9.4 矩形、菱形、正方形（第1课时）课件（共32张PPT）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.4　矩形、菱形、正方形（1）
第1课时　矩形及其性质
学习目标
1. 理解矩形的概念；
2.探索并证明矩形的性质定理;
3.能运用矩形的性质定理解决问题.
知识回顾
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
AB∥CD AD∥BC
B
D
?ABCD
A
C
问题情境
四边形的不稳定性
观察平行四边形的变化情况，你有什么发现？
问题情境
角的大小改变了，边的长度没变，一直保持平行四边形的形状.
当平行四边形的内角变化为直角时，我们称它为——________.
矩形
概念学习
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形也叫长方形.
注意：矩形一定是平行四边形，
平行四边形不一定是矩形.
四边形
矩形
平行四边形
概念学习
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
符号语言：
在?ABCD中，∠ABC=90°，
∴?ABCD是矩形．
由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质.
思考与探索
可以从边、角、对角线等方面来考虑.
思考与探索
猜想1 矩形的四个角都是直角.
B
A
D
C
B
A
D
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∴∠C＝90°，∠D＝90°．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
思考与探索
猜想2 矩形的对角线相等.
B
A
D
C
B
A
D
C
证明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC = ∠DCB = 90°.
又∵AB = DC ， BC = CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC = BD .
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
新知归纳
矩形的四个角都是直角，对角线相等．
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，
AC=DB.
B
A
D
C
O
讨论与交流
矩形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
B
A
D
C
O
矩形是特殊的平行四边形，是中心对称图形.
矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
归纳提升
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}矩形
性 质
符号语言
图示
边
角
对角线
对称性
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
B
A
D
C
O
l1
l2
既是中心对称图形又是轴对称图形
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
AB=CD，AD=BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=
∠CDA=∠DAB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD
AC=BD．
对称中心是对角线的交点O，对称轴是直线l1和l2．
新知巩固
1.矩形的定义中有两个条件：一是___________，二是_______________.
平行四边形
有一个角是直角
2.下列说法不正确的是 (　　)
A. 矩形是平行四边形
B. 矩形的对角线互相平分
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
C
新知巩固
3.下列性质中，矩形不一定具有的是 ( )
A.对角线相等 B.四个角都相等
C.对角线垂直 D.是轴对称图形
C
4 .矩形具有而平行四边形不具有的性质是 ( )
A.两组对边分别平行 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
D
例题讲解
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，（矩形的对角线相等）
AO＝CO＝????????AC，BO＝DO＝????????BD，
（矩形的对角线互相平分）
∵AC＝2AB，
∴AB＝????????AC.
∴AO＝BO＝AB.
∴△AOB是等边三角形.
?
例 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AC＝2AB．
求证：△AOB是等边三角形．
A
D
B
C
O
例题讲解
变式1 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm. 求矩形对角线长.
A
D
B
C
O
解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，（矩形的对角线相等）
AO＝CO＝????????AC，BO＝DO＝????????BD，
（矩形的对角线互相平分）
∴AO＝BO.
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等边三角形.
∴AC=2OA=2AB=8cm.
?
矩形的面积呢？
在Rt△ABC中，BC=?????????????????????????=?????????????????=????.
∴矩形ABCD的面积=AB?BC=16????cm2.
?
例题讲解
变式2 利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
D
C
O
B
A
证明: 延长BO到D，使OD=BO，连接AD、DC.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是中线.求证：BO = ????????AC ?
?
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴?ABCD是矩形，
∴AC=BD，BO=???????? BD=???????? AC.
?
讨论与交流
1. 两条对角线把矩形分成____对全等三角形，其中有____对全等的直角三角形，____对全等的等腰三角形；
B
A
D
C
O
2. 两条对角线把矩形分成的4个等腰三角形的______相等，______相等.
4
2
2
腰长
面积
新知巩固
1.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED.
(1)△BEC是否为等腰三角形？证明你的结论.
A
D
B
C
E
解：(1)△BEC是等腰三角形. 证明如下:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD// BC，
∴∠DEC=∠BCE.
又∵EC平分∠BED，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC.
∴△BEC是等腰三角形.
新知巩固
(2)AB=1，∠ABE=45°，求BC的长.
解：(2)在△ABE中，
∵∠A=90°，∠ABE=45°,
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=1，
Rt△ABC中，由勾股定理得BE=????????????+????????????=????????+????????=????.
∴BC=BE=????.
?
A
D
B
C
E
新知巩固
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E.
(1) 求证：AC=EC；
A
B
C
D
O
E
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=DB，AB∥DC.
又∵CE∥DB，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴DB=EC，
∴AC=EC.
新知巩固
(2)解：∵在矩形ABCD中，BO=4，
∴BD=2BO=2×4=8.
∵∠DBC=30°，
∴CD=????????BD=????????×8=4，
∴AB=CD=4，AE=AB+BE=AB+CD=8.
在Rt△BCD中，
BC=?????????????????????????=?????????????????=4????.
∴四边形AECD的面积=????????×(4+8)×4????=24????.
?
(2) 若∠DBC=30° ， BO=4 ，求四边形AECD的面积.
A
B
C
D
O
E
新知巩固
变式 如图，在△AEC中，AC＝EC，B是AE的中点，O在AC上，且OA＝OC，连接BO，并延长至点D，使OD＝OB.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC＝EC，B是AE的中点，
∴CB⊥AE，
∴∠ABC＝90°，
∴?ABCD是矩形
(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
A
B
C
D
O
E
课堂小结
9.4 矩形、菱形、正方形(1)
矩形的概念
矩形的性质
一般性质
特殊性质
当堂检测
1.矩形不一定具有的性质是( 　　)A.对角线互相平分 　　 B.对角线互相垂直C.对角线相等 　　 D.是轴对称图形
B
2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)A.对角相等 B.对边相等C.对角线相等 D.对角线互相平分
C
当堂检测
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
当堂检测
4. 矩形ABCD中，对角线AC、BD把矩形分成( )个等腰三角形，
( )个直角三角形.
A.2 B.4 C.6 D.8
B
B
A
B
C
D
O
当堂检测
5. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为________．
80°
6. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4 cm，则矩形ABCD的对角线长为_________.
8 cm
A
B
C
D
O
7.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交边BC于点E，若ED＝5，EC＝3，则矩形ABCD的周长为________.
当堂检测
A
B
C
D
E
22
8.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
(7)
(8)
????????
?
当堂检测
9.如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解：∵ △AOB、 △BOC、 △COD和△AOD
四个三角形的周长和为86cm，
又∵ AC=BD=13cm（矩形的对角线相等）
∴ AB+BC+CD+DA ＝ 86－2(AC+BD)
＝ 86－2×2×13
即矩形ABCD的周长等于34cm.
＝ 34cm
即 AB+BC+CD+DA+2(AC+BD) ＝86
A
B
C
D
O
10.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=????????S矩形ABCD=????????×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴????????AO·PE+????????DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF=????????????.
?
A
B
C
D
O
P
E
F
当堂检测