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17.2 勾股定理逆的定理
17.2.1 勾股定理逆的定理
第十七章 勾股定理
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
（难点）
1.勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系：32+42=52，那么围成的三角形是直角三角形.
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？
换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.
由上面的几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
命题2.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是原命题1的逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.
1.原命题：同位角相等，两直线平行.( )
逆命题：______________________.( )
2.原命题：对顶角相等.( )
逆命题：_________________.( )
3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.( )
逆命题：__________________________________________________.( )
4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.( )
逆命题：_______________________________________________.( )
两直线平行，同位角相等
√
√
相等的角是对顶角
√
×
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
√
√
√
√
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2,要证△ABC一定是直角三角形.
我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形.
已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°.
根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2
∴ A′B′=c
在△ABC和△A′B′C′中，
BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴ ∠C=∠C′=90°
即△ABC是直角三角形.
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
例1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
【点睛】根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25等等.
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20…
若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
【点睛】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) =0.
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴ △ABC是直角三角形.
例2.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
例3.已知的三条边长分别为，且，，（，是正整数）．是直角三角形吗？请证明你的判断．
解：是直角三角形．证明如下：
∵，，（，m，n是正整数），
∴
．
是直角三角形．
已知的三边，，．
求证：是直角三角形．
解：∵的三边，，，
而，，，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形.
例4.已知，，．
(1)在坐标系中描出各点，画出三角形；
(2)求三角形的面积;
(3)仅用无刻度的直尺作出边上的高，并直接写出的长．（保留作图痕迹）
解：（1）如图所示：
（2）
例4.已知，，．
(3)仅用无刻度的直尺作出边上的高，并直接写出的长．（保留作图痕迹）
如图所示的线段即所求作的高.
由图可得：
，
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
∴ ∴
例5.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
1.下列各组数中，是勾股数的( )
A.0.3，0.4，0.5 B.9，16，25
C.5，12，13 D.10，15，18
2.下面三角形中是直角三角形的有( )
①三角形三内角之比为1:2:3;
②三角形三内角之比为3:4:5;
③三角形三边之比为1:2:3;
④三角形三边之比为3:4:5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
B
3.下列命题中，逆命题为真命题的是( )
A.全等三角形的对应角相等 B.等角对等边
C.若a=b，则|a|=|b| D.若ac24.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ）
A.4 B.3 C.2.5 D.2.4
B
D
4.已知一个三角形的三边长分别为2、3、则这个三角形的面积是_____.
5若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是
_________________________.
6.命题 “如果a+b=0，那么a=0,b=0” 的逆命题是________________________,它是____命题.
等腰三角形或直角三角形
如果a=0，b=0，那么a+b=0
真
3
7.根据下列条件，分别判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
(4)，，（n为正整数）
(5)．
解：（1）∵，，
∴，
∴以为边的三角形不是直角三角形；
（2）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
7.根据下列条件，分别判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
(4)，，（n为正整数）
(5)．
（3）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（4）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
7.根据下列条件，分别判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
(4)，，（n为正整数）
(5)．
（5）∵，
∴设，
∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形.
8.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等.
解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行，此命题成立；
(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，此命题不成立；
(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，此命题不成立.
9．已知中，、、所对边长分别为、、， 若、、三边满足，试判断的形状．
解：是直角三角形．
理由如下：
，
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形．
10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．
(1)求的度数；
(2)求的面积．
解:(1)，
，
，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴；
(2)．
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25等等.
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20…
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