2023-2024学年浙江省金衢山五校联考九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省金衢山五校联考九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数的图象经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
2.一个不透明的盒子内装有个红球，个黄球，个蓝球，它们除颜色外其余均相同现从中随机摸出一球，记下颜色后放回搅匀，如此继续小州摸球两次，则出现相同颜色的概率为( )
A. B. C. D.
3.如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图，其数学模型为如图所示园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.如图，中，于点，，，，点，为线段，上两点，满足，则：的比值是( )
A. B. C. D.
6.若，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，设矩形的面积为，则以下个结论中：：：；：：：：；；正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为，则边，与，围成的阴影部分面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，的半径为为坐标原点，点是上一动点，过点作直线的垂线，为垂足，点在上运动一周，则点运动的路径长等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知，且，则的值为______．
12.某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的麦粒数
发芽的麦粒数
发芽的频率
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为______结果精确到
13.如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为______．
14.燕尾夹是我们平时学习、工作中经常用到的工具之一，一种燕尾夹如图所示，图是在打开状态时的示意图，图是在闭合状态时的示意图数据如图，单位：，则从打开到闭合，、之间的距离增加了______．
15.如图，为的直径，为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，若，则 ______．
16.如图所示，，半径为的圆内切于为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
已知线段，，线段是线段，的比例中项，求的值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示：
画出关于原点对称的；
坐标将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的C.并求出、的坐标．
19.本小题分
年杭州亚运会球类比赛中，有排球，篮球，足球，羽毛球，乒乓球五种比赛很受我校同学们喜爱小熙同学随机对我校同学在亚运会期间最想观看的一种球类比赛做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如图两幅不完整的统计图：
请补全条形统计图；
若我校学生约有人，试估计想观看种比赛的学生约有______人；
小熙同学在月号到杭州观看亚运会比赛，发现当天有比赛的是，，，四种比赛，若从中任选两种比赛观看，求选到，两种比赛的概率要求画树状图或列表求概率
20.本小题分
如图，在中，弦和半径相交于点，与互相平分，连接，，，．
求证：四边形是菱形；
若扇形图中阴影部分的面积为，求与间的距离．
21.本小题分
如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度喷水头距喷灌架底部的距离是米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米．
计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响？
求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
22.本小题分
仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组 如图，先在仁皇阁底部广场的处用仪器测得阁楼顶端的仰角为，然后从处向阁楼底部前进到达处，此时在处测得阁楼顶端的仰角为．
组 如图，身高的组员站在仁皇阁正门边上合影打印出照片后量得此组员图上高度为，量得仁皇阁图上高度为．
任务一 问题解决 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；结果保留小数点后一位参考数据，，，
任务二 分析表达 后续经过查证后发现小组数据更为精确，请你帮小组分析可能产生误差的原因写出一条即可
23.本小题分
【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图所示的无盖纸盒，记它的容积为．
任务请你写出关于的函数表达式．
【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．
任务列表：请你补充表格中的数据．
______ ______
描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．
任务利用函数图象回答：当为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？
24.本小题分
在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化．
如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是______，与的位置关系是______；
若，当点在线段的延长线上时，
如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由；
如图，连接，若，，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将代入得，
，
故选：．
将代入解析式求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中出现相同颜色的结果有种，
出现相同颜色的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及出现相同颜色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：连接、，
六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
的长为：，
故选：．
连接、，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出的长．
本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：过作于，过作于，如图所示：
则米，，
，
，
四边形是矩形，
米，米，
设该圆的半径长为米，
由题意得：，
解得：，
即该圆的半径长为米，
故选：．
过作于，过作于，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
如图，过点作交的延长线于点，
则，∽，
，
，
，
，
，
故选：．
先由等腰三角形的性质得出，则，再过点作交的延长线于点，则，∽，得出，然后证，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构建等腰三角形和相似三角形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故选A．
直接利用已知得出，进而代入原式求出答案即可．
本题主要考查比例的性质．
7.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
∽，∽，
点是边的三等分点，点是边的中点，
，
设，则，
：：，：：：：，故正确，错误；
∽，
，
同理可得：，
，
设，则，，，，
，，
，故正确，错误；
故选：．
根据矩形性质得到，，，，即可得到∽，∽，从而得到即可判断，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断，即可得到答案．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图．
点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，即，
，
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，利用反比例函数系数的几何意义得到，，证明∽，利用相似三角形的判定与性质得出，从而得出．
此题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接、，国点作，垂足为，
六边形是的内接正六边形，
，，
，
．
故选：．
根据正六边形和圆的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正多边形和圆的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
10.【答案】
【解析】解：点坐标为，点坐标为，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，即，
在以为直径的圆弧上，
当、与相切时，即，
，
，
，
的度数为，
，
当点在上运动一周，点运动的路径长等于．
故选：．
由连接，由可知在已为直径的圆弧上运动，再由当与圆相切时，此时是点运动路径的两端点，再由解三角形求出度数，即可得出点运动路径的度数，从而求解．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、解三角形、弧长的计算等知识；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
11.【答案】
【解析】解：设，
，，，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
利用设法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右，
故答案为：．
根据表格可知：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右，据此解答．
本题考查概率估计，读懂表格是关键．
13.【答案】
【解析】解：在中，，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案．
本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一．
14.【答案】
【解析】解：由图可知，点之间的距离为，
如图，连接，
，
∽，
，
，
解得，
点之间的距离增加了．
故答案为：．
利用平行线得到∽，列出比例式求出闭合时长，两种状态下之差即可算出．
本题列出了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的比例关系式解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，分别交，于点，．
，分别为，的中点，
垂直平分，垂直平分．
又为的直径，，
，
，
，
，，，都是等腰直角三角形．
，
．
设，则，由勾股定理可得．
又，，，
，，
，．
又，
，
解得，
．
由于点、分别为，的中点，根据垂径定理可得垂直平分，垂直平分，再由直径所对的圆周角是直角得出、、、都是等腰直角三角形，根据，设未知数，表示，，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】
解：作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
如图，
连接，，，
可得：四边形是正方形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
如图，
由上知：，，
，
，
，
．
，作，，确定的最大值和最小值．
本题考查的是解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造．
17.【答案】解：原式
；
线段是线段，的比例中项，
，
而段，，
，
而，
．
【解析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
利用比例中项的定义得到，然后求出的算术平方根即可．
本题考查的是比例线段和特殊角的三角函数，熟记各特殊角度的三角函数值和掌握比例中项的定义是解决问题的关键．
18.【答案】解：如图所示，即为所求，
如图所示，即为所求，

【解析】根据旋转的性质找出三个顶点的对应点连接即可；
根据旋转的性质找出三个顶点的对应点连接即可．
本题考查了作图旋转变换，根据题意正确找出对应点是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：本次随机调查的总人数是人，
想观看比赛的人数为人，
补全条形图如下：
估计想观看种比赛的学生约有人；
画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中选到，两种比赛的有种结果，
所以选到，两种比赛的概率为．
用想观看比赛的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再减去其他比赛的人数，可补全统计图；
用乘想观看种比赛的人数所占比值可估计人数；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出选到，两种比赛的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，用样本估计总体，列表法与或树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率是解题的关键．
20.【答案】证明：弦垂直平分半径，
，，
，
，
四边形是菱形；
解：作于，
，
是等边三角形，
，
，
扇形图中阴影部分的面积为，
，
，
，
，
与间的距离为．
【解析】根据垂直平分线的性质可得，，然后根据圆的半径相等证出，然后根据菱形的判定定理即可证出结论；
易求得是等边三角形，即可求得，得到，，根据扇形面积公式，从而得出半径，然后求得等边三角形的高，就是与间的距离．
此题考查的是线段垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、扇形的面积，掌握垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、勾股定理和圆的基本性质是解决此题的关键．
21.【答案】解：由题意得：该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为：，
将点代入得：，
解得：
当时，
水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响
由题意得，
直线的解析式为：
水流的高度与斜坡铅垂高度差，
水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为
【解析】设该抛物线的解析式为，将点代入即可求出解析式；求出当时的函数值，即可判断；
由题意得直线的解析式为：，确定水流的高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式即可求解．
本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键．
22.【答案】解：任务一：组，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得，
答：阁楼高度约为；
任务一：组，设阁楼高度为 ，
根据题意得，
解得，
答：阁楼高度约为；
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡答案不唯一．
【解析】任务一：组，根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论；组，设阁楼高度为 ，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
任务二：根据题意写出产生误差的原因即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：任务
，
任务在中，
当时，；当时，，
故答案为：，；
如图所示，
如图所示：
任务由图可知，当为时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为．
任务根据长方体的体积公式可以列出关于的函数表达式，根据的实际意义可直接分析出其取值范围；
任务分别将和代入函数关系式可求出的值；根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；可直接用平滑曲线连接；
任务根据数形结合的思想可直接从图象中估出的为时，容积最大．．
本题考查了函数的性质，画函数图象的步骤列表、描点、连线，以及数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想．
24.【答案】
【解析】解：连接，延长交于，
菱形中，，
，，
、是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，，
平分，
，
平分，
，
故答案为：，；
，，证明如下：
如图，连接，延长交于点，
菱形中，，，
，．
是等腰三角形．，，
，．
．，
．
即．
∽．
，．
即；
平分，
．
平分．
．
，
；
如图，连接，，
四边形是菱形，，
平分，
．
是等边三角形，
，
由知∽．
，．
平分，
．
在中，，
，
，
．
连接，延长交于，根据证≌，即可得出，，得出即可；
连接，延长交于点，证明∽得出，则可得出结论；
连接，，由知∽得出，由勾股定理求出，则可得出答案．
本题主要考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质、菱形的性质等知识是解题的关键．
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