2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. “，” B. “，”
C. “，” D. “，”
3.函数被称为狄利克雷函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.“”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.扇面书画在中国传统绘画中由来已久最早关于扇面书画的文献记载，是王羲之书六角扇扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为，内弧长为，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为( )
A. B. C. D.
8.已知，设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 是增函数
D.
10.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则( )
A. 且
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
11.若正实数，满足，则( )
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 的最小值是 D. 的最小值是
12.已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是( )
A. 若满足性质，且，则
B. 若，则不满足性质
C. 若满足性质，则
D. 若满足性质，且时，，则当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.集合，，且，则实数 ______．
14.已知，且，则 ______．
15.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氛化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，，试估计______年以后将会有一半的臭氧消失
16.已知函数，当时，不等式的解集是______，若恰有个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
18.本小题分
已知为第二象限角，且终边与单位圆相交于点．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数的最小正周期为，且图象经过点．
求的单调递减区间；
当时，求的最值以及取得最值时的值．
20.本小题分
已知函数为奇函数．
求，判断的单调性，并用定义证明；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为平方米的十字形地域计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形图中阴影部分上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米元；再在四个空角图中四个三角形上铺草坪，造价为每平方米元．
设长为米，总造价为元，求关于的函数解析式；
若市面上花坛造价每平方米到元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多元，问花坛造价最多投入每平方米多少元？
22.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
若函数有两个零点，求的取值范围；
设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
所以，故A正确．
故选：．
分别求出，，再求解即可求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，命题“，”的否定是“，”．
故选：．
根据题意，利用全称命题的否定形式判定选项即可．
本题考查命题的否定，注意全称命题的否定形式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，．
故选：．
利用定义结合分段函数性质计算即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由为幂函数，所以，得，所以，
对：当时，，，故A错误；
对：，，故B错误；
对：，，故C正确；
对：，，故D错误．
故选：．
由为幂函数，可求出，即得到，再利用零点存在定理从而可求解．
本题主要考查函数零点判定定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，设，其定义域为，
有，则为奇函数，其函数图象关于原点中心对称，可排除、；
显然当时，恒成立，可排除，即A正确．
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性排除、，由函数值的符号排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性分析，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意易知或，
且开口向上，且对称轴为，
结合复合函数的单调性知在上单调递增，
所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性；
而函数在上单调递增可知，
显然成立，满足必要性．
所以是函数在上单调递增的必要不充分条件．
故选：．
利用对数函数的定义及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定选项即可．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：易知，根据题意可知扇面的面积为．
故选：．
利用扇形的面积公式计算即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，可知，所以，
易知，
先证糖水不等式：若，，则，
证明如下：作差得，得证．
所以有，即，
所以．
故选：．
根据同时取对数可判定，关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定，关系．
本题主要考查对数的运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对：由，函数的最小正周期为，故A正确；
对：由，，解得，，
所以的定义域为，故B正确；
对：，，解得，，
所以函数在，上单调递增，故C错误；
对：由知当时，在上单调递增，所以，故D正确．
故选：．
根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解．
本题考查正切函数的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知，
所以且，，故A正确，B错误；
不等式，故C正确；
不等式，
即，所以或，故D错误．
故选：．
利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可．
本题考查二次不等式的解法，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对：由，得，所以，
当且仅当，即时取等号，故A错误；
对：由，解得，当且仅当，即时取等号，故B正确；
对：由，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对：由，得，则，
因为，所以当时，有最小值，故D错误．
故选：．
利用的代换可对判断；利用基本不等式可对、判断；由，利用二次函数性质从而可对判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，若满足性质，且，则恒成立，
所以，故A正确；
对于，若，显然，
即，此时满足性质，故B错误；
对于，若满足性质，
即，
易知，，所以，故C正确；
对于，若满足性质，且时，，
由题意
，
则当时，
则，
所以，故D正确．
故选：．
利用定义直接计算可判定，利用诱导公式可判定，利用指数运算法则结合指数函数单调性可判定，利用定义递推函数关系可判定．
本题考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，
当时，，，则，符合题意；
当时，解得或，
若，则，，不符合题意；
若，则，不符合题意；
综上所述：．
故答案为：．
根据集合关系，分别讨论，，从而可求解．
本题主要考查集合相等的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由可知，
又
，即，
则，
所以，
故．
故答案为：．
利用同角三角函数的平方关系计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，得，
即，解得．
故答案为：．
由，解得，从而可求解．
本题考查了指数函数模型应用问题，是基础题．
16.【答案】 ，．
【解析】解：当时，若，
若，综上的解集是；
若的零点都在上，即两个零点分别为，，则，
若的零点在上有一个，在上有一个，
即两个零点分别为，，则，
即，综上，．
故答案为：，，．
利用分段函数的性质结合一次函数、二次函数的单调性计算可得第一空，分类讨论计算可得第二问．
本题主要考查函数的零点和方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：
；
．
【解析】利用指数与对数的运算法则计算即可；
利用对数的运算性质计算即可．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：点的横坐标为，
，
又为第二象限角，
．
；
．
【解析】利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可；
利用诱导公式结合的结论弦化切计算即可．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
19.【答案】解：函数的最小正周期为，，即，
的图象经过点，，结合，解得，
的解析式为，
令，，解得，，可知的单调递减区间为，．
当时，可知，所以，
因此，当，即时，函数取得最大值；当，即时，函数取得最小值为．
【解析】根据余弦函数的周期性、函数经图象过定点，计算出的解析式，然后利用余弦函数的单调性算出答案；
利用余弦函数的图象与性质，求出在上的最值以及取得最值时的值．
本题主要考查三角函数的周期性、余弦函数的单调性与最值等知识，属于基础题．
20.【答案】解：函数为奇函数，所以，
即，则，
即，则，得；
所以，
函数在上为增函数，
证明如下：
设，则
，所以，且，，
，即，
函数在上为增函数；
不等式恒成立，
，
函数为奇函数，，
函数在上单调递增，则，
即恒成立，
当时，不等式恒成立，满足题意；
当时，需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围为．
【解析】先根据奇函数的定义计算参数，再由函数的单调性定义证明即可；
利用函数的奇偶性及单调性脱去函数符号，结合一元二次不等式恒成立讨论计算即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想、分类讨论思想和方程思想，属中档题．
21.【答案】解：由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为，
所以，且，则，
则
；
由可知，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
由于投入到该休闲场所的资金最多元，
所以，
解得，
当时，符合题意，
所以花坛造价最多投入每平方米元．
【解析】利用几何图形的特征计算图形面积即可；
利用的结论结合基本不等式可知，解不等式即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
22.【答案】解：，则，，，
，即，
故不等式的解集为；
函数有两个零点，即方程有两个不相等的实根，
，，
，令，则，
即方程在上只有两解，令，，则．
当时，直线和函数的图象只有两个公共点，
即函数只有两个零点，实数的范围是；
，函数在上单调递增，
即函数在定义域内单调递增，
函数在区间上的最小值为，最大值为，
，
对恒成立．令，，
对，恒成立，
在上单调递增，，
解得，又，．
实数的取值范围是．
【解析】由，求出，从而可求解的解集；
由题意可知有两个不相等的实根，化简可得，从而得，令，即在上只有两解，从而可求解；
当，求出在区间上的最大、最小值的和对恒成立，令，，从而可得，利用二次函数的性质从而可求解．
本题考查函数的综合应用，考查对数的运算性质，属于中档题．
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