21.3 可化为一元二次方程的分式方程（第1课时）课件（共24张PPT）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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第 21章代数方程
21.3可化为一元二次方程的分式方程（第1课时）
学习目标
1、经历探索分式方程解法的过程，知道解分式方程的一般步骤.
2、会解简单的分式方程，会根据方程的特点选择适当的解法，知道解分式方程时“去分母”可能产生增根，掌握验根的方法.（重点）
3、通过将简单的分式方程转化为一元二次方程进行求解，领会分式方程“整式化”的化归思想. （难点）
下列各式中属于分式方程的是( ____ )
A. ?????23?2????+52=1 B. ????2?6????+52=0
C. 1?????1?????6=5 D. 1????+7+12?????3
?
【解析】解：(A)是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；
(B)是一元二次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；
C
如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程。
复习引入
(C)是分式方程，故本选项符合题意；
(D)不是方程，故本选项不合题意；
故选：C．
增根：
检验时，可把求得的根代入原方程检验，在解题过程正确的前提下，可把
求得的根代入所乘的整式（最简公分母），看它的值是否为零，使这个所
乘的整式的值为零的根叫做原分式方程的增根.
巩固练习
1.关于x的分式方程 2?????????2+3?????2?????=3 有增根，则m的值为( ____ )
A.2 B.-1 C.0 D.1
?
B
【解析】解：方程两边都乘(x-2)，
得2x+m-3=3x-6
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-2=0，解得x=2，
当x=2时，4+m-3=0．
解得m=-1．
故选：B．
2.若关于x的分式方程 ????+????4?????2+?????????2=1 无解，则m的值是( ____ )
A.m=2或m=6
B.m=2
C.m=6
D.m=2或m=-6
?
【解析】解：去分母得：-x-m+x(x+2)=(x+2)(x-2)，
由分式方程无解，得到x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：m=6；
把x=-2代入整式方程得：m=2．
A
故选：A．
如果方程中只含分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程.
在七年级学习“分式”这一章时,我们认识了分式方程,讨论了可化为一元一次方程的分式方程的解法.如方程
它们都是分式方程.这两个分式方程通过去分母,可化为一元一次方程.于是，解这两个方程化归为解相应的一元一次方程
试一试解上面两个分式方程.
问题1.某单位的共青团员们准备捐款1200元帮助
结对的边远地区贫困学生，这笔钱大家平均分担，
实际捐助时又有两名共青团员参加，但总费用不
变，于是每人少捐30元，问实际共有多少人参加
捐款？
新课讲解
问1：怎么列方程？
问2：怎么解这个方程？
问3：方程②的根一定是方程①的根吗？
问4：方程①的根一定是原来问题的答案吗？
在这个问题中，一个基本的等量关系是:实际人均捐款(元)=原定人均捐款(元)-30(元).如果设实际参加捐款的人数为 x,那么原来捐款的人数为（x-2).从而得到实际人均捐款为
于是,可列出方程
方程（1）是一个分式方程,两边同时乘以 x(x一2),得
1200(x-2)=1200x-30x(x-2).
方程（2）是一个一元二次方程,它是由方程（1）变形得到的.也就是说，方程（1）是可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程（1）归结为解一元二次方程（2）.
（1）
想一想
方程（2）的根一定是方程（1）的根吗?方程（1）的根一定是原来问题的答案吗?
解分式方程的基本思路是:
通过“去分母”把它转化为一个整式方程,再求解.
通过去分母将分式方程化成整式方程,利用了等式的性质.但是,化成整式方程后,未知数的允许取值范围扩大了.因此,可以肯定原分式方程的根是变形所得整式方程的根，但所得整式方程的根不一定是原分式方程的根，必须进行检验.
等式性质:在等式两边乘以同一个整式后，等式仍然成立.
根据实际问题中的等量关系列方程，由这个方程所确定的未知数允许取值范围，通常比实际意义所决定的未知数允许取值范围大，因此所列方程的根也不一定是原实际问题的答案.
在上述问题中,由方程（2）解得 x1=10,x2=-8;将它们分别代入代数式 x(x-2)中,这个代数式的值都不等于 0,即它们在方程（1）的未知数允许取值范围内.经检验，它们都是方程（1）的根.
由检验过程可知，x1、x2不会使分式中的分母为0,说明它们在未知数的允许取值范围内.
而根据未知数表示的实际意义,可知.的允许取值范围是大于2 的整数.经检验，x1符合实际意义，而 x2不符合实际意义，应舍去
所以，原来问题的答案是:参加捐款的人数有 10 人.
问题2
解分式方程的一般步骤是什么?
先尝试解这个方程:
(1)考虑去掉方程中各分式的分母,把分式方程转化为整式方程.
x(x+1)=2
解得x1=1，x2=-2.
(3)判断所求得的整式方程的根是不是原方程的根.只要检验当x 的值分别取 1、2 时，原方程两边同乘的那个代数式(x +1)(x-1)的值是不是等于零
当x=1时.(x+1)(z-1)=0；
当x=-2 时,(x+1)(x-1)≠0.
可知 1不是原方程的根,即它是增根;-2 是原方程的根所以，原方程的根是x=-2.
归纳
解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母,约去分母,转化为整式方程来解.
解分式方程的一般步骤,可用流程图表述为:
想一想
在解分式方程的过程中，为什么要有“检验”的步骤?检验的方法有哪些?
检验方法二：把求得的整式方程的根代入最简公分母，判断它的值是不是等于零.使最简公分母的值不为零的根是原方程的根;使最简公分母的值为零的根是增根，必须舍去.
如果在解整式方程时没有差错，那么所求得的整式方程的根中，能使“去分母”时所乘代数式的值不为0的根一定是原方程的根;否则是增根.
检验方法一：把解整式方程所得的根代入原方程进行“验根”
练习 21.3(1)
1.下列方程中,哪些是分式方程?
课本练习
【答案】（1）（2）（4）是分式方程
2.填空:在横线上填写适当的式、数、符号,完整表达解方程的过程
解分式方程
（x-2）(x+2)
x+2=4+（x-2）(x+2)
2
-1
2
（x-2）(x+2)
等于
-1
（x-2）(x+2)
不等于
2
x=-1
3.当 取何值时,分式方程
中各分式的最简公分母的值等于零?
1.已知方程：
① 1?9????2????2 =0，② ????????+????22 =1
③x+ 2????+2 =2+ 2?????2 ④(x+ 45 )(x-6)=-1．
这四个方程中，分式方程的个数是( ____ )
A.4 B.3 C.2 D.1．
?
B
【解析】解：① ????????????????????????? =0，是分式方程；
② ???????? + ???????????? =1，是分式方程；
③x+ ????????+???? =2+ ????????????? ，是分式方程；
④(x+ ???????? )(x-6)=-1，不是分式方程，
则分式方程的个数是3．
故选：B．
?
随堂检测
2.解方程： ????+2?????2?16????2?4=1????+2 ．
?
【解析】解：去分母得：(x+2)2-16=x-2，
整理得：x2+4x+4-16=x-2，即x2+3x-10=0，
分解因式得：(x-2)(x+5)=0，
解得：x=2或x=-5，
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
当x=-5时，(x+2)(x-2)≠0，
∴x=2是增根，分式方程的解为x=-5．
3.解方程： 4????2?4 = 1?????2 -1．
?
【解析】解：去分母，得4=(x+2)-(x+2)(x-2)，
整理，得x2-x-2=0，
解得x1=-1，x2=2．
经检验：x1=-1是原方程的根，x2=2是增根．
故原方程的根为x=-1．
4.已知关于x的方程 ????????2?1?5?????1=7????+1 ．
(1)当k=1时，求该方程的解；
(2)若方程有增根，求k的值．
?
【解析】解：(1)把k=1代入方程得： ????????????????? - ????????????? = ????????+???? ，
去分母得：1-5(x+1)=7(x-1)，
解得：x= ???????? ，
经检验x= ???????? 是分式方程的解；
?
(2)分式方程去分母得：k-5(x+1)=7(x-1)，
由分式方程有增根，得到x-1=0或x+1=0，即x=±1，
把x=1代入方程得：k-10=0，解得：k=10；
把x=-1代入方程得：k=-14．
故k的值为10或-14．
课堂小结
1、解分式方程的一般步骤是什么？
2、在解分式方程的过程中有什么需要注意的吗？
3、你从本课中体会到了什么数学思想方法？