学们用自己的语言归纳什么叫二元一次方程，好吗？
归纳结果：
含有两个未知数且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫二元一次方程．
出示投影：
判断下列方程是不是二元一次方程．
1．2x2+y=0 （ ）
2．+3y=1 （ ）
3．x+y=0 （ ）
4．2x+3y=1+2x （ ）
5．=y （ ）
6．HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 =1 （ ）
答案：1．× 2．× 3．∨ 4．× 5．∨ 6．∨
师：接下来，我们继续研究方程x+y=22和2x+y=40，它们中的x、y含义相同吗？
生：应该相同，在两个方程中x都表示胜的场数，y都表示负的场数．
师：也就是说x、y同时满足两个二元一次方程，于是我们把这两个方程合在一起，写成
像这样的含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．
如：由问题2可得一个二元一次方程组HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4
在这个二元一次方程组中x都表示火车的速度，y都表示车身长．
出示投影：
做一做：
1．x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他适合x+y=8的x，y的值吗？
2．找一组x，y的值同时适合方程1000+y=60x和1000-y=40x．
3．通过上述问题，归纳总结什么是二元一次方程的解，满足什么条件的一组值才能作为二元一次方程组的解．
（教师参与学生的活动，从中发现问题，及时解决）
师生共析得出：两个二元一次方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
应用举例，巩固发展
例1：若3xm+1+5y2-n=3是一个二元一次方程，则m=______，n=______．
解：由二元一次方程的定义，得m+1=1，2-n=1．
∴m=0，n=1．
例2：写出一个以为解的二元一次方程组．
（开放题，答案不唯一）
如HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 等．
评价：像这样的构造型题，构造应按要求进行，越简单越好，不必将问题复杂化．
知能训练
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件，现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
解：设有x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，
由题意，得
根据问题的实际意义x、y必须是正整数，且x>y>0，取y=1，2，3，得x=6，5，4．经验证可得x=4，y=3，即解
所以安排第一道工序4人，第二道工序3人，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等．
课堂小结
这节课我们通过对实际问题的分析，进一步体会到方程是刻画现实世界的模型，在此基础上了解了二元一次方程（组）及其解等概念，并学会判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程组的解．
布置作业:习题8．1 1、2．
活动与探究
足球联赛得分规定: 胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分.某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？
8.2消元
第一课时
教学目标
1．体会用“代入法”解二元一次方程组的基本思路；
2．熟练地用代入法解二元一次方程组；
3．掌握“代入法”这一基本数学思想．
教学重点难点
1．用代入法解二元一次方程组；
2．利用代入法解方程组时，灵活运用已学知识；
3．学会选择适当的、简便的、有特点的方程变形．
教学准备
课件．
教学过程
课件展示上节课例“篮球联赛”题．
师：设一个未知数（设胜x场），
可以用一元一次方程2x＋(22－x)＝40来解．
如果设两个未知数（设胜x场，负y场），可以列方程组
那么一元一次方程与二元一次方程组有什么关系呢？
点评：引出的这一问题是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，体现了以学生为本的教学观念．
一、探究活动一．一元一次方程与二元一次方程的关系．
生：我们小组经过讨论，认为二元一次方程组中第一个方程x＋y＝22可变形为y＝22－x，再将第二个方程2x＋y＝40中的y换为(22－x)，二元一次方程组就化为一元一次方程．
解这个方程，得x＝18，再把x＝18代入y＝22－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解．
师：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
点评：创设学习情境，为学生提供从事数学活动的机会，同时也使学生在学习过程中不断被点拨、提升和指导．
二、探究活动二．如何用代入法解二元一次方程组？
组：我们小组讨论后认为首先应从方程组中选取一个方程，把其中的某一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来．例如，可将中的第一个方程变形为
y＝22－x③．
生：我们同意他们的做法，接下来就应该将这个代数式代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的，得到只含有一个未知数的一元一次方程．
例如，将③代入②，得到方程2x＋(22－x)＝40，再解这个方程，求出一个未知数x＝18，最后将x＝18代入第一步所得的式子，求出另外一个未知数的值．
师：同学们的探究活动进行得很好，如何解二元一次方程组呢？可以概括为：
（课件展示．）
（1）求表达式；
（2）代入消元；
（3）回代求解．
师：下面我们用大家总结出来的代入消元法求二元一次方程组的解．
（例题分析．）
例1 用代入法解方程组
三、探究活动三．如何求二元一次方程组的解？需注意哪些问题？
师：选择哪个方程呢？为什么？
组：我们认为选取①，因为①中未知数x的系数为1，用含y的代数式表示x，比较简便，把①变为x＝3＋y③．
师：把③代入①可以吗？为什么？
生：不可以．因为③与①是同一个方程，应将③代入②，得3(3＋y)－8y＝14．
师：得到这个方程后，下一步如何解？
生：先解出这个方程y＝－1，再把y＝－1代入③，得x＝2．
师：能否将y＝－1代入①或②？
生：可以．
师：如何表示方程组的解？
生：把两个未知数的解写在一起，就是方程组的解，一般写成的形式．
师：请同学们完整地解出题目．
四、探究活动四．如何用方程（组）解决实际问题．
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
师：如何来求解？
生：我们组认为用方程组解比较好．
设大瓶数为x，小瓶数为y．
两个相等关系分别为：
大瓶数︰小瓶数＝2∶5．
大瓶装消毒液＋小瓶装消毒液＝总生产量．
可列出方程组
师：不论用一元一次方程还是用二元一次方程组，都能达到解决问题的目的．如何解这个二元一次方程组呢？由同学们自己独立完成，并以小组为单位，归纳出解二元一次方程组的步骤．
课件展示几个学生的解题过程及解二元一次方程组的步骤．
点评：不断地帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握数学的基础知识和基本技能，帮助学生体会数学思想，掌握数学方法．
生：由①得，5x＝2y，变形为．③
把③代入②，得500x＋625x＝22500000．
解这个方程，得x＝20000．
把x＝20000代入③，得y＝50000．
这个方程组的解是
生：小结解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个未知数比较简单的方程；
（2）用一个未知数的代数式表示另一个未知数；
（3）把代数式代入到另一个方程，消未知数，得到一元一次方程；
（4）解一元一次方程，求出未知数的值；
（5）把未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；
（6）写出方程组的解．
师：在解二元一次方程组的解时，往往需先化简方程组．
点评：给予学生充分展示自我的机会，体现学生学习的主体性，关注学生在学习中成功情感的体验．
五、课堂练习．
解方程组
师：如何解这个二元一次方程组？
生：我认为首先要对①进行化简，这样做的目的在于降低计算难度．化简①，得4x－3y＝－5，则3y＝4x＋5，不必化为，为什么？
生：因为②中恰好有－3y这一项，故可将3y看成一个整体，代入消元，这样也可以减少计算量．
点评：从简单的“代入法”到“整体消元”，体现了技巧的灵活性和练习的层次性．
由学生独立写出解题步骤．
师：如何求的解？
生：我们发现方程中x、y都是以x－2，y－1的形式出现的，若将x－2，y－1看成整体，看成新的未知数，解关于x－2，y－1的方程组比较简便．
学生独立完成解题过程．
生：由①，得3(x－2)＝7＋4(y－1)③．
把③代入②，得3[7＋4(y－1)]－10(y－1)＝－25．
2(y－1)＝－46，
y－1＝－23，
y＝－22．
将y－1＝－23代入③，得
3(x－2)＝－85，
x－2＝，
原方程组的解为
师：代入法是解二元一次方程组的基本方法之一，其基本思想是“消元”，将“二元”转化为“一元”，同时也体现了数学中的“转化思想”．代入法是在很多地方都用得到的一种基本数学方法，更是一种数学思想．
六、课后小结．
今天的探究学习你们有哪些收获？以小组为单位总结出来．
七、作业练习．
p103 1，2，3．
教学反思：
本节教案的设计以学生为本，重视学生的感悟，主动探究、合作、补充的学习过程．注重激发学生的学习积极性，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，充分体现了学生是学习的主体这一教育理念．
8.2消元
第二课时
教学目标
1．进一步体会用“代入消元法”解二元一次方程组的基本思想；
2．熟练地用“加减消元法”解二元一次方程组；
3．掌握“加减消元法”这一基本数学思想．
教学重点难点
1．用“加减消元法”解二元一次方程组；
2．利用“加减消元法”解方程组时，灵活运用已学知识；
3．选择适当的、简便的、有特点的方程变形．
教学准备
课件．
教学过程
师：观察方程组并求解
师：（待同学们解出后，教师根据学生解题情况小结）同学们大多用代入消元法解出，“代入”的目的是“消元”，把“二元”消成“一元”，把不会解的转化为会解的，同学们观察方程组，它还有什么特征？你还能发现新的消元方法吗？
点评：所提出的问题，能帮助学生明确探究方向．
一、探究活动一．如何消元？
生：在这个方程组的两个方程中，y的系数相同，若将②—①，即可消去未知数y．
2x＋y－(x＋y)＝40－22，
x＝18．
师：用②—①的理论依据是什么？
生：利用等式的性质．
师：当二元一次方程组中某一未知数的系数相同时，可以利用等式的性质，消去这一未知数，达到化“二元”为“一元”的目的．
点评：所提出的问题，让学生认识到推理必须要有依据，引导学生从问题出发，利用观察、比较、归纳等思维活动，寻求解决问题的方法．
二、探究活动二．如何解方程组？
师：联系上一解法，思考一下如何解方程组：
生：二元一次方程组中y的系数相反，②＋①可消去未知数y，得19x＝11.6．
师：什么情况下，可以用这种方法消元？
生：在两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，可以用这种方法．
师：在两个二元一次方程中，同一未知数的系数相等或相反时，将两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，得到一元一次方程，这种方法叫做“加减消元法”，简称加减法．
三、探究活动三．能否用加减消元法解方程组？
师：方程组能用加减消元法吗？
生：这两个方程中没有同一个未知数的系数相同或相反，不能直接用加减消元法，如果将
①×3，得9x＋12y＝48．③
②×2，得10x－12y＝66．④
③④组成的新方程组中未知数y的系数相反，就可以用加减消元法．
师：③④组成的新方程组的解一定是①②组成的方程组的解吗？
生：一定是．因为③与①是同解方程，④与②是同解方程，所以③④的解一定是①②的解．
师：如果用加减法消去x，应如何解？
生：要想消去x，那么就需要将y的系数化成相等或相反．因此①×5，②×3之后，x的系数就相等了．
①×5得，15x＋20y＝80．③
②×3得，15x－18y＝99．④
③－④消去x，得一元一次方程 38y＝－19．
师：在解一个二元一次方程组时，首先要根据两个方程的未知数的系数特征，选择合适的未知数消元．
四、探究活动四．如何选择消元的对象？
生：我们小组经过讨论交流后认为：
一般选择系数绝对值较小的未知数消元；
（1）当某一未知数绝对值相等：若符号不同，用加法消元；若符号相同，用减法消元．
（2）当相同未知数的系数都不相同时：找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得某未知数系数的绝对值相同，再用加减消元法求解．
师：在用加减法解二元一次方程组时，应仔细观察两个方程的系数特征，通过比较后，选择一个易于消去的未知数，通过变形再用加减法．加减消元法是解二元一次方程组不同于代入消元法的另一基本方法．
点评：引导学生体会数学方法之间的联系，感受数学的整体性，不断地丰富解题的方法，提高解决问题的能力．
五、探究活动五．如何用加减法解二元一次方程组？
生：我们经过讨论后，总结出如下步骤：
（1）把一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等；
（2）把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个方程，求得一个未知数的值；
（4）把所求得的未知数的值代入方程组中某一个方程，求出另一个未知数的值；
（5）把求得的未知数的值写成的形式．
师：这个组总结得很好．总之，以上步骤可以概括为：变换系数，加减消元，回代求解．
点评：此处体现了教师是数学教学活动的组织者、引导者和合作者，教师的作用在于启迪学生的思维．
为学生提供从事数学活动的机会，帮助学生在合作交流、自主探索的过程中掌握数学知识与技能，获取广泛的数学活动经验．
六、探究活动六．如何列方程组解应用题？
师：运用方程组的知识如何解决实际问题，请看例题（课件展示）：
2台大收割机和5台小收割机，工作2小时收割小麦3.6公顷；3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷．求1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
学生自主学习合作交流，师点评。
七、探究活动七．用什么方法解方程组呢？
生：我认为（1）可以用代入消元法，具体做法是：
由①，得y＝1.5－2x．③
把③代入②，得3.2x＋2.4(1.5－2x)＝5.2．
化为一元一次方程，－1.6x＝1.6．
解一元一次方程，得x＝－1．
代入③，求出另一个未知数的值y＝3.5．
方程组（1）的解为
生：在求二元一次方程组的解时，当某一个未知数的系数为1或－1时，用代入消元法更合适．
组：我们发现第（2）题中y的系数有倍数关系，只要②×4，得12x－8y＝10，y的系数相反了，可以用加减消元法．
点评：教师通过设计教学活动内容，及时发现学生认知水平和能力的差异，满足学生多样化的学习．
具体做法是：
②×4，得12x－8＝20．③
③＋①，得16x＝32．
解这个一元一次方程，得x＝2．
将x＝2代入②，得
写出方程组的解
师：解二元一次方程组时，当某一个未知数的系数相等或相反时，可以直接用加减消元法；当某一个未知数的系数成倍数关系时，直接将一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减消元法．
点评：为学有余力的学生提供足够的学习材料，帮助他们发展数学才能．
生：第（3）题既不可以直接用代入消元法，也不可以直接用加减消元法，但是我们可以将x＋y，x－y看成一个整体，解关于x＋y，x－y的二元一次方程组，具体做法是：
设x＋y＝A，x－y＝B．
原方程组变为
①×8，得4A＋4B＝56．③
A的系数就化为相同的了，再用加减消元法．
师：非常好!这位同学的想法实际上是换元法．通过观察、分析、比较题目特征，选择适当的解题方法，灵活解决问题，恰是解方程组的关键所在．
师：下面请同学们独立完成第（3）题，体会换元法的好处．
点评：对于学习暂时有困难的学生，不断地鼓励他们参与数学学习活动，给他们发表自己看法的机会，及时鼓励他们的进步．
八、拓展探索．
一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成一个正方形，并且两个图形的面积相等，求这个长方形的长、宽各是多少？
生：设长方形的长为xcm，宽为ycm．
两个相等关系是：
（1）长减少5cm，宽增加2cm，变成正方形；
（2）长方形的面积二正方形的面积．
列方程组为
师：这个方程组该如何解呢？
生：化简②就可以变成一元一次方程
xy＝xy＋2x－5y－10，
即2x－5y＝10．③
再解由①③组成的二元一次方程组．
师：②表面看起来不是二元一次方程，经过化简变为二元一次方程．所以同学们一定要仔细观察方程的特征，再选择适当的方法解二元一次方程组．
九、课后小结．
1．通过今天的探究学习，你有哪些收获？以小组为单位讨论，个人再以书面的形式写出来；
2．小结一下解二元一次方程组的方法．
作业练习p103 2，3，4，5，6，7，8．
教学反思：
此节教案的设计，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而让学生更好地体会、理解数学知识的意义，同时也将新课标的理念化繁为简，化难为易，并逐条逐项地落实到教学中，重点突出，注重培养学生的能力，突出教材中知识、能力、素质三元合一的教学模式，侧重学法指导，启迪思维方法，在整个教学过程中，不断鼓励学生大胆实践．
8.3再探实际问题与二元一次方程组
第一课时
教学目标
1．了解方程个数与未知数个数之间的关系；
2．会列出二元一次方程组解简单的实际问题；
3．通过分析实际问题中的相等关系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点难点
根据实际问题中的数量关系，列出方程（组），并掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤．
教学准备
课件．
教学过程
师：前面我们结合实际问题，讨论了如何用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们将继续探讨如何用二元一次方程组解决实际问题．同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出结论后，再与小组成员交流．
点评：鼓励学生应用数学知识解决实际问题，增强学生学习数学的愿望与信心．
通过创设问题情境，帮助学生建立数学模型，从而将实际问题转化为数学问题．
一、探究活动一．如何将实际问题转化为数学问题？
（课件展示．）
养牛场原有30头母牛和15头小牛，1天约需用饲料675kg．一周后又购进12头母牛和5头小牛，与原有牛合起来，一天约需用饲料945kg．饲养员李大叔估计平均每头母牛1天约需饲料18—20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？
学生独立思考，设未知数，找相等关系，列方程组．
生1：我认为应设两个未知数：
设平均每日母牛约需饲料xkg；
设平均每日母牛约需饲料ykg．
根据题目内容，我找到两个相等关系：
①每天30头母牛和15头小牛吃饲料675kg；②因购进12头母牛和5头小牛后，母牛数变成42头，小牛数20头．所以得：
每天42头母牛和20头小牛吃饲料945kg．根据相等关系，列出方程组为：
师：根据两种情况的饲料用量，找到两个相等关系，并列出方程组，很好!列方程组解决实际问题，关键是找相等关系．
点评：不断地引导学生主动地参与教学活动，发扬教学民主，让学生成为课堂的主人．
生2：我找到的相等关系是：
每天30头母牛和15头小牛吃饲料675kg，
每天12头母牛和5头小牛吃饲料（945—675）kg．
列出方程组为：
师：好!这位同学做得也非常好．若将实际问题转化为数学问题，要找准题目中的已知
量、未知量，弄清题目中的相等关系，才能从实际问题中列出方程组．下面同学将方程组自行解出．
点评：对于学生的表现及时给出鼓励性评价，关注学生的差异，实施有差异的教学，让每个学生都在教学活动中有所收获．
二、探究活动二．如何设计种植方案？
（课件展示．）
根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5．现要在一块长200m、宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样分配种植面积，使甲、乙两种作物的总产量是3∶4（结果取整数）？
学生独立思考，然后小组交流，发表看法．
生1：我们设计的种植方案是：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．设AE＝xm，BE＝ym，两个相等关系是：
（1）AE＋BE＝200；
（2）甲、乙两种作物的总产量是3∶4．
列出方程组为
由②，得450y＝400x，即8x＝9y③
把③代入①，得
在离长方形土地长边一端约106米处，把这个长方形分成两个小长方形，较大的一块地种甲作物，较小的一块地种乙作物．
师：这个方案设计得非常好!那么其他同学还有不同的设计方案吗？
生2：我们设计的方案是：
点评：不断地鼓励学生大胆设想，大胆实践，在设想、实践、交流等数学活动中，让学生进一步形成自己对数学知识的理解和认识．
甲种作物种xm2，乙种作物种ym2．
相等关系是：
两种作物的种植面积为2000m2；
两种作物的总产量是3∶4．
列出方程组为：
师：通过对这两个实际问题的探究学习，我们思考一下该如何列方程组解决实际问题？
点评：让学生在数学活动中，掌握必要的基础知识及基本技能，发展学生应用数学知识的意识与能力，大胆放手让学生去总结、去归纳，不断地提高学生的能力．
三、探究活动三．如何列方程组解决实际问题？
生：我们经过讨论后，认为：
第一，要认真审题，找准题目中的已知量、未知量，弄清题目中的相等关系；
第二，设未知数；
第三，找出相等关系；
第四，根据相等关系，列出方程组，并求解．
师：他们总结得很好!有没有补充？
生：我们认为，求出方程组的解后，要对方程组的解进行检验．首先要检验解的正确性，然后再检查其解是否符合实际意义，不合理的结果要舍弃．
师：列方程组解应用题时，还应注意这样几个问题：
（1）方程的个数与所设未知数的个数应相等，否则会出现“不定解”的情况；
（2）在分析题意时，如果采用列表或图解方法，可以帮助我们理解和揭示数量之间的相等关系，以便于顺利地列出方程组；
（3）要不断总结，将常见的实际问题进行归类，利于我们提高解决问题的能力；
（4）解实际问题时，要特别注意检验．
点评：利用数学活动，为不同层次的学生提供从事数学活的机会，丰富学生的数学活动经验，提高思维水平．
四、课堂练习．
有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
师：能否通过列表或图解的方法，帮助我们找到数量之间的相等关系．
生：我们列出了这样一张表：
设大货车每辆装x吨，小货车每辆装y吨．
大货车数 小货车数 运货吨数
2 3 15.5
5 6 35
相等关系为：
2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；
5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．
列出方程组为：
师：请大家求出方程组的解，注意要对解进行检验．尤其要注意所设未知数并不是题目要求的量，这样设，是为了解题方便．
点评：不断地为学生提供帮助，使学生在教师的指导下，主动地学习，完成个性化的学习．
五、课后小结．
1．通过今天的探究学习，我们可以体会到方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．根据问题的数量关系，列出方程组就是建立了问题的数学模型，解出方程组后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
2．小结今天探究学习的收获，并归纳问题类型．
六、作业练习．
p108 2，3，4．
8.3再探实际问题与二元一次方程组
第二课时
教学目标
1．进一步学会列出二元一次方程组解较复杂的实际问题；
2．通过分析实际问题中的相等关系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；
3．帮助学生通过观察、分析、比较，运用方程组的相关知识解决数学问题．
教学重点难点
1．掌握列方程组解决实际问题的方法；
2．通过分析实际问题中的相等关系，会列出方程组解决实际问题．
教学准备
课件．
教学过程
一、引入新课．
师：从实际问题中列出方程组，将实际问题转化为数学问题，并加以解决，仍旧我们这一节主要探究的内容．我们首先要对材料进行认真地阅读，通过理解、分析、比较，运用方程组的相关知识，去解决这些问题，从而进一步提高我们分析问题和解决问题的能力．
（课件展示．）
已知（如图8—3—1）长青化工厂与A、B两地由公路和铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元／（吨·千米），铁路运价为1.2元／（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
师：销售款与什么因素有关？原料费与什么因素有关？存在着怎样的相等关系？
生：销售款与产品质量有关；原料费与原料质量有关；要想求销售款与原料费，首先需求出产品质量及原料质量．
设产品质量为x吨，原料质量为y吨．则产品质量与原料质量都与运费有关，但是我们还没有找到他们之间的质量关系．
点评：有意识地引导学生主动地参与分析、交流等数学活动．
师：好，首先应该表扬的是，你们没有“问什么就设什么”，而是设了一对间接未知量，这恰好抓住了问题的关键，至于如何寻求数量关系，不要着急，先请大家思考一下，两次运费共支出公路运费15000元是什么含义呢？
生：我们认为是（由A→长青化工厂）10km的公路运费与（由长青化工厂→B）20km的公路运费之和．
师：很好!那么“由A→长青化工厂”这10km的公路运费如何表示出来呢？
点评：教师非常尊重学生在学习中所表现出的差异．
生：由A→长青化工厂这10km的公路运费与运价、原料的质量以及公路的长度有关，可以表示为10×1.5y；由长青化工厂→B的公路运费可以表示为20×1.5x．
点评：将问题分解，目的是为了鼓励学生有信心、有兴趣地参与数学活动．
两者的和为15000元，用方程可表示为：10×1.5y＋20×1.5x－15000，化简后为15y＋30x＝15000．
师：通过分析，我们找到一个相等关系：
10km的公路原料运费＋20km的公路产品运费＝15000元． 顺着这一思路考虑，能否找到其他相等关系？
生：120km的铁路原料运费＋110km的铁路产品运费＝97200元．
列出方程为：120×1.2y＋110×1.2x＝97200．化简后为144y＋132x＝97200．
点评：对于学习有困难的学生，教师及时给予帮助，鼓励他们发表自己的看法．
师：非常好!我们通过阅读材料，理解了内容，分析出两个相等关系，列出了方程组．我们在阅读材料时，能否通过列表或图解等方法表示出数量之间相等关系呢？
点评：对于学生在学习过程中出现的困难，耐心地引导他们去分析问题，目的是增强他们学习数学的兴趣和信心．
生：能．我们列出了这样一个表格：
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费
铁路运费
x吨产品的公路运费可以表示为：20×1.5x；y吨原料的公路运费可以表示为：10×1.5y；
公路运费合计为：20×1.5x＋10×1.5y＝15000；
x吨产品的铁路运费可以表示为：110×1.2x；y吨原料的铁路运费可以表示为：120×1.2y；
铁路运费合计：110×1.2x＋120×1.2y＝97200．
依据表格中的数量关系，可列方程组为：
师：列表可以一目了然地表示数量之间关系，下面请同学们独立求出方程组的解．
生：我解出的解为
师：那么销售款如何计算呢？原料费为运输费的和又如何计算呢？
生：产品300吨，每吨8000元；
销售款为8000×300＝2400000（元）；原料400吨，每吨1000元；原料费为400×1000＝400000（元）．
运费合计15000＋97200＝112200元．
销售款比原料费与运输费的和多2400000－(112200＋400000)＝1887800（元）．
师：通过以上的探究学习，我们认识到方程组是解决含有多个未知数的问题的重要工具．根据问题中的数量关系，列出方程组就是建立了数学模型，解出方程组后，应进一步考虑解是否符合问题的实际意义．
二、课堂练习．
买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，打折后比不打折少花多少钱？
师：仔细阅读材料，理解材料内容，找到相等关系，是解答本题的关键．
生：所求量与打折前A、B商品的价格有关系，因此需先求出打折前A、B两种商品的价格．
师：打折前A、B两种商品的价格又与哪些量之间存在着怎样的关系呢？
生：我们通过列表找到数量之间的相等关系．
设打折前A商品的价格为x元，打折前B商品的价格为y元．
A B 合计
60x 30y 1080
50x 10y 840
两个相等关系为：
60件A商品和30件B商品用了1080元；
50件A商品和10件B商品用了840元．
列出方程组为：
方程组的解为：
再求出打折前500件A商品和500件B商品用了多少元：
(16＋4)×500＝10000（元）．
最后再计算出少花多少钱：
10000－9600＝400元．
师：当计算出打折前A、B两种商品的价格后，要特别注意检验，一是要检验所求得的解是否是原方程组的解，二是要看它是否符合实际意义．
三、拓展探索．
下表为某一周甲、乙两种股票每天的收盘价
（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：
周一 周二 周三 周四 周五
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.15
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费），此人账户上周二比周一多200元，周三比周二多1300元，试问此人持有甲、乙股票各多少股？
师：正确理解表格，建立方程组是解答本题的关键．股价的变化以表格的形式给出，同学们关键要读懂表格，理解表格中数据的意义，充分利用表格中的信息．
点评：通过教师的引导、启发，帮助学生获得解决问题的思路．
生：获利与甲、乙两种股票的股数有关，同时还与每天的收盘价有关．
设甲股票有x股，乙股票有y股．
从表格中看出数量关系．
师：表格上没有直接反映出数量关系，但是我们可以从两次获利情况找出相等关系．
组：我们找到了两个相等关系；
周二比周一多200元；
周三比周二多1300元；
但这两个关系又该如何转化为方程呢？
师：那就需要分别求出周一、周二、周三的情况．
生：周一、周二、周三的钱数均与甲、乙两种股票的股数及当天的股价有关．
周一情况：12x＋13.5y；
周二情况：12.5x＋13.3y；
周三情况：12.9x＋13.9y．
周二比周一多200元可列方程为：
12.5x＋13.3y－(12x＋13.5y)＝200．
周三比周二多1300元可列方程为：
12.9x＋13.9y－(12.5x＋13.3y)＝1300．
师：好!表格的作用是告诉我们股价变化与时间的关系．我们要充分利用表格中提供的信息，从不同的获利处找寻相等关系，列出方程组．
点评：帮助学生寻找解决问题的有效办法，鼓励学生表述自己的思考过程．
四、课后小结．
1．通过今天的探究活动，你们有哪些收获，思考后在组内交流．
2．列方程组解应用题的核心就是根据题意把已知量与未知量联系起来找相等关系．一般设几个未知数，就需要列几个方程，列方程组解应用题，还要树立检验意识．
五、作业练习．
p108 5，6；7、9
教学反思：
列方程组解应用题，历来都是教学中的难点，为了寻求突破，本节教学内容的设计，结合具体的数学内容采用了“问题情境——建立模型——解释应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而让学生更好地理解了数学知识的含义．在整个数学活动的设计中，充分体现了教师是组织者、引导者、合作者，教师在不断地引导学生主动从事独立思考、分析及与他人交流、发展自己看法的教学活动中，帮助学生形成应用数学的意识，同时还鼓励与提倡学生用多种方法解决问题，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平．这样的教学活动可以促使学生加深对数学知识的理解和逐步形成有效的学习策略．
8.4 三元一次方程组的解法举例
教学目标
一、知识目标
1．知道什么是三元一次方程．
2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．
二、能力目标
1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．
2．培养学生的计算能力、训练解题技巧．
三、思品目标
1、渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知．
2、通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．
教法与学法：
1．教学方法：观察法、讨论法、练习法．
2．学生学法：三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键．一般来说应先消去系数最简单的未知数．
重点、难点
1、重点：使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．
2、难点：针对方程组的特点，选择最好的解法．
教学过程
一、复习导入、探索新知
（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？
甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
题目中有几个未知数？含有几个相等关系 你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得
④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程组．
解：由②，得 ④
把④代入①，得 ⑤
把④代入③，得 ⑥
⑤与⑥组成方程组
解这个方程组得
把 代入④，得
∴
∴ Z = -2
注意：a．得二元一次方程组后，解二元一次方程的过程在练习本上完成．
b．得 ， 后，求 ，要代入前面最简单的方程④．
c．检验．
这道题也可以用加减法解，②中不含 ，那么可以考虑将①与③结合消去，与②组成二元一次方程组．
学生活动：在练习本上用加减法解方程组．
（教法说明：通过一题多解，不仅能开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且，可以巩固解方程组时通过“消元”把未知转化为已知的基本思想．）
二、学生尝试解决例题
例1 解方程组
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
解：②×3＋③，得 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把 ， 代入②，得
∴
∴
归纳：这个方程组的特点是方程①不含 ，而②、③中 的系数绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②、③中消去 后，再与①组成只含 、 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③较繁．
（教法说明：有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．）
三、尝试反馈，巩固知识
1、练习：P114页第1、2题。
2、学生活动：独立完成练习后，同桌、前后桌之间按不同解法的同学交换，看哪种方法最简单．
四、变式训练，培养能力
补例：解方程组
（学生活动：可独立完成．）
（教法说明：此方程组中方程①、③中 、 的系数完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 ．这道题直接化三元为一元，能使学生体会到解法技巧的重要性，觉得数学问题真是奥妙无穷!）
五、总结、扩展
1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
3．注意检验．
（教法说明：这样总结，既突出了本课重点，又突出了本节内容中例题、习题的特点—某个方程只含两元，使学生在以后解题时有很强的针对性．）
六、布置作业
（一）必做题：课本P114页 习题8.4第1、2题
教学反思：在本节教学中通过复习二元一次方程组的解题思想，从而类推出三元一次方程组的解题思想及解题方法，让学生牢牢抓住利用消元的思想化三元为二元，再化二元为一元的办法来求解．