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(总课时35)§4.3 探索三角形全等的条件（2）
一.选择题：
1.根据图中所给条件,能够判定哪两个三角形全等 ( D )
A. ①和② B. ②和④ C. ①和③ D. ③和④
2.如图1,∠1=∠2,∠3=∠4,OE=OF,则图中全等的三角形有( B )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
3.如图2,AB∥CD,且AB=CD,则△ABE≌△CDE的根据是( D )
A. 只能用ASA B. 只能用SSS C. 只能用AAS D. 用ASA或AAS
4.如图3，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图4，点A在DE上，AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（C）
A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
二.填空题：
6.把下面推理过程补充完整，在括号内注明理由：
已知：如图5，BC//EF，AB=DE，∠C=∠F，试说明BC=EF；
解：∵BC//EF（已知）∴∠ABC=∠E（两直线平行，同位角相等）
在△ABC与△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（AAS）∴BC=EF（全等三角形对应边相等）
7.如图6，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中，能使△ABC≌△BAD
的有①②（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③∠DAC=∠CBD．
三.解答题：
8.如图7，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC．
解：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，AB＝AD，
∴△ABC≌△ADE（AAS），∴AE=AC．
9.如图8，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB//DE，若∠1=80°，求∠BFD的度数；
解：∵∠A=∠D，∴∠B=∠E,∵BF=EC，∴BF-CF=EC-CF,即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS），∴∠1＝∠EFD，
又∵∠1＝80°，∴∠EFD＝80°，又∵∠EFD+∠BFD＝180°，∴∠BFD＝100°.
10.如图9，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
(1)MN=AM+BN成立吗？为什么？
(2)若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
解：（1）MN=AM+BN成立；理由：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠MAC＋∠ACM＝90°，∠NCB＋∠ACM＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，在△AMC和△CNB中，，
∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM＝CN，MC＝BN，∵MN＝CN＋MC，∴MN＝AM＋BN；
（2）MN＝BN AM．理由：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠MAC＋∠ACM＝90°，∠NCB＋∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，
在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM＝CN，MC＝BN，∵MN＝MC CN，∴MN＝BN AM．
图4
图3
图1
图2
图5
图6
图7
图8
图9
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(总课时35)§4.3 探索三角形全等的条件（2）
【学习目标】掌握三角形全等的“角边角（ASA）、角角边（AAS）”条件.
【学习重难点】应用“角边角”,“角角边”判定三角形全等.
【导学过程】
一.情境引入
有一块三角形纸片撕去了一个角,想要剪一块新的,如果你手头没有测量
的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗
二.探究新知
（一）探究三角形全等条件2：
做一做：给定“两角及其夹边”画三角形你画的三角形与同伴画的三角形全等吗？
结论：_____________分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
书写格式:如图1
在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF（ASA）
（二）探究三角形全等条件3：
做一做：给定“两角及其一角的对边”画三角形你画的三角形与同伴画的三角形全等吗？
若三角形的两个内角分别是60°和80°，且80°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
由三角形内角和定理知：第三个角是40°，则可转化为60°、40°夹2cm的边，即为“角边角”.
结论：__________相等且其中一组等角的_____相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
书写格式:如图2,
在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF（ASA）
三.典例与练习
例1.如图3，AB与CD相交与点O，O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？
解：全等.理由如下：
在△AOC和△BOD中，∵
∴△AOC≌△BOD（_____）
练习1.如图4，AC=DF，AC∥DF，BC∥EF，证明：△ABC≌△DEF．
证明：∵AC∥DF，BC∥EF，（已知）
∴∠A=_____，∠E=_____(_________________________）
在△ABC与△DEF中，
例2.如图5，已知，，，求证：．
练习2.如图6，已知ΔABC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，CG=AB，∠CAG=∠F，请你判断AG与AF有何种关系，说明理由.
四.课堂小结
1._______________对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.
2.____________________对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
3.探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
4.数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
五.分层过关
1.在△ABC和△EMN中,已知∠A=50°,∠B=60°,∠E=70°,∠M=60°,AC=EN,则这两个三角形( )
A.一定全等 B.一定不全等 C.不一定全等 D.以上都不对
2.如图7，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）
A．∠E＝∠B B．ED＝BC C．AB＝EF D．AF＝CD
3.如图8，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一个条件可使△ABC≌△DBE，则这个条件不可能是（ ）
A.AE＝EC B.∠D＝∠A C.BE＝BC D.∠1＝∠DEA
4.如图9,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E点,AD⊥CE于D点,AD=2.5cm,DE=1.7cm,则BE的长为_____
5.如图10,小明不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片,现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃,正确的办法是带第_____块去配,依据是定理_____(可以用字母简写).
6.如图11,在△ABC中,∠C=90°,CB=4,延长CB至点D,使BD=AC,作∠BDE=90°,∠DBE=∠A,则DE的长为_____.
7.如图12,AB∥CD,E是CD上的一点,BE交AD于点F,EF=BF.试说明:AF=DF.
8.如图13，已知E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.
图1
2cm
40°
∠A=∠D，
∠B=∠E，
BC=EF，
图2
图3
∠A=_____，(已知）
AO=_____，（__________）
∠AOC=_____，（__________）
图4
∠____=∠_____，(_____）
∠____=∠__，(_____） ∴△ABC≌△DEF（_____）
_____=_____， (_____）
图5
图6
图8
图9
图7
图11
图10
图12
图13
图1
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一.选择题：
1.根据图中所给条件,能够判定哪两个三角形全等 ( )
A. ①和② B. ②和④ C. ①和③ D. ③和④
2.如图1,∠1=∠2,∠3=∠4,OE=OF,则图中全等的三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
3.如图2,AB∥CD,且AB=CD,则△ABE≌△CDE的根据是( )
A. 只能用ASA B. 只能用SSS C. 只能用AAS D. 用ASA或AAS
4.如图3，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图4，点A在DE上，AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于（ ）
A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
二.填空题：
6.把下面推理过程补充完整，在括号内注明理由：
已知：如图5，BC//EF，AB=DE，∠C=∠F，试说明BC=EF；
解：∵BC//EF（已知）∴∠ABC=∠__（_______________________）
在△ABC与△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（_____）∴BC=EF（____________________）
7.如图6，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中，能使△ABC≌△BAD
的有_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③∠DAC=∠CBD．
三.解答题：
8.如图7，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC．
9.如图8，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB//DE，若∠1=80°，求∠BFD的度数；
10.如图9，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
(1)MN=AM+BN成立吗？为什么？
(2)若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
图4
图3
图1
图2
图5
图6
图7
图8
图9
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(总课时35)§4.3 探索三角形全等的条件（2）
【学习目标】掌握三角形全等的“角边角（ASA）、角角边（AAS）”条件.
【学习重难点】应用“角边角”,“角角边”判定三角形全等.
【导学过程】
一.情境引入
有一块三角形纸片撕去了一个角,想要剪一块新的,如果你手头没有测量
的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗
二.探究新知
（一）探究三角形全等条件2：
做一做：给定“两角及其夹边”画三角形你画的三角形与同伴画的三角形全等吗？
结论：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
书写格式:如图1
在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF（ASA）
（二）探究三角形全等条件3：
做一做：给定“两角及其一角的对边”画三角形你画的三角形与同伴画的三角形全等吗？
若三角形的两个内角分别是60°和80°，且80°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
由三角形内角和定理知：第三个角是40°，则可转化为60°、40°夹2cm的边，即为“角边角”.
结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
书写格式:如图2,
在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF（ASA）
三.典例与练习
例1.如图3，AB与CD相交与点O，O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？
解：全等.理由如下：
在△AOC和△BOD中，∵
∴△AOC≌△BOD（ASA）
练习1.如图4，AC=DF，AC∥DF，BC∥EF，证明：△ABC≌△DEF．
证明：∵AC∥DF，BC∥EF，（已知）
∴∠A=∠FDE，∠E=∠CBA(两直线平行，同位角相等）
在△ABC与△DEF中，
例2.如图5，已知，，，求证：．
证明：，，，
在和中，，
．
练习2.如图6，已知ΔABC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，CG=AB，∠CAG=∠F，请你判断AG与AF有何种关系，说明理由.
解：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴BD⊥AC,CE⊥AB
易得：∠ABF=∠GCA
在△ABF和△GCA中：
∴AG=AF,且AG⊥AF
四.课堂小结
1.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”.
2.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
3.探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
4.数学思想：要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
五.分层过关
1.在△ABC和△EMN中,已知∠A=50°,∠B=60°,∠E=70°,∠M=60°,AC=EN,则这两个三角形( A )
A.一定全等 B.一定不全等 C.不一定全等 D.以上都不对
2.如图7，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ D ）
A．∠E＝∠B B．ED＝BC C．AB＝EF D．AF＝CD
3.如图8，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一个条件可使△ABC≌△DBE，则这个条件不可能是（ C ）
A.AE＝EC B.∠D＝∠A C.BE＝BC D.∠1＝∠DEA
4.如图9,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E点,AD⊥CE于D点,AD=2.5cm,DE=1.7cm,则BE的长为0.8cm
5.如图10,小明不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片,现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃,正确的办法是带第③块去配,依据是定理ASA(可以用字母简写).
6.如图11,在△ABC中,∠C=90°,CB=4,延长CB至点D,使BD=AC,作∠BDE=90°,∠DBE=∠A,则DE的长为4.
7.如图12,AB∥CD,E是CD上的一点,BE交AD于点F,EF=BF.试说明:AF=DF.
证明：∵AB∥CD,∴∠B=∠DEF,
在△AFB和△DFE中,
∵∴△AFB≌△DFE.∴AF=DF．
8.如图13，已知E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.
证明：∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SSS）∴∠B＝∠D，
在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO（AAS）
∴AO＝OC，BO＝DO，AC与BD互相平分.
图1
2cm
40°
∠A=∠D，
∠B=∠E，
BC=EF，
图2
图3
∠A=∠B，(已知）
AO=BO，（O是AB中点）
∠AOC=∠BOD，（对顶角相等）
图4
∠A=∠FDE，(已证）
∠CBA=∠E，(已证） ∴△ABC≌△DEF（AAS）
AC=DF， (已知）
图5
图6
∠F=∠CAG，(已知）
AB=CG，(已知） ∴△ABF≌△GCA(AAS)
∠ABF=∠GCA， (已证）
图8
图9
图7
图11
图10
图12
图13
图1
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