21.2 二项方程 课件（共36张PPT）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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第 21章代数方程
21.2二项方程
学习目标
1、知道二项方程的概念.（重点）
2、掌握二项方程的解法.（重点、难点）
3、会用计算器求二项方程的实数根（近似根）.
我们对于解一元一次方程、一元二次方程进行过系统的讨论并且得到了这两类方程的求根公式.解一元高次方程，一般来说是比较困难的.现在,我们只对特殊的高次方程的解法进行探讨.
观察方程：
都是一元高次方程,它们有什么共同特点?
只有两项,
其中一项含未知数,
这项的次数就是方程的次数,
左边:
右边:
是零
如果一元n次方程的一边只含有两项,其中一项含未知数和非零的常数项,另一边是零,那么这样的方程就叫做二项方程.
关于x的一元n次二项方程的一般形式为:
是正整数)
另一项是常数项;
【练一练1】下列方程中，是二项方程的是( ____ )
A.x2+2x=1 B.x3+3x=0 C.x=0 D.x4-8=0
【解析】解：∵方程x2+2x=1的右边不是零，
∴该方程不是二项方程．∴A不合题意．
∵x3+3x=0的左边没有非零常数项，
∴该方程不是二项方程． ∴B不合题意．
∵方程x=0的左边没有非零的常数项，
∴该方程不是二项方程，∴C不合题意．
∵方程x4-8=0的右边为零，左边含有非零常数项，
∴是二项方程．∴D符合题意．
故选：D．
D
【练一练2】在下列关于x的方程中，不是二项方程的是( ____ )
A.81x4-16=0
B.x3-1=0
C.x2=8
D.x3-x=1
【解析】解：把各方程移项，使等号右边为0，满足二项方程的是A、B、C，
由于方程D移项后左边是三项，故选项D不是二项方程．
故选：D．
D
怎样解二项方程
呢?
例如解方程
一般地,二项方程
可转化为
,转化为求一个数的n次方根
3
思考：
例题1：利用计算器解下列方(近似根保留三位小数):
解 (1)方程两边同时开立方,得
利用计算器,得x=2.5.
所以,原方程的根是x=2.5.
(2) 原方程可变形为
得
利用计算器,得
所以，原方程的根是x≈1.867
　例题2：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）.
（1）x3-64=0；（2）2x4-18=0；（3）????????x5+????????=0；（4）x6+1=0.
?
解：（1）原方程可变形为x3=64，得x=????????????.利用计算器，得????????????=4.
所以，原方程的根是x=4.
（2）原方程可变形为x4=9，得x=±????????.利用计算器，得????????≈1.732.
所以，原方程的根是x1≈1.732, x2≈-1.732.
（3）原方程可变形为x5=-3，得x=?????????.利用计算器，得?????????≈-1.246.
所以，原方程的根是x≈-1.246.
（4）原方程可变形为x6=-1.因为在实数范围内负数的偶次方根不存在，
所以原方程没有实数根.
?
二项方程
1.当n为奇数时,方程有且只有一个实数根
2.当n为偶数时,
(1) 如果ab<0,方程有两个实数根,且这两个
实数根互为相反数,
(2) 如果ab>0,方程没有实数根
解方程小结：
　例题3：利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）.
（1）(x+1)3-4=0；（2）2(1-3x)4-10=0；（3）(????????x-1)5+5=0.
?
分析：分别将x+1、1-3x和????????x-1看作一个“整体”,那么原方程就可看作以
这个“整体”为新“元”的方程.
?
解：（1）原方程可变形为(x+1)3=4，得x+1=????????.解这个一元一次方程，得x=????????-1.
利用计算器，得????????≈1.587.所以，原方程的根是x≈0.587.
（2）原方程可变形为(1-3x)4=5,得1-3x=±????????，即1-3x=????????， 1-3x=-????????.
分别解这两个一元一次方程，得x=?????????????????，x=????+????????????.
利用计算器，得?????????????????≈-0.165，????+????????????≈0.832.所以，原方程的根是x1≈-0.165，????????≈0.832.
（3）原方程可变形为(????????x-1)5=-5，得????????x-1=?????????.解这个一元一次方程，得x=2-2????????.
利用计算器，得2-2????????≈-0.759.所以，原方程的根是x≈-0.759.
?
解方程
(1) 如果ab异号, 方程有两个实数根,
(2) 如果ab同号,方程没有实数根
2n
2n
课外拓展：
以下哪些方程与 ，具有共同的特点？
（1） （2）
（3） （4）
（5）
观察
这类方程有什么共同的特点？
概念辨析
双二次方程
只含有偶数次项的一元四次方程.
注：当常数项不是 0 时，规定它的次数为 0.
一般形式
解双二次方程的基本思想是什么？
降次
一元二次方程
【例4】解方程：(2x-5)2-2(2x-5)-3=0．
【解析】解：(2x-5)2-2(2x-5)-3=0，
解：设2x-5=y,
则原方程可化为y2-2y-3=0，
∴(y-3)(y+1)=0．
解得y1=3，y2=-1．
当y=3时，即2x-5=3，解得x=4；
当y=-1时，即2x-5=-1，解得x=2．
所以原方程的解为：x1=2，x2=4．
【练一练】解方程：(2x-5)2-(2x-5)-2=0．
【解析】解：设y=2x-5，则原方程变形为y2-y-2=0，
∴(y-2)(y+1)=0，
∴y-2=0或y+1=0，
解得y1=2，y2=-1，
当y=2时，即2x-5=2，解得x=3.5；
当y=-1时，2x-5=-1，解得x=2．
∴原方程的解为x1=3.5，x2=2．
问题拓展
不解方程，判断下列方程的根的个数：
分析：令
①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四个实数根.
② △ >0,y1y2<0, ∴原方程有两个实数根.
③△ <0 ∴原方程没有实数根.
④△ >0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程没有实数根.
总结归纳
当⊿≧ 0 时，如果 y1y2 < 0，
那么原方程有两个实数根；
如果 y1y2 > 0 且 y1+ y2 > 0， 那么原方程有四个实数根；
如果 y1y2 > 0 且 y1+ y2 < 0，
那么原方程没有实数根.
当⊿<0时，原方程没有实数根.
练习21.2
1.判断下列方程是不是二项方程:
2.利用计算器解下列方程(近似根保留三位小数) :
课本练习
3.利用计算器解下列方程(近似根保留三位小数):
1. 下列方程是二项方程的是 ??
A. ????????+????=???? B. ????????+????????=????
C. ????????+????????????+????=???? D. ????????????+????=????
?
A
随堂检测
2. 方程 ?????????????????=???? 的根的个数是 ??
A. ???? B. ???? C. ???? D. ????
?
B
3.在实数范围内，方程x4-16=0的实数根的个数是( ____ )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】解：x4-16=0，
x4=16，
x= ±???????????? =±2，
即方程x4-16=0的实数根的个数是2，
故选：B．
?
B
4.方程x4-9=0的根是 　　．
【解析】解：由x4-9=0得(x2+3)(x2-3)=0，
∴x2+3=0或x2-3=0，
而x2+3=0无实数解，
解x2-3=0得x= ???? 或x=- ???? ，
故答案为：x= ???? 或x=- ???? ．
?
5.方程x3+8=0的根是 ______ ．
【解析】解：(法1)方程可变形为x3=-8，
因为(-2)3=-8，
所以方程的解为x=-2．
故答案为：x=-2
(法2)方程可变形为x3=-8，
所以x= ????????? =-2．
故答案为：x=-2
?
x=-2
6.方程 14(?????1)4?64=0 的根是 _____________ ．
?
【解析】解： ????????(?????????)????=???????? ，
(x-1)4=256，
x-1=±4，
x=5或x=-3，
故答案为：x=5或x=-3．
?
x=5或x=-3
7.关于x的方程 13 x5+81=0的解是 ______ ．
?
【解析】解： ???????? x5+81=0，
∴x5=-81×3．
即x5=-35．
∴x=-3．
故答案为：x=-3．
?
x=-3
8.方程2(1-3x)4-32=0的根是 　　．
【解析】解：2(1-3x)4=32，
(1-3x)4=16，
1-3x=±2，
x1=1， ????????=????????? ．
故答案为：x1=1， ????????=????????? ．
?
9.方程x4-16=0的根是 ____ ．
【解析】解：∵x4-16=0，
∴(x2+4)(x+2)(x-2)=0，
∴x=±2，
∴方程x4-16=0的根是±2，
故答案为±2．
±2
10.方程 4????4=14 的解是 　　．
?
【解析】解： ????????????=???????? ，
x4= ???????????? ，
x=± ???????????????? ，
∴x=± ???????? ．
故答案为：± ???????? ．
?
11.方程2x4-18=0的实数根是 　　．
【解析】解：∵2x4-18=0，
∴2x4=18，∴x4=9，∴(x2)2=9，
∵x2≥0，∴x2=3，∴ ????=±???? ，
∴方程2x4-18=0的解是 ±???? ．
故答案为： ±???? ．
?
12. 已知二项方程 ????????????+????=???? 没有实数根，则 ????的取值范围
是 ．
?
13.解方程：x4+2x2-24=0．
【解析】解：x4+2x2-24=0，
(x2)2+2x2-24=0，
(x2+6)(x2-4)=0，
∴x2+6=0或x2-4=0．
当x2+6=0时，方程无实数解；
当x2-4=0时，(x+2)(x-2)=0．
x=-2或x=2．
所以原方程的解为：x1=-2，x2=2．
14.解方程：ax4+7=1-3x4．
【解析】解：移项得：
ax4+3x4=1-7，
(a+3)x4=-6，
????????=?????????+???? ，
当a+3≥0时，即a≥-3时，此方程无解．
当a+3＜0时，即a＜-3时，
????=±?????????????+???? ．
?
15. 解方程：(x2-2)2-13(x2-2)+42=0．
【解析】解：(x2-2)2-13(x2-2)+42=0，
设x2-2=y,则原方程可化为 y2-13y+42=0，
(y-6)(y-7)=0，
y-6=0或y-7=0，
解得，：y1=6，y2=7，
当 x2-2=6 时， ????=±???????? ；
当 x2-2=7 时，x=±3，
所以原方程的解为x1=2 ???? ，x2=-2 ???? ，x3=3，x4=-3．
?
16. 解方程：(1)x4-3x2-4=0；(2)(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0．
【解析】解：(1)x4-3x2-4=0，(x2)2-3x2-4=0，
(x2-4)(x2+1)=0，x2-4=0，x2+1=0，
解得：x2=4，x2=-1(不合题意，舍去)，则x1=2，x2=-2．
(2)设y=x2+2x,则y2-y-6=0
∵(y-3)(y+2)=0，y=3，y=-2
当y=3时，x2+2x-3=0，x1=-3，x2=1，
当y=-2时，x2+2x+2=0，无解．
故方程的解为x1=-3，x2=1，
二项方程
1.当n为奇数时,方程有且只有一个实数根
2.当n为偶数时,
(1) 如果ab<0,方程有两个实数根,且这两个
实数根互为相反数,
(2) 如果ab>0,方程没有实数根
课堂小结
课堂小结
解双二次方程的一般过程是什么？
换元
解一元二次方程
回代
如何判断双二次方程的根的个数？
当 △ ≧ 0 时，如果y1y2< 0，
那么原方程有两个实数根；
如果 y1y2>0 且y1+ y2> 0， 那么原方程有四个实数根；
如果 y1y2> 0 且 y1+ y2< 0，
那么原方程没有实数根.
当△ < 0 时，原方程没有实数根.