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(总课时31)§4.1认识三角形（3）
一.选择题：
1.如图1,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC交BC于D,DE∥AB交AC于E,则∠ADE的大小是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图2，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10cm2，则△ABD的面积是（ ）cm2．
A.5 B.6 C.7 D.8
3.三角形的角平分线是( )
A.射线 B.线段 C.直线 D.以上都有可能
4.如图3,在△ABC中,∠A=56°,BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC=( )
A.102° B.112° C.115° D.118°
5.如图4，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（ ）
A．1cm2 B． 2cm2 C． 8cm2 D． 16cm2
二.填空题：
6.如图5，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，且△ABD的周长为11，则的周长是_____．
7.如图6,已知在△ABC中,AE平分∠BAC,过AE延长线上一点F作FD⊥BC于D,若∠F=6°,∠C=30°,则
∠B=42 .
8.如图7,如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△_____的角平分线，AN为△_____的角平分线.
9.如图8，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1BlC1的面积是14，那么△ABC的面积是_____
10.如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BIC=_____；（2）若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BIC=_____；
（3）若∠A=60°，则∠BIC=_____；（4）若∠A=100°，则∠BIC=_____；
（5）若∠A=n°，则∠BIC=__________．
三.解答题：
11.如图10，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）则∠BAE＝_____°；
（2）求∠DAE的度数．
12.如图11，如图,AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN.
13.如图12,AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:
(1)DO是∠EDF的平分线吗 给出结论并说明理由.
(2)假设：①DO是∠EDF的平分线，②AD是∠CAB的平分线,③DE∥AB,④DF∥AC；若将①与②③④中的任一条件交换,所得结论正确吗 若正确,请选择一个说明理由.
14.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．
图1
图4
图3
图2
图5
图7
图9
图8
图6
图10
图11
图12
图13
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(总课时31)§4.1认识三角形（3）
【学习目标】了解三角形的角平分线、中线的概念并掌握其性质，会画出三角形的角平分线、中线.
【学习重难点】应用三角形的中线、三角形的角平分线解决相关的问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.把一条线段分成_____的两条线段的点叫做线段的中点。
2.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个_____的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
3.如图1，△ABC中：
顶点A的对边是_____，∠A的对边是_____．
顶点B的对边是_____，∠B的对边是_____．
顶点C的对边是_____,∠C的对边是_____．
二.探究新知
1.情境引入
如图2，△ABC是一张均匀的三角形卡片，你可以用铅笔把它支起来吗？
如何确定这个点的位置呢？这个点的位置和三角形的中线有密切关系.
2.知识点1 三角形中线的概念及性质
(1）概念：在三角形中,连接一个顶点与_______________,叫做三角形的中线；
(2）如图3.性质：∵AD是△ABC的中线,∴BD＝_____＝_____BC；
判定：∵BD＝_____（或BD=_____BC）∴AD是△ABC的中线；
(3）画一画：分别作出下列三角形三边上的中线
(4）结论：三角形的三条中线交于_____，这点称为三角形的重心.该点在三角形的____部.
3.知识点2 三角形角平分线的概念及性质
（1）概念：在三角形中,一个内角的角平分线与_______________,
这个角的顶点与交点之间的_____叫做三角形的角平分线；如图4.
注意：角平分线是条_____，三角形角平分线是条_____，如图4线段AD.
（2）性质：∵AD是△ABC的角平分线∴∠1＝_____＝_____∠BAC;
判定：∵∠1＝∠2（或∠1＝_____∠BAC）∴AD是△ABC的角平分线.
（3）画一画：分别作出下列三角形三边上的中线
(4）结论：三角形的三条角平分线交于_____,该点在三角形的_____部.
三.典例与练习
例1.如图5：在Rt△ABC中，∠A=90 ，∠C=40 ，BD是角平分线，则∠CBA=_____ ，∠ABD=_____ .
练习1.如图6，∠A=360，∠C=720，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数是_____0.
例2.如图7，在△ABC中,∠BAC=80°,BO、CO平分∠ABC、∠ACB，求∠BOC的度数。
练习2.如图8，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ADB=110 ，∠B=40 ，则∠C=_____°
例3.如图9,已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm,AD=4cm,△ABD的周长是12cm,则BC=_____.
练习3.如图10,在△ABC中，∠A＝62°，∠B=74°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且DE//BC，则∠EDC=____.
四.课堂小结
1.三角形的中线：
中线：在三角形中，连接一个顶点与对边中点的_____，叫做这个三角形的中线.
重心：一个三角形有三条中线，都在三角形内部且相交于_____，这一点称为三角形的_____.
2.三角形的角平分线：
角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的_____叫做三角形的角平分线.
3.两条重要结论：（1）如图11，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I,则∠BIC=__________.
（2）三角形一边上的中线把这个三角形分成两个面积_____的三角形.
五.分层过关
1.如图12，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD=DC，BE=EC D.DE是△BCD的中线
2.下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线，而中线是线段；B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线和中线都是线段； D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
3.如图13，△ABC中，AB＝AC，BE、CD是△ABC的中线，下列结论不正确的是（ ）
A.S△ADC=S△BDC B.S△ABE=S△CBE C.S△BDF=S△CEF D.S△ADE=S△BDC
4.如图14，AD是△ABC的角平分线，则( )
A．∠1==0.5∠BAC B．∠1=0.5∠ABC C．∠1=∠BAC D．∠1=∠ABC
5.如图15，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是_____cm．
6.如图16，△ABC的面积是56cm2，D是AB的中点，O是CD的中点，求图中阴影部分的面积．
7.如图17，已知∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动．BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，则∠ACB的大小是否变化 如果保持不变，请说明原因；如果随点A，B的移动而发生变化，求出变化范围．
图1
图2
图3
A
C
B
A
C
B
图4
A
C
B
A
C
B
图6
图7
图8
图5
图10
A
I
图12
图11
C
B
图9
图9
图15
图14
图13
图16
图17
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(总课时31)§4.1认识三角形（3）
一.选择题：
1.如图1,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC交BC于D,DE∥AB交AC于E,则∠ADE的大小是( B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图2，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10cm2，则△ABD的面积是（ A ）cm2．
A.5 B.6 C.7 D.8
3.三角形的角平分线是(B)
A.射线 B.线段 C.直线 D.以上都有可能
4.如图3,在△ABC中,∠A=56°,BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC=( D )
A.102° B.112° C.115° D.118°
5.如图4，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（ D ）
A．1cm2 B． 2cm2 C． 8cm2 D． 16cm2
二.填空题：
6.如图5，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，且△ABD的周长为11，则的周长是9．
7.如图6,已知在△ABC中,AE平分∠BAC,过AE延长线上一点F作FD⊥BC于D,若∠F=6°,∠C=30°,则
∠B=42 .
8.如图7,如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△ABN的角平分线，AN为△AMC的角平分线.
9.如图8，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1BlC1的面积是14，那么△ABC的面积是2
10.如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BIC=120°；（2）若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BIC=120°；
（3）若∠A=60°，则∠BIC=120°；（4）若∠A=100°，则∠BIC=140°；
（5）若∠A=n°，则∠BIC=90°+n°．
三.解答题：
11.如图10，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）则∠BAE＝40°；
（2）求∠DAE的度数．
解：（2）∵AD⊥BC，，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝20°．
12.如图11，如图,AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN.
解析：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
∵PM∥AC，PN∥AB∴∠APM＝∠PAN，∠APN＝∠PAM，
∴∠APM＝∠APN，∴PA平分∠MPN．
13.如图12,AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:
(1)DO是∠EDF的平分线吗 给出结论并说明理由.
(2)假设：①DO是∠EDF的平分线，②AD是∠CAB的平分线,③DE∥AB,④DF∥AC；若将①与②③④中的任一条件交换,所得结论正确吗 若正确,请选择一个说明理由.
解：（1）DO是∠EDF的平分线．理由如下：
∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD=∠FAD．
∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD，∴∠EDA=∠FDA，∴DO是∠EDF的平分线．
（2）正确．若将①和③DE∥AB交换．
理由：∵DF∥AC，∴∠FDA=∠EAD．∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD=∠FAD，∴∠FAD=∠FDA．
又∵DO是∠EDF的平分线，∴∠EDA=∠FDA．∴∠EDA=∠FAD，∴DE∥AB．
（答案不唯一）
14.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．
解：∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，∴AB＝2AD＝2CD，∴AB＋AD＝3AD.
①当AB与AD的和是12厘米时，AD＝12÷3＝4（厘米），
所以AB＝AC＝2×4＝8（厘米），BC＝12＋15－8×2＝12＋15－16＝11（厘米）；
②当AB与AD的和是15厘米时，AD＝15÷3＝5（厘米），
所以AB＝AC＝2×5＝10（厘米），BC＝12＋15－10×2＝12＋15－20＝7（厘米）.
所以三角形的三边可能是8厘米，8厘米，11厘米或10厘米，10厘米，7厘米．
图1
图4
图3
图2
图5
图7
图9
图8
图6
图10
图11
图12
图13
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(总课时31)§4.1认识三角形（3）
【学习目标】了解三角形的角平分线、中线的概念并掌握其性质，会画出三角形的角平分线、中线.
【学习重难点】应用三角形的中线、三角形的角平分线解决相关的问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的中点。
2.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
3.如图1，△ABC中：
顶点A的对边是BC，∠A的对边是BC．
顶点B的对边是AC，∠B的对边是AC．
顶点C的对边是AB,∠C的对边是AB．
二.探究新知
1.情境引入
如图2，△ABC是一张均匀的三角形卡片，你可以用铅笔把它支起来吗？
如何确定这个点的位置呢？这个点的位置和三角形的中线有密切关系.
2.知识点1 三角形中线的概念及性质
(1）概念：在三角形中,连接一个顶点与它所对边中点的线段,叫做三角形的中线；
(2）如图3.性质：∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD＝0.5BC；
判定：∵BD＝CD（或BD=0.5BC）∴AD是△ABC的中线；
(3）画一画：分别作出下列三角形三边上的中线
(4）结论：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.该点在三角形的内部.
3.知识点2 三角形角平分线的概念及性质
（1）概念：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；如图4.
注意：角平分线是条射线，三角形角平分线是条线段，如图4线段AD.
（2）性质：∵AD是△ABC的角平分线∴∠1＝∠2＝0.5∠BAC;
判定：∵∠1＝∠2（或∠1＝0.5∠BAC）∴AD是△ABC的角平分线.
（3）画一画：分别作出下列三角形三边上的中线
(4）结论：三角形的三条角平分线交于一点,该点在三角形的内部.
三.典例与练习
例1.如图5：在Rt△ABC中，∠A=90 ，∠C=40 ，BD是角平分线，则∠CBA=50 ，∠ABD=25 .
练习1.如图6，∠A=360，∠C=720，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数是360.
例2.如图7，在△ABC中,∠BAC=80°,BO、CO平分∠ABC、∠ACB，求∠BOC的度数。
解：∵∠A=80°（已知），∴∠ABC+∠ACB=100°（三角形内角和定理），
又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC+∠OCB=0.5(∠ABC+∠ACB)=50°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=130°；
练习2.如图8，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ADB=110 ，∠B=40 ，则∠C=80°
例3.如图9,已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm,AD=4cm,△ABD的周长是12cm,则BC=6cm.
练习3.如图10,在△ABC中，∠A＝62°，∠B=74°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且DE//BC，则∠EDC=22°.
四.课堂小结
1.三角形的中线：
中线：在三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
重心：一个三角形有三条中线，都在三角形内部且相交于一点，这一点称为三角形的重心.
2.三角形的角平分线：
角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
3.两条重要结论：（1）如图11，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I,则∠BIC=90°+0.5∠A.
（2）三角形一边上的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形.
五.分层过关
1.如图12，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是 A
A．DE是△ABC的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD=DC，BE=EC D.DE是△BCD的中线
2.下列说法正确的是（ C）
A．三角形的角平分线是射线，而中线是线段；B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线和中线都是线段； D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
3.如图13，△ABC中，AB＝AC，BE、CD是△ABC的中线，下列结论不正确的是（ D ）
A.S△ADC=S△BDC B.S△ABE=S△CBE C.S△BDF=S△CEF D.S△ADE=S△BDC
4.如图14，AD是△ABC的角平分线，则( A )
A．∠1==0.5∠BAC B．∠1=0.5∠ABC C．∠1=∠BAC D．∠1=∠ABC
5.如图15，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是6_cm．
6.如图16，△ABC的面积是56cm2，D是AB的中点，O是CD的中点，求图中阴影部分的面积．
解：∵ABC的面积是56cm2，D是AB的中点，
∴CD是ABC的中线
∴=28 cm2，
∵O是CD的中点，∴BO为BCD的中线∴S阴影==14cm2
7.如图17，已知∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动．BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，则∠ACB的大小是否变化 如果保持不变，请说明原因；如果随点A，B的移动而发生变化，求出变化范围．
解：作∠ABO的平分线交AC于点D，
则∠BDA＝90°+∠OAB＝135°，∴∠BDC=45°
由BD，BE分别是∠OBA和∠YBA的平分线，
可知BD⊥CB，∴∠DCB＝∠BDC＝45°．
可见∠ACB的大小始终为45°．
图1
图2
图3
A
C
B
A
C
B
图4
A
C
B
A
C
B
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A
I
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图11
C
B
图9
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图17
D
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