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17.1 勾股定理
17.1.3 勾股定理的作图
及典型计算
第十七章 勾股定理
1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.（重点）
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.（难点）
1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.（重点）
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.（难点）
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ （HL）.
AB=A′B′
BC=B′C′
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理，得
，
又∵AB=A′B′，AC=A′C′
∴BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
实数与数轴上的点是一一对应的.
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画出表示的点吗？
则：点A表示.
你能用勾股定理验证点A就是表示的点吗？
你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为.
你能在数轴上画出表示的点吗？
步骤：
1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3；
2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2；
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点.
例1.如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为 ，
即－1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
【点睛】求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ ）
A. B. C.- D.-
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A.2 B. C. D.
C
D
例2.在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC的周长为
【点睛】勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
1.如图，在中，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点（网格线的交点），以点A为圆心，的长为半径作弧，交格线于点D，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
D
B
例3.如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
D
【点睛】此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
D
例4.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
解：在Rt△ABF中,由勾股定理得 BF2=AF2－AB2=102－82=36，
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理得 x2+42=(8－x)2，
解得 x=3.
即EC的长为3cm.
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？
解：在中，两直角边，，
由折叠的性质可知：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：,
．
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
例5.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．
解：如图，延长AD、BC交于E．
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=90°－60°=30°，
在Rt△ABE和Rt△CDE中，
∵AB=2，CD=1，
∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，
由勾股定理得
E
D
C
B
A
1.如图，在行距、列距都是1的4×4的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于( )
A. B. C. D.
C
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为( )
A. B. C. D.2-
D
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，以BP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A.-7和-6之间 B.-6和-5之间
C.-5和-4之间 D.-4和-3之间
B
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1,且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①,可得到点P1，此时AP1=2; 将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+; 将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3， 此时AP3=3+;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( )
A.2049+683
B.2050+683
C.2051+683
D.2052+683
C
5.(1)如图①,把一个边长为2的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是______.
(2)如图②，点P是以AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的数是__________.
-2
-2
6.如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，DC'交AB于E，AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为，，.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示，的点.
解:如图所示，点C表示，点D表示.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，求的长．
解：根据题意得：，，
∵为边的中点，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
即．
10.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．
(1)画出关于对称的；
(2)的面积为 ；
(3)在上画出点P，使的周长最小，最小周长是________．
解：（1）如图，即为所求：
（2）
10.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．
(1)画出关于对称的；
(2)的面积为 ；
(3)在上画出点P，使的周长最小，最小周长是________．
（3）如图，连接交于点P，点P即为所求：
∵，
∴的最小周长
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