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(总课时34)§4.3 探索三角形全等的条件（1）
【学习目标】掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.
【学习重难点】利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等.
【导学过程】
一.知识回顾
1.全等三角形的对应角、对应边、对应高、对应中线、对应角平分线相等.
2.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．
图1中相等的边是：AB=DE，BC=EF，AC=DF．
相等的角是：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
二.探究新知
（一）探究三角形全等条件1：根据给定的条件，你画的三角形与同伴画的三角形全等吗？
1.给一个条件：
①只给定一条边画三角形（如图2）：
②只给定一个角画三角形（如图3）：
2.给两个条件：
①给定一边一内角画三角形（如图4）：
②给定两内角画三角形（如图5）：
③给定两边画三角形（如图6）：．
3.给三个条件：
有四种情况：三个角，三条边，两边一角，两角一边
①已知三角形的三个角分别为40°、60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画出的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：三个内角分别相等的两个三角形不一定全等。
②已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？
注：作图方法：先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到所求作的三角形ABC.
结论：三边对应相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.
书写格式:
（二）三角形具有稳定性
由上面讨论可知：只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,这个性质叫做三角形的稳定性.
而四边形不具有稳定性,要想加固四边形木栅门,你会在木栅门框上斜钉一根木条.
三.典例与练习
例1.如图，AB=AC，BD=DC，求证：△ABD≌△ACD.
证明：在△ABD和△ACD中∵
∴ △ABD≌△ACD（SSS）
练习1.如图9,CD=AB,CE=DF,AE=BF,那么AE∥BF吗？说明你的理由.
解：AE∥BF,理由：
∵CD=AB（已知）∴AB+BC=CD+BC（等式性质）即AC=BD
在△ACE与△BDF中,
∵
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠EAC=∠FBD（全等三角形对应角相等）∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）
例2.如图10，AD=CB，AB=CD，求证：∠B=∠D.
证明：在△ABC与△CDA中,
∵ ∴△ABC≌△CDA，∴∠B=∠D.
练习2.已知：如图11，AB=AC,BD=CD,试说明∠B=∠C.
解：连接AD，
可证：△ABD≌△ACD(SSS）
∴∠B=∠C.
四.课堂小结
1.只给出一个条件或两个条件时,都不能保证两个三角形全等；
2.三个内角对应相等的两个三角形不一定全等；
3.边边边公理:三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”；
4.三角形具有稳定性.
五.分层过关
1.如图12，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（A）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2.如图13，已知AB＝DC，需添加下列（ C ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝DO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO
3.如图14，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（ A ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
4.如图15,已知AB=CD,AD=BC,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中有3对全等三角形.
5.如图16,AB=DE,AC=DF,BF=CE.
(1)若BC=18cm,则FE=18 cm;(2)若∠B=50°,∠D=80°,则∠DFE的度数是50°.
6.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC.
(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么
解：(1)连接OE，如图所示，
在△AOE和△COE中,∴△AOE≌△COE(SSS)，
∴∠A=∠C．
(2)作辅助线的意图是构造全等三角形．
7.已知：如图18，AB=DC，AD=CB，在DA、BC的延长线上各任取一点E，F，连接EF．
求证：（1）AB∥CD．（2）∠E=∠F．
证明：（1）连接BD，
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB(SSS），∴∠3=∠4，∴AB∥CD；
（2）证明：∵△ABD≌△CDB，∴∠1=∠2，
∴AD∥BC，∴∠E=∠F．
图1
结论：
不一定全等
图3
A
B
图2
A
3cm
30°
图4
30°
50°
图5
50°
结论：
不一定全等
图6
图7
如图7，在△ABC和△DEF中：∵
∴△ABC≌△DEF
图8
CD
BD
图9
已知
已知
AB=CD
CB=AD
AC=CA
图10
D
A
B
C
图11
图12
图16
图14
图13
图15
图17
图18
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(总课时34)§4.3 探索三角形全等的条件（1）
【学习目标】掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.
【学习重难点】利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等.
【导学过程】
一.知识回顾
1.全等三角形的_______________________________________________相等.
2.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．
图1中相等的边是：AB=____，BC=____，AC=____．
相等的角是：∠A=____，∠B=____，∠C=____．
二.探究新知
（一）探究三角形全等条件1：根据给定的条件，你画的三角形与同伴画的三角形全等吗？
1.给一个条件：
①只给定一条边画三角形（如图2）：
②只给定一个角画三角形（如图3）：
2.给两个条件：
①给定一边一内角画三角形（如图4）：
②给定两内角画三角形（如图5）：
③给定两边画三角形（如图6）：．
3.给三个条件：
有四种情况：三个角，三条边，两边一角，两角一边
①已知三角形的三个角分别为40°、60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画出的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：三个内角分别相等的两个三角形________全等。
②已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？
注：作图方法：先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到所求作的三角形ABC.
结论：三边对应相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.
书写格式:
（二）三角形具有稳定性
由上面讨论可知：只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的____和____就完全确定了,这个性质叫做三角形的稳定性.
而四边形不具有稳定性,要想加固四边形木栅门,你会____________________________.
三.典例与练习
例1.如图，AB=AC，BD=DC，求证：△ABD≌△ACD.
证明：在△ABD和△ACD中∵
∴ △ABD____△ACD（________）
练习1.如图9,CD=AB,CE=DF,AE=BF,那么AE∥BF吗？说明你的理由.
解：AE∥BF,理由：
∵CD=AB（____）∴AB+____=CD+____（等式性质）即AC=____
在△ACE与△BDF中,
∵
∴△ACE____△BDF（____）
∴∠EAC=∠FBD（____________________）∴AE∥BF（________________________）
例2.如图10，AD=CB，AB=CD，求证：∠B=∠D.
练习2.已知：如图11，AB=AC,BD=CD,试说明∠B=∠C.
四.课堂小结
1.只给出一个条件或两个条件时,都不能保证两个三角形全等；
2.三个内角对应相等的两个三角形不一定全等；
3.边边边公理:三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”；
4.三角形具有稳定性.
五.分层过关
1.如图12，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
2.如图13，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝DO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO
3.如图14，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
4.如图15,已知AB=CD,AD=BC,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中有____对全等三角形.
5.如图16,AB=DE,AC=DF,BF=CE.
(1)若BC=18cm,则FE=________;(2)若∠B=50°,∠D=80°,则∠DFE的度数是________.
6.如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC.
(1)试说明:∠A=∠C;
(2)在(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么
7.已知：如图18，AB=DC，AD=CB，在DA、BC的延长线上各任取一点E，F，连接EF．
求证：（1）AB∥CD．（2）∠E=∠F．
图1
结论：
__________
图3
A
B
图2
A
3cm
30°
图4
30°
50°
图5
50°
结论：
__________
图6
图7
如图7，在△ABC和△DEF中：∵
∴△ABC≌△DEF
图8
图9
图10
D
A
B
C
图11
图12
图16
图14
图13
图15
图17
图18
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(总课时34)§4.3 探索三角形全等的条件（1）
一.选择题：
1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( C )
2.如图1,AB=AC,BD=CD,则可推出( B )
A.△BAD≌△BCD B.△ABD≌△ACD C.△ACD≌△BCD D.△ACE≌△BDE
3.如图2,AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2=110°,∠BAE=60°,则下列结论错误的是( C )
A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE C.∠ACE=30° D.∠1=70°
4.如图3,在四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AC,AE,若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有(D)
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
5.如图4,已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论:
①∠C=∠B;②∠D=∠E;③∠EAD=∠BAC;④∠B=∠E.其中错误的是( D )
A.①② B.②③ C.③④ D.只有④
二.填空题：
6.如图5，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于0.5CD长为半径画孤，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是：SSS；
7.请完善下面说明三角形全等的推理过程：
如图6，在△ABC和△ADC中，∵AB=AD (已知)BC=DC (已知)
AC=AC（公共边）∴△ABC≌△ADC（SSS）
8.工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图7中钉上两条
斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．
9.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图8,已知∠AOB是任意一个角,
在边OA,OB上分别截取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,
过角尺顶点P作射线OP,则OP是∠AOB的平分线,其理由是SSS.
三.解答题：
10.如图9，已知AB⊥AC，AB=AC，AD=AE，BD=CE，试猜想AD与AE的位置关系并说明理由．
解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，
在△ABD和△ACE中
，∴△ABD≌△ACE（SSS），∴∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即∠DAE=∠BAC=90°，
∴AD⊥AE.
11.如图10,AB=AC,AD=AE,BD=CE,试说明:∠BAD=∠CAE.
解：在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SSS)，
∴∠BAD=∠CAE(全等三角形的对应角相等)
12如图11,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.
解:AC⊥BC.理由如下:因为CE=BF,AE=EF+BF,CF=CE+EF,
所以AE=CF.
在△ACE和△CBF中,所以△ACE≌△CBF(SSS).
所以∠CAE=∠BCF.
在Rt△ACE中,因为∠CAE+∠ACE=90°,
所以∠ACE+∠BCF=90°.所以∠ACB=90°.所以AC⊥BC.
13.如图12，已知AD＝BE，BC＝EF，AC＝DF.求证：(1)BC∥EF；(2)∠C＝∠BOD.
证明：(1)∵AD=BE,∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE,
∵AB=DE，AC=DF，BC=EF,∴△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠E,∴BC∥EF
(2) ∵BC∥EF,∴∠DOB=∠F,
∵∠C=∠F,∴∠DOB=∠C
图1
图3
图2
图4
图5
图7
图6
图8
图9
图10
图11
图12
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一.选择题：
1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( )
2.如图1,AB=AC,BD=CD,则可推出( )
A.△BAD≌△BCD B.△ABD≌△ACD C.△ACD≌△BCD D.△ACE≌△BDE
3.如图2,AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2=110°,∠BAE=60°,则下列结论错误的是( )
A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE C.∠ACE=30° D.∠1=70°
4.如图3,在四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AC,AE,若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有( ) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
5.如图4,已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论:
①∠C=∠B;②∠D=∠E;③∠EAD=∠BAC;④∠B=∠E.其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.只有④
二.填空题：
6.如图5，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于0.5CD长为半径画孤，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是：____；
7.请完善下面说明三角形全等的推理过程：
如图6，在△ABC和________中，∵AB=AD (已知)____=DC (已知)
AC=____________∴△ABC≌________（SSS）
8.工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图7中钉上两条
斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的________性．
9.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图8,已知∠AOB是任意一个角,
在边OA,OB上分别截取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,
过角尺顶点P作射线OP,则OP是∠AOB的平分线,其理由是________.
三.解答题：
10.如图9，已知AB⊥AC，AB=AC，AD=AE，BD=CE，试猜想AD与AE的位置关系并说明理由．
11.如图10,AB=AC,AD=AE,BD=CE,试说明:∠BAD=∠CAE.
12如图11,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.
13.如图12，已知AD＝BE，BC＝EF，AC＝DF.求证：(1)BC∥EF；(2)∠C＝∠BOD.
图1
图3
图2
图4
图5
图7
图6
图8
图9
图10
图11
图12
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