2023-2024学年湖南省邵阳市新邵县高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省邵阳市新邵县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.如图，在四面体中，在棱上，满足，，分别是，的中点，设，，，用，，表示，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设，记不超过的最大整数为，如，，令，则，，，三个数构成的数列( )
A. 是等比数列但不是等差数列 B. 是等差数列但不是等比数列
C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列
5.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线离心率为( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”设数列的前项和为，记，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为非零实数，则下列说法正确的是( )
A. 是，，成等差数列的充要条件
B. 是，，成等比数列的充要条件
C. 若，，成等比数列，则，，成等比数列
D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列
10.已知方程，则下列说法中正确的有( )
A. 方程可表示圆
B. 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D. 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为
11.已知直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则的离心率可能是( )
A. B. C. D.
12.如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，上的动点不含端点，且则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 该三棱柱的外接球的表面积为
C. 异面直线与所成角的正切值为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线在点处的切线方程为 ．
14.已知点是圆：的动点，直线：上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是______．
15.已知数列满足：，，，则 ______．
16.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，，．
求数列的通项公式；
若，数列的前项和为，求．
18.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，．
求圆的标准方程；
求直线的方程．
19.本小题分
如图，四棱锥中，，且．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ若是等边三角形，底面是边长为的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
若，数列前项的和为，求．
21.本小题分
已知函数，．
求的单调区间；
若，求函数的极值．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，点满足记的轨迹为．
求的方程；
设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线经过，两点，
直线的斜率不存在，
直线的倾斜角．
故选：．
由直线经过，两点，直线的斜率不存在，从而能求出直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
2.【答案】
【解析】解：根据空间向量运算法则得：
，
，，，
．
故选：．
根据空间向量的运算法则直接求解．
本题考查向量的线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
，，
故选：．
利用椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程求解即可．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，
，，成等比数列，不成等差数列，
故选：
根据定义分别求出，，然后结合等比数列的定义进行判断即可得到结论．
本题主要考查等比数列的判断，根据定义将条件进行化简是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，即为双曲线的一个焦点坐标，
所以离心率为，
故选：．
由抛物线方程得焦点坐标，由离心率公式计算．
本题主要考查双曲线与抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，若，，
则，，．
，
．
故选：．
直接利用等差数列和的性质，求解即可．
本题考查等差数列的性质的应用，考查计算能力，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为中点横坐标为，所以外接圆的圆心在上，
设圆心为，则半径为，
圆心距，
圆，
又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，
所以，显然成立，
两边同时平方可得，
，所以，
所以，所以，
当且仅当，解得时取得等号，
所以周长的最小值为，
故选：．
根据题意，结合圆与圆的位置关系列出不等式，即可求解．
本题考查圆的几何性质，圆与圆的位置关系，不等式思想，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
，，
由得，
又，，，即，
，
故选：．
由题意得，，两式相加得，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据等差中项即可得出是，，成等差数列的充要条件，故A正确；
，即，又，，为非零实数，所以根据等比中项即可证明，，成等比数列，
，，成等比数列，只能证明，即是，，成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
若，，成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；
若，，成等差数列，则，无法得到，故D错误．
故选：．
根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案．
本题主要考查等比数列、等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线，圆与方程，属于中档题．
分别将的值代入各个命题，可判断出命题的真假，进而选出结果．
【解答】
解：中，方程，，所以方程不表示圆的方程，故A不正确；
中，当时，有，且，故方程表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
中，当时，方程中，，，方程表示焦点在轴上的双曲线，所以C正确；
中，当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为，所以D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：设，，
则，则，故，
线段的中点为，
，，
故，
又，则，即，
，，
故椭圆的离心率，
故椭圆离心率范围为，
故与满足要求．
故选：．
设，，代入椭圆方程，利用点差法可得，结合及直线斜率为，，求出离心率范围，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，
平面，所以平面，故A项正确；
因为，所以，
因为，所以，所以，
易知是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以项正确；
因为，所以异面直线与所成角为，
在中，，，
所以，所以项错误；
二面角即二面角，
以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，，，
可设平面的一个法向量为，
则由，可得，令，则，
所以，同理求得平面的一个法向量为，
又二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为，所以项正确．
故选：．
说明四边形是矩形，然后证明，推出平面，判断；说明是三棱柱外接球的直径，然后求解表面积，判断；说明异面直线与所成角为，然后求解三角形，判断；求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解判断．
本题考查立体几何中的关系和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
对求导，可将代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
【解答】
解：，
，
当时，，
在点处的切线斜率，
曲线在点处的切线方程为：．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：由圆：得圆心，半径．
因为直线：上存在两点，，使得恒成立，
则以为直径的圆包含圆，
当长度最小时，两圆内切，
设中点为，则此时，
所以．
故答案为：．
根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切，且时，线段长度最小，然后求即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
15.【答案】或
【解析】解：，，
若为偶数，则，
若为偶数，则，则或，均满足要求；
若为奇数，则由可得，不符合题意，舍去；
若为奇数，则，不符合要求，舍去；
综上所述：或．
故答案为：或．
根据递推关系，对分奇数、偶数讨论，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设的中点为，连接，如图所示，
则，所以，
所以，所以为等腰三角形，即，且，
所以，
又点在右准线上，
所以，即，
所以，即，解得或，
又，所以．
故答案为：．
由可得，又点在右准线上可得，解关于的一元二次不等式，结合即可求得结果．
本题考查椭圆的几何性质，椭圆离心率范围的求解，属中档题．
17.【答案】解：设等比数列的公比为，
，，
，即，
解得或舍去，
；
，
．
【解析】根据等比数列的通项公式列式求出公比，再根据等比数列的通项公式，即可得出答案；
求出后，利用并项求和法以及等差数列的求和公式，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：设圆的半径为，因为圆与直线：相切，
，
圆的方程为；
当直线与轴垂直时，易知符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．
连接，则，，，
则由得，直线为：，
故直线的方程为或．
【解析】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，属于中档题．
利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
19.【答案】解：Ⅰ证明：四棱锥中，，且，
，，
，，平面，平面．
平面，平面平面．
Ⅱ是等边三角形，底面是边长为的正方形，是中点，
取中点，连接，则平面，
以为原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．
Ⅱ取中点，连接，则平面，以为原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
20.【答案】证明：由，得，
即，即，
所以数列为等比数列，首项，公比．
解：由得，
，
，
，
，得
，
．
【解析】将条件两边同时取倒数，然后两边同时减，可证明等比数列；
利用错位相减法求和即可．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法求前项和问题，考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21.【答案】解：，，，，
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，取，解得舍去负值，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
当时，，取，解得舍去负值，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以有极大值为，无极小值．
【解析】求导得到，考虑和两种情况，得到单调区间．
求导得到，计算函数的单调区间得到极值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
22.【答案】解：由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为，
根据题意，解得，
的方程为；
设，设直线的方程为，，，
由，得，
整理得，
，，
，
设，同理可得，
由，得，
，
，，，
．

【解析】的轨迹是双曲线的右支，根据题意建立关于，，的方程组，解出即可求得的方程；
设出直线的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得，同理求得，再根据，即可得出答案．
本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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