21.4无理方程（第1课时）（教学课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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第 21章代数方程
21.4无理方程（第1课时）
学习目标
1、理解无理方程的概念, 会识别无理方程; 知道有理方程及代数方程的概念. （重点）
2、经历探索无理方程解法的过程, 领会无理方程“有理化”的化归思想.
3、知道解无理方程的一般步骤，会解简单的无理方程知道验根是解无理方程的重要步骤，掌握验根的常用方法. （难点）
对方程的研究，总是与代数式相联系.我们已经学习了整式方程、分式方程,现在来讨论与根式有关的方程.
问题1
用一根 30 厘米长的细铁丝弯折成一个直角三角形,使它的一条直角边长为 5 厘米，应该怎样弯折?
要把一根细铁丝弯折成一个直角三角形，关键是确定其中两边的长.为此,需求另一条直角边或斜边的长.
于是,这个问题可以解决.
已知细铁丝的长是 30 厘米，因此可列出方程
上面这个方程有什么特点?它与前面所学的方程有什么区别?
方程中不仅含有根号，而且根号里含有未知数 x.
定义
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。无理方程也叫做根式方程。
辨一辨：下列方程是不是无理方程？若不是，则是什么方程？
（1）
（2）
（3）
整式方程
分式方程
无理方程
【练一练】下列方程中，属于无理方程的是( ____ )
A. ????2?2=0 B. 2????=1
C. 2????=1 D. 2 x=0
?
【解析】解：A属于一元二次方程，所以不是无理方程，不符合题意；
B属于无理方程，符合题意；
C属于分式方程，所以不是无理方程，不符合题意；
D属于一元一次方程，所以不是无理方程，不符合题意．
B
故选：B．
实数
有理数
无理数
整数
分数
有理式
无理式
代数式
整式
分式
代数方程
有理方程
无理方程
整式方程
分式方程
正整数
零
负整数
多项式
单项式
类比
定义
整式方程和分式方程统称为有理方程.
有理方程和无理方程统称为代数方程.
代数方程
有理方程
无理方程
整式方程
分式方程
问题2：怎样解方程
有理方程
无理方程
整式方程
分式方程
转化
转化
怎样将无理方程转化成有理方程？
去根号
方程变形的依据是什么？
无理方程
两边同时乘方
有理方程
将方程
两边同时平方
即
二次根式的性质：
下面,我们来探讨简单的无理方程的解法。
解方程
方程两边平方，得
整理，得
解方程，得
它们都是原方程的根吗？
检验：把x=4代入原方程的两边，左边=4，右边=4
左边=右边， x=4是原方程的根
把x=-1代入原方程的两边，左边=-1，右边=1
左边≠右边， x=-1是原方程的增根，舍去
∴原方程的根是x=4
讨论：为什么会产生增根？
解无理方程的一般步骤是什么？
是
开始
去根号
解有理方程
检验
写出原方程的根
舍去
结束
无理方程如何进行“验根”？
代入原方程的左边和
右边，使左边=右边，
且根号有意义．
增根产生的原因是什么？
平方把无理方程化为
有理方程，使原方程
中未知数允许取值的
范围扩大了．
不是
归纳
当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形,使这个二次根式单独在一边;然后方程两边同时平方,将这个方程化成有理方程.由于这一步骤必需且可能产生增根，因此验根是必不可少的步骤。
思考
不解方程
你能判断这个方程实数根的情况吗?
是一个非负数
左边=一个非负数+1>0，右边=0,
所以原方程没有实数根．
归纳
1.已知下列关于x的方程
其中无理方程是____________________(填序号).
（2）
（3）
（5）
课本练习
解方程： .
解：两边平方，得
整理，得
解这个方程，得
检验：
把x= 分别代入原方程两边，
左边=
右边=
由左边 右边
可知x= 是
把x= 分别代入原方程两边，
左边=
右边=
由左边 右边
可知x= 是
所以，原方程的根是
2
-2
2
增根，舍去.
-1
1
=
-1
原方程的根.
在横线上填写适当的式、数或符号,完整表达解方程的过程.
2.填空：
C
1.下列方程有实数解的是( ____ )
A. 2????2+1=0 B. ?????2+????=1
C. ?????3+4=0 D. 2????+3=?????
?
【解析】解：A、∵ ????????????+????=???? ，∴2x2+1=0，∴该方程无解；故此选项错误；
B、∵ ?????????+????=???? ，∴ ?????????=????????? ，方程整理得：x-2=(1-x)2，该方程无解；故此选项错误；
?
D
C、∵ ?????????+????=???? ，∴ ?????????=????? ，∴该方程无解；故此选项错误；
D、∵ ????????+????=????? ，∴2x+3=x2，解得：x=3或x=-1；故此选项正确．
故答案为：D．
?
随堂检测
2.方程 ?????2=2 的解是( ____ )
A.x=4
B.x=5
C.x=6
D.x=7
?
【解析】解： ?????????=???? ，
方程两边平方得：x-2=4，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，
故选：C．
?
C
3.方程 ?????5 ? ????+3 =0的解为 _____ ．
?
【解析】解：∵ ????????? ?????+???? =0，
∴ ????????? =0或 ????+???? =0，
∴x-5=0或x+3=0，
解得：x=5或x=-3，
经检验：x=5是原方程的解，x=-3不是原方程的解，
所以原方程的解是x=5，
故答案为：x=5．
?
x=5
4.方程 (????+3)?????1=0 的解是 _____ ．
?
【解析】解： (????+????)?????????=???? ，
x+3=0或 ????????? =0，
解得：x=-3或1，
经检验：x=-3不是原方程的解，x=1是原方程的解．
故答案为：x=1．
?
x=1
5.若关于x的方程 4??????????+1=0 有实数根，则a的取值范围是 _____ ．
?
【解析】解：∵ ????????? -a+1=0，
∴ ????????? =a-1，
∵方程 ????????? -a+1=0有实数根，
∴a-1≥0，
解得a≥1，
即a的范围为a≥1．
故答案为：a≥1．
?
a≥1
6.解方程： 3????+4=????
?
【解析】解：原方程两边同时平方得：3x+4=x2，
整理得：x2-3x-4=0，
因式分解得：(x+1)(x-4)=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∵3x+4≥0且x≥0，
∴x≥0，
则x=-1应舍去，
故原方程的解为：x=4．
7.解方程：x- ?????1 -3=0．
?
【解析】解：x- ????????? -3=0，
x-3= ????????? ，
(x-3)2=x-1，
整理得x2-7x+10=0，
解得x1=2，x2=5，
检验：当x=2时，方程左边=2- ????????? -3=-2≠0，
所以方程左边≠方程右边，x=2不是原方程的解；
当x=5时，方程左边=5- ????????? -3=-2=0，
?
所以方程左边=方程右边，x=5是原方程的解；
所以原方程的解为x=5．
8.解方程： 5??????1=????
?
【解析】解： ??????????????=???? ，?????????=????+???? ，
5-x=(1+x)2，5-x=1+2x+x2，x2+3x-4=0，
(x+4)(x-1)=0，x+4=0或x-1=0，x=-4或x=1，
?
检验：当x=-4时， ????????? =1+x=-3＜0，不符合题意，所以舍去．
当x=1时， ????????? =1+x=2，符合题意．
所以原方程的解为：x=1．
?
9.解方程： 2????+5+10=???? ．
?
【解析】解： ????????+????=????????????? ，
两边平方，得4(x+5)=x2-20x+100(2分)
整理，得：x2-24x+80=0，解得：x1=20，x2=4(2分)
经检验：x2=4是增根，x1=20是原方程的解，(1分)
∴原方程的解是x=20(1分)
?
10.解方程： ????+1?1=???? ．
?
【解析】解：∵ ????+?????????=???? ，
∴ ????+????=????+???? ．
方程的两边平方，得x+1=(x+1)2，
∴(x+1)2-(x+1)=0．
∴(x+1)(x+1-1)=0．
∴x(x+1)=0．
解得：x1=0，x2=-1．
经检验，0、-1都是原方程的解．
?
∴原方程的解为：x1=0，x2=-1．
11.解方程： 2?????3 +x=3．
?
【解析】解：移项得： ?????????????=????????? ，
2x-3=(3-x)2，
x2-8x+12=0，
x1=2，x2=6，
经检验：x=2是原方程的根，x=6是增根，
所以原方程的根是：x=2．
?
１、无理方程的概念
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
２、代数方程的分类

代数方程

整式方程
分式方程
有理方程
无理方程
３、解无理方程的方法
无理方程
去根号（两边平方）
化归
有理方程
课堂小结：