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(总课时36)§4.3 探索三角形全等的条件（3）
【学习目标】掌握三角形全等的“边角边（SAS）”条件.
【学习重难点】应用“边角边”判定三角形全等.
【导学过程】
一.情境引入
判断三角形全等的方法有几种,分别用语言加以描述.
1.边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等.
2.角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
3.角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
二.探究新知
探究(一)：两边及夹角
1.画一画：三角形的两条边分别为3cm、2.2cm.它们的夹角为40°，
你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？
2.结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
书写格式:如图1,在△ABC和△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（SAS）.
探究（二）：两边及其中一边的对角
1.画一画：三角形的两条边分别为3cm、2.2cm.其中一边的对角为40°，
你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？
2.结论：两边及其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，
因此可知：“两边及一角”中的两种情况中只有一种能判定三角形全等，即：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
三.典例与练习
例1.如图2,AB∥CD,AB=CD,那么AD∥BC吗？说明你的理由.
解：AD∥BC,理由：∵AB∥CD（已知）∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）
在△ABC与△CDA中,
∵ ∴△ABC≌△CDA (SAS)
∴∠BCA=∠DAC (全等三角形对应角相等)∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行)
练习1.如图3,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( B )
A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA
例2.如图4,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,那么∠B=∠D吗？请说明理由.
解：∠B=∠D.理由：
∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,即：∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中
AB=AD,∠BAC=∠DAE，AC=AE,∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠B=∠D.
练习2.已知：如图5，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．则：BD=CE．
例3.如图6，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线.
那么BD与CD相等吗？为什么？
解：相等.理由：∵AD是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD，
在△ABD≌△ACD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴BD＝CD.
练习3.小明做了一个如图7的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=，EH=b，
则四边形风筝的周长是2a+2b．
四.课堂小结
1.判定两个三角形全等的思路:(1)至少应找出一组对应边相等.
(2)根据已知条件寻找合适的判定方法:
①已知两边想到用SAS或SSS;②已知一角一边想到用SAS或ASA或AAS;③已知两角想到用ASA或AAS.
2.一条重要的反例：两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等（简称：边边角）.
五.分层过关
1.如图1，由∠1＝∠2，BC＝DC、AC＝EC，最后推出△ABC≌△EDC的根据是（ B ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2.如图2，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠C＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（ C ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图3，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，通过SAS的证明方法，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，则需添加的条件是BC=FE．
4.如图4,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠OAD等于95度.
5.如图5，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=55°．
6.如图6,在△ABC和△CED中,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.试说明:∠B=∠E.
解：∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD,
在△ABC和△CED中,
∴△ABC≌△CED(SAS),
∴∠B=∠E.
7.如图7，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，那么△BCE与△BDE全等吗？请说明理由．
解：△BCE≌△BDE，理由如下：
在△ACB与△ADB中，∴△ACB≌△ADB
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
在△BCE与△BDE中，，△BCE≌△BDE
8.如图8，A、B、C三点在同一条直线上，△ABD、△BCE为等边三角形，（等边三角形的三边相等，三个内角都是60°）．你能发现图中有几对三角形全等，请任选一对证明；
解（1）△ABE≌△DBC，△DBN≌△ABM，△EMB≌△CNB三对；
，，，
，
在和中，，，
3cm
2.2cm
A
B
O9
M
N
3cm
2.2cm
A
B1
O9
M
N
B2
图1
2.2cm
公用边
已证
已知
图3
图4
图5
图6
图7
图4
图1
图3
图2
图5
图6
图7
图8
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(总课时36)§4.3 探索三角形全等的条件（3）
一.选择题：
1.如图1，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ B ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2.如图2，已知AB=AD给出下列条件：（1）CB=CD （2）∠BAC=∠DAC （3）∠BCA=∠DCA （4）∠B=∠D，若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.如图3,AA',BB'是两根长度相同的木条,O是AA',BB'的中点,若AB=9cm,则容器的内径A'B'为( B )
A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm
4.如图4，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二.填空题：
5.如图5，若AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，则△ABC≌△ADC，全等的依据是SAS；
6.如图6，已知BD=CD，∠1=∠2；则△ABD≌△ACD，理由是：
BD=CD（已知）∠1=∠2（已知）AD=AD（公共边）则△ABD≌△ACD（SAS）
7.如图7，已知AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，则AB=CD；请说明理由.
解：在△AOB和△COD中，AO=CO，∠AOB=∠COD，（对顶角相等），BO=DO，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）
8.如图8，下列条件能保证△ABC≌△ADC的是：①AB=AD，BC=DC；②∠1=∠3，∠4=∠2；③∠1=∠2，
∠4=∠3；④∠1=∠2，AB=AD；⑤∠1=∠2，BC=DC．①③④
三.解答题：
9.如图9，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
解：在△ADB和△BCA中，
AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA
∴△ADB≌△BAC（SAS）
∴AC=BD．
10.如图10，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC。
（1）求证：△AOC≌△AOE；
（2）求证：OE∥BC。
解：（1）∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠EAO．
在△ACO和△AEO中：
，∴△AOC≌△AOE．
（2）∵△AOC≌△AOE，∴∠ACO=∠AEO，∵CD⊥AB于点D，∴∠ODE=∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，∴∠DCB=∠DOE，∴OE∥BC.
11.如图11，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由.
解：AQ与AP的关系是：相等且互相垂直，理由如下：
∵BE、CF是△ABC的高，∴∠BFP=∠CEP=90°，∴∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，
又∵∠BPF=∠CPE，∴∠ABP=∠ACP，
在△ACQ和△PBA中：
，∴△ACQ≌△PBA（SAS），∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，
∵∠PAF+∠APF=90°，∴∠APF+∠Q=90°，∴AP⊥AQ，即：AQ与AP的关系是相等且互相垂直.
图3
图4
图2
图1
图6
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图7
图8
图9
图10
图11
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(总课时36)§4.3 探索三角形全等的条件（3）
【学习目标】掌握三角形全等的“边角边（SAS）”条件.
【学习重难点】应用“边角边”判定三角形全等.
【导学过程】
一.情境引入
判断三角形全等的方法有几种,分别用语言加以描述.
1.边边边（SSS）：____________的两个三角形全等.
2.角边角（ASA）：____________________的两个三角形全等.
3.角角边（AAS）：________________________________的两个三角形全等.
二.探究新知
探究(一)：两边及夹角
1.画一画：三角形的两条边分别为3cm、2.2cm.它们的夹角为40°，
你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？
2.结论：____________________的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
书写格式:如图1,在△ABC和△DEF中，
∵∴△ABC≌△DEF（SAS）.
探究（二）：两边及其中一边的对角
1.画一画：三角形的两条边分别为3cm、2.2cm.其中一边的对角为40°，
你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？
2.结论：____________________________的两个三角形不一定全等，
因此可知：“两边及一角”中的两种情况中只有一种能判定三角形全等，即：
________________________的两个三角形全等
三.典例与练习
例1.如图2,AB∥CD,AB=CD,那么AD∥BC吗？说明你的理由.
解：AD∥BC,理由：∵AB∥CD（已知）∴∠BAC=∠DCA（________________________）
在△ABC与△CDA中,
∵ ∴△ABC≌△CDA (____)
∴∠BCA=∠DAC (________________________)∴ AD∥BC(________________________)
练习1.如图3,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA
例2.如图4,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,那么∠B=∠D吗？请说明理由.
练习2.已知：如图5，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．则：BD=____．
例3.如图6，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线.
那么BD与CD相等吗？为什么？
练习3.小明做了一个如图7的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=，EH=b，
则四边形风筝的周长是_______．
四.课堂小结
1.判定两个三角形全等的思路:(1)至少应找出一组对应边相等.
(2)根据已知条件寻找合适的判定方法:①已知两边想到用____或____;
②已知一角一边想到用____或____或____;③已知两角想到用____或____.
2.一条重要的反例：_________________________对应相等的两个三角形_______全等（简称：边边角）.
五.分层过关
1.如图1，由∠1＝∠2，BC＝DC、AC＝EC，最后推出△ABC≌△EDC的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2.如图2，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠C＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（ C ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图3，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，通过SAS的证明方法，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，则需添加的条件是________．
4.如图4,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠OAD等于____度.
5.如图5，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=________．
6.如图6,在△ABC和△CED中,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.试说明:∠B=∠E.
7.如图7，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，那么△BCE与△BDE全等吗？请说明理由．
8.如图8，A、B、C三点在同一条直线上，△ABD、△BCE为等边三角形，（等边三角形的三边相等，三个内角都是60°）．你能发现图中有几对三角形全等，请任选一对证明；
3cm
2.2cm
A
B
O9
M
N
图1
M
N
O9
图3
图4
图5
图6
图7
图5
图4
图1
图3
图2
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(总课时36)§4.3 探索三角形全等的条件（3）
一.选择题：
1.如图1，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2.如图2，已知AB=AD给出下列条件：（1）CB=CD （2）∠BAC=∠DAC （3）∠BCA=∠DCA （4）∠B=∠D，若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.如图3,AA',BB'是两根长度相同的木条,O是AA',BB'的中点,若AB=9cm,则容器的内径A'B'为( )
A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm
4.如图4，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二.填空题：
5.如图5，若AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，则△ABC≌△ADC，全等的依据是____；
6.如图6，已知BD=CD，∠1=∠2；则△ABD≌△ACD，理由是：
________（已知）________（已知）________（公共边）则△ABD≌△ACD（____）
7.如图7，已知AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，则AB=CD；请说明理由.
解：在△AOB和△COD中，AO=CO，________，（对顶角相等），BO=DO，∴△AOB≌△COD（____）∴AB=DC（____________________________）
8.如图8，下列条件能保证△ABC≌△ADC的是：①AB=AD，BC=DC；②∠1=∠3，∠4=∠2；③∠1=∠2，
∠4=∠3；④∠1=∠2，AB=AD；⑤∠1=∠2，BC=DC．________.
三.解答题：
9.如图9，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
10.如图10，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC。
（1）求证：△AOC≌△AOE；
（2）求证：OE∥BC。
11.如图11，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由.
图3
图4
图2
图1
图6
图5
图7
图8
图9
图10
图11
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