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(总课时30)§4.1认识三角形（2）
【学习目标】了解等腰三角形和等边三角形的概念；通过观察、测量归纳出三角形的三边关系.
【学习重难点】理解三角形三边之间的数量关系并能应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺序相接所组成的图形叫三角形.
2.三角形的重要性质：（1）三角形内角和等于180.（2）直角三角形的两个锐角互余
3.写出图1中所有的三角形并按角来分类。.
锐角三角形：△ABC，△ADC
直角三角形：△ABE，△ADE，△ACE
钝角三角形：△ABD.
二.探究新知
探究（一）等腰三角形的概念
1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的空内：
2.测量上面的三角形中各自的边长有什么关系？
（1）三边长度都不相等的有：①②④⑥⑦；（2）两边长度相等的有：⑤；(3)三边长度都相等的有：③
3.定义：①有两边相等的三角形叫等腰三角形；其中,相等的两条边叫做腰；另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角；腰与底的夹角叫做底角,等腰三角形有两个底角.如图2.
②有三边都相等的三角形叫等边三角形
4.三角形按边分类：①不等边三角形，②等腰三角形（等边三角形）.
探究（二）三角形的三边关系
1.分别量出下图三角形的三边长度，并填空.
(1) a= b= c= ;
(2) a= b= c= ;
(3) a= b= c= ;
计算每个三角形的任意两边之和、差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试.
2.结论：三角形的三边关系：
（1）三角形任意两边之和大于第三边（2）三角形任意两边之差小于第三边.
三.典例与练习
例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范围是什么？
解：用长度为2cm的木棒不能摆成三角形.
理由：∵5+2=7﹤8，即两边之和小于第三边，∴不能摆成三角形.
用长度为13cm的木棒也不能摆成三角形.
理由：∵5+8=13，即两边之和等于第三边，∴不能摆成三角形.
设原来的两根木棒长为a和b(a>b),第三根木棒长为c,则：a-b﹤c﹤a+b
练习1.若一个三角形的三边长分别为3，x和7，则x的取值范围是4﹤x﹤10.
例2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？说说你的判断方法？
（1）3cm, 4cm, 5cm; (2)8cm, 7cm, 15cm；(3)13cm, 12cm, 20cm; (4)5cm, 5cm, 11cm
解：(1)能：理由：∵3+4>5（最短的两边之和大于第三边）
(2)不能：理由：∵7+8=15（最短的两边之和等于第三边）
（3）能：理由：∵20-12﹤13（最长的边与最短边之差小于第三边）
（4）不能：理由：∵11-5>5（最长的边与最短边之差大于第三边）
练习2.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为25.
例3.已知△ABC为等腰三角形
①当它的两个边长分别为8cm和3cm时，它的周长为19；
②如果它的周长为18cm，一边的长为5cm，则腰长为5或6.5.
练习3.已知三角形三边长分别为a，b，c
①若b＝4,c＝7试确定第三边a的范围.若该三角形为等腰三角形，那么腰和底各是多少？
②若b＝3,c＝7试确定第三边a的范围.若该三角形为等腰三角形，那么腰和底各是多少？
解：①a=4或7；腰是4，底是7；或腰是7，底是4
②a=7；腰是7，底是3
四.课堂小结
1.已知三角形三边长度判断能否构成三角形时,只需将最短的两边相加,或将最长的边与最短的边相减，再与第三边比较大小即可.
2.两边之差＜第三边＜两边之和；（用来确定第三边取值范围）
五.分层过关
1.下列三条线段不能组成三角形的是（ A ）
A、3?8 4 B、4 9?6 C、15?20?8 D、9 15 8 ?
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ B ）
A、1 l 2 B、3 4 5 C、1 4 6 D、2 3 7?
3.以长为10cm，7cm，5cm，3cm的四条线段中的三条为边，可组成三角形的个数为（ B ）
A、1 B、2 C、3 D、4
4.若等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm?则其第三边的长可能为（ C ）
A、2cm B、6cm C、4cm D、2cm或4cm
5.若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是1﹤a﹤13，若第三边为整数则这样的三角形有10个；若第三边为奇数，则这样的三角形有5个
6.等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是0﹤a﹤12.
7.一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其他两边的长.
解：①底边长为8cm，则腰长为：(20﹣8)÷2＝6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；
②腰长为8cm，则底边长为：20﹣8×2＝4，底边长为4cm，另一个腰长为8cm，能构成三角形.
因此另两边长为6cm、6cm或8cm、4cm.
8.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，AC的长为奇数.
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状，并说明理由.
解:（1）由题意得：5-2
∵AC为奇数，∴AC=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12；
（2）∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
9.若a，b，c是△ABC的三边长，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的任两边之和大于第三边可得a＜b+c， b＜c+a ，c＜a+b，
即可得到a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，再根据绝对值的规律化简即可.
因为a、b、c是△ABC的三边，
所以a＜b+c， b＜c+a ，c＜a+b
即a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0
所以│a-b-c│+│b-c-a│+│c-a-b│=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=a+b+c.
图1
(腰)
(腰)
(底角)
(底角)
图1
(顶角)
(底边)
锐角三角形：③⑤
直角三角形：①④⑥
钝角三角形：②⑦
图2
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一.选择题：
1.下列各组线段，能组成三角形的是（ ）
A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cm
C．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm
2.用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.若三角形的两边长分别为3和5，则其周长c的取值范围是
A．6﹤c﹤15 B．6﹤c﹤16 C．11﹤c﹤13 D．10﹤c﹤16
4.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对
二.填空题：
6.三角形两边长分别为2和8，若第三边长为奇数，则第三边长为__________.
7.一个等腰三角形的边长分别是4cm和9cm，则它的周长是_____cm；
8.若三个互不相等的数5，3，a能作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是__________．
9.若一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为7cm，则其他两边的长为_______________．
10.若等腰三角形的两腰长分别为xcm和(2x－6)cm，且周长为17cm，则第三边的长为_____cm.
11.各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有_____个
三.解答题：
12.下列长度的线段能否组成三角形？为什么？
(1)3cm，4cm，9cm; (2)4cm，4cm，8cm； (3)4cm，3cm，8cm; (4)5cm，5cm，5cm.
13.用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少？
(2)能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？说明理由.
14.已知△ABC的三边长分别为4，9，x；
（1）求x的取值范围；（2）若x为偶数，求x的值；
（3）若△ABC的周长为偶数，求x的值；（4）若△ABC为等腰三角形，求x的值；
15.已知：如图，点D是△ABC内一点．
求证：（1）BD+CD＜AB+AC；（2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC．
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(总课时30)§4.1认识三角形（2）
【学习目标】了解等腰三角形和等边三角形的概念；通过观察、测量归纳出三角形的三边关系.
【学习重难点】理解三角形三边之间的数量关系并能应用.
【导学过程】
一.知识回顾
1.由不在___________________的三条线段首尾__________相接所组成的图形叫三角形.
2.三角形的重要性质：（1）三角形内角和__________.（2）直角三角形的两个锐角_____
3.写出图1中所有的三角形并按角来分类。.
锐角三角形：_______________
直角三角形：____________________
钝角三角形：__________.
二.探究新知
探究（一）等腰三角形的概念
1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的空内：
2.测量上面的三角形中各自的边长有什么关系？
（1）三边长度都不相等的有：_________；（2）两边长度相等的有：___；(3)三边长度都相等的有：____
3.定义：①有两边相等的三角形叫__________；其中,__________叫做腰；另一条边叫做_____；两腰的夹角叫做____角；_______________叫做底角,等腰三角形有_____个底角.如图2.
②有三边都相等的三角形叫_______________
4.三角形按边分类：①不等边三角形，②等腰三角形（等边三角形）.
探究（二）三角形的三边关系
1.分别量出下图三角形的三边长度，并填空.
(1) a= b= c= ;
(2) a= b= c= ;
(3) a= b= c= ;
计算每个三角形的任意两边之和、差，并与第三边比较，你能得到什么结论？再画一些三角形试一试.
2.结论：三角形的三边关系：
（1）三角形任意两边之和_____第三边（2）三角形任意两边之差_____第三边.
三.典例与练习
例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范围是什么？
解：用长度为2cm的木棒不能摆成三角形.
理由：__________________________________________________.
用长度为13cm的木棒也不能摆成三角形.
理由：__________________________________________________.
设原来的两根木棒长为a和b(a>b),第三根木棒长为c,则：_______________
练习1.若一个三角形的三边长分别为3，x和7，则x的取值范围是_______________.
例2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？说说你的判断方法？
（1）3cm, 4cm, 5cm; (2)8cm, 7cm, 15cm；(3)13cm, 12cm, 20cm; (4)5cm, 5cm, 11cm
解：(1)能：理由：________________________________________
(2)不能：理由：_____________________________________________
（3）能：理由：_____________________________________________
（4）不能：理由：_____________________________________________
练习2.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长为_____.
例3.已知△ABC为等腰三角形
①当它的两个边长分别为8cm和3cm时，它的周长为_____；
②如果它的周长为18cm，一边的长为5cm，则腰长为__________.
练习3.已知三角形三边长分别为a，b，c
①若b＝4,c＝7试确定第三边a的范围.若该三角形为等腰三角形，那么腰和底各是多少？
②若b＝3,c＝7试确定第三边a的范围.若该三角形为等腰三角形，那么腰和底各是多少？
四.课堂小结
1.已知三角形三边长度判断能否构成三角形时,只需将_____的两边相加,或将__________与__________相减，再与第三边比较大小即可.
2.__________＜第三边＜__________；（用来确定第三边取值范围）
五.分层过关
1.下列三条线段不能组成三角形的是（ ）
A、3?8 4 B、4 9?6 C、15?20?8 D、9 15 8 ?
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A、1 l 2 B、3 4 5 C、1 4 6 D、2 3 7?
3.以长为10cm，7cm，5cm，3cm的四条线段中的三条为边，可组成三角形的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
4.若等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm?则其第三边的长可能为（ ）
A、2cm B、6cm C、4cm D、2cm或4cm
5.若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是_______________，若第三边为整数则这样的三角形有_____个；若第三边为奇数，则这样的三角形有_____个
6.等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是_______________.
7.一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其他两边的长.
8.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，AC的长为奇数.
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状，并说明理由.
9.若a，b，c是△ABC的三边长，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
图1
(___)
(___)
(_____)
(_____)
图1
(_____)
(_____)
锐角三角形：_____
直角三角形：__________
钝角三角形：_____
图2
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(总课时30)§4.1认识三角形（2）
一.选择题：
1.下列各组线段，能组成三角形的是（ B ）
A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cm
C．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm
2.用长分别为5，7，9，13（单位：厘米）的四段木棒为边摆三角形，可摆出不同的三角形的个数为（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.若三角形的两边长分别为3和5，则其周长c的取值范围是 D
A．6﹤c﹤15 B．6﹤c﹤16 C．11﹤c﹤13 D．10﹤c﹤16
4.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是( C )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上都不对
二.填空题：
6.三角形两边长分别为2和8，若第三边长为奇数，则第三边长为7或9.
7.一个等腰三角形的边长分别是4cm和9cm，则它的周长是22cm；
8.若三个互不相等的数5，3，a能作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是2﹤a﹤8．
9.若一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为7cm，则其他两边的长为7,4或5.5，5.5．
10.若等腰三角形的两腰长分别为xcm和(2x－6)cm，且周长为17cm，则第三边的长为5cm.
11.各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有20个
三.解答题：
12.下列长度的线段能否组成三角形？为什么？
(1)3cm，4cm，9cm; (2)4cm，4cm，8cm； (3)4cm，3cm，8cm; (4)5cm，5cm，5cm.
解：(1)3＋4＝7＜9，不能组成三角形.
(2)4＋4＝8，不能组成三角形.
(3)4＋3＝7＜8，不能组成三角形.
(4)5＋5＝10＞5，能组成三角形.
13.用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少？
(2)能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？说明理由.
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2.5xcm，根据题意，得:x＋2.5x＋2.5x＝24.
解得x＝4，则2.5x＝10，所以各边长分别为4cm，10cm，10cm.
(2)能围成，理由如下：
若6cm为底边长时，腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，三角形的三边分别为6cm，9cm，9cm，
满足三边关系，故能围成等腰三角形；
若6cm为腰长时，底边为24－6×2＝12(cm)，三角形的三边分别为6cm，6cm，12cm，
因为6＋6＝12，所以不能围成三角形.
综上所述，能围成一个底边长是6cm，腰长是9cm的等腰三角形.
14.已知△ABC的三边长分别为4，9，x；
（1）求x的取值范围；（2）若x为偶数，求x的值；
（3）若△ABC的周长为偶数，求x的值；（4）若△ABC为等腰三角形，求x的值；
解：（1）5﹤x﹤13
(2)由5﹤x﹤13,当x是偶数时，x=6,8,10,12;
（3）由△ABC两边之和等于13，且周长为偶数，∴第三边长x为奇数；
由5﹤x﹤13，∴x=7,9,11
(4)若△ABC为等腰三角形，x=9
15.已知：如图，点D是△ABC内一点．
求证：（1）BD+CD＜AB+AC；（2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC．
证明：（1）延长BD交AC于E，在△ABE中，有AB+AE＞BE，在△EDC中，有ED+EC＞CD，
∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD，∵AE+EC＝AC，BE＝BD+DE，
∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD，
∴AB+AC＞BD+CD；
（2）由（1）同理可得：AB+BC＞AD+CD，BC+AC＞BD+AD，
AB+AC＞BD+CD，∴2（AB+BC+AC）＞2（AD+BD+CD），
∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD．
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