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(总课时38)§4.5利用三角形全等测距离
【学习目标】会利用三角形全等解决实际问题，会构建全等三角形，体会转化思想.
【学习重难点】学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”.
【导学过程】
一.知识回顾
1.判定两个三角形全等的方法有：①“SSS”；②“ASA”；③“AAS”；④“SAS”.
2.全等三角形的性质是：①全等三角形的对应角相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应周长相等；④全等三角形的对应边上的高线、中线相等；对应角的角平分线相等.
3.请你在下列图1，2，3中，各画出一个三角形，使它与△ABC全等。
二.探究新知
1.引入：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，一位聪明的八路军战士想出了一个办法。
他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了可到达的某一点上；他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
你能用所学的数学知识说明为什么吗？
2.根据实际问题抽象出几何图形
如图4，已知：∠ACB=∠ACD=90°，∠CAB=∠CAD
求证：BC=CD
3.结合图形和题意分析已知条件，寻求恰当的解决途径.
证明：在△ADB与△ADC中，有
∠BAC=∠DAC，
AC=AC, ∴△ACB≌△ACD(ASA)∴CB=CD(全等三角形对应边相等)∴步测距离就等于到碉堡距离.
∠ACB=∠ACD=90°
归纳：利用三角形全等测量不可到达地的距离，其关键是构造全等三角形.
三.典例与练习
例1.如图5：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；
（1）DE=AB吗？请说明理由
（2）你还有其他的设计方案吗？画出图形并说明理由。
解：（1）在△ABC与△DEC中，有
AC=DC，
∠ACB=∠DCE, ∴△ABC≌△DEC(SAS)∴DE=AB(全等三角形对应边相等)
CB=CE
（2）先作三角形ABC,再找一点D,使BD∥AC,并使BD=AC,
连接CD,CD的长即为AB的长.
练习1.如图6，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=CB，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得
ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( B )
A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS
例2.如图7，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端
分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有
一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。
解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD=CD，则AD⊥BC。
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，AB=AC, BD=CD,AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，
即AD⊥BC。
练习2.如图8，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的
设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（ D ）
A. AO=CO B. BO=DO C. AC=BD D. AO=CO且BO=DO
四.课堂小结
1.知识：①利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离；
②依据：全等三角形的性质；③关键：构造全等三角形.
2.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形.
3.数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
五.分层过关
1.如图9，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（ B ）
A. 大于100m B. 等于100m C. 小于100m D. 无法确定
2.如图10，某校学生为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在Ｂ点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，∠ACB ＝40°，然后在Ｍ处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A、B之间的距离？（ D ）
A.直接测量BM B.测量BC [C.测量∠A度数 D.作∠BCN=400交MB于N
3.如图11，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为lm/s，小华走的时间是（ B ）
A.13 B.8 C.6 D.5
4.如图12,太阳光线AC与A1C1 是平行的,AB表示一棵2米高的桃树,A1B1表示一棵枣树,同一时刻这两个棵树的影长相等,则枣树的高是 2 ；
5.如图13，点B、F、C、E在直线l上(F、之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，
AB∥DE，∠A=∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．
（1）证明：∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF.
（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，
∵BE=10，BF=3，∴FC=4(m)．
6.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图14所示．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．
（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴易得：∠ACD=∠CBE
在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB
（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，AD=CE=4a，∴DE+CE=BE+AD=7a=35，∴a=5，
答： 砌墙砖块的厚度a为5cm．
图3
图1
图2
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图12
图11
图13
图14
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(总课时38)§4.5利用三角形全等测距离
一.选择题：
1.利用三角形全等测量距离的原理是( )
A. 全等三角形对应角相等 B. 全等三角形对应边相等
C. 大小和形状相同的两个三角形全等 D. 三边对应相等的两个三角形全等
2.如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
3如图2,要测量河中礁石A离岸边B点的距离,采取的方法如下:顺着河岸的方向任作一条线段BC,作
∠CBA'=∠CBA,∠BCA'=∠BCA.可得△A'BC≌△ABC,所以A'B=AB,所以测量A'B的长即可得AB的长.判定图中两个三角形全等的理由是( )
A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
4.如图3，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离，在地上取一个可以直接到达A、B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE。可以证△ABC≌△DEC，得DE=AB，因此，测得DE的长就是AB的长.判定△ABC≌△DEC的理由是( )
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
5.如图4，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个
A．3 B．4 C．6 D．9
二.填空题：
6.如图5，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F的距离，只需要测出线段____的长度；
理由是依据：____或____或____，可以证明：△BEM≌△CFM；根据：____________________，得：MF=ME；
7.把一副常用的三角板如图5所示拼在一起，那么图中∠ADE是____度.
8.如图6，将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中45°的角（虚线也视为角的边）是：
________________________________________________________________．
三.解答题：
9.如图7所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．
10.如图8,在△ABC中,D为AB的中点,AB=AC=10cm,∠B=∠C,BC=8cm.
(1)若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动,同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动.
①若点Q的速度与点P的速度相等,经过1s后,请说明△BPD≌△CQP.
②若点Q的速度与点P的速度不等,当点Q的速度为多少时,能使△BPD≌△CPQ
(2)若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动,同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动,它们都依次沿△ABC三边运动,则经过多长时间,点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P
图3
图2
图3
B
C
A
D
E
图1
图5
图4
图6
图7
图8
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(总课时38)§4.5利用三角形全等测距离
【学习目标】会利用三角形全等解决实际问题，会构建全等三角形，体会转化思想.
【学习重难点】学会利用三角形全等的知识将“不可测量的距离”转化为“可测量的距离”.
【导学过程】
一.知识回顾
1.判定两个三角形全等的方法有：①_______；②________；③________；④________.
2.全等三角形的性质是：①全等三角形的________相等；②全等三角形的________相等；③全等三角形的________相等；④全等三角形的对应边上的____线、____线相等；____________平分线相等.
3.请你在下列图1，2，3中，各画出一个三角形，使它与△ABC全等。
二.探究新知
1.引入：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，一位聪明的八路军战士想出了一个办法。
他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了可到达的某一点上；他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
你能用所学的数学知识说明为什么吗？
2.根据实际问题抽象出几何图形
如图4，已知：∠ACB=∠____=90°，∠CAB=∠____
求证：BC=CD
3.结合图形和题意分析已知条件，寻求恰当的解决途径.
证明：在△ADB与△ADC中，有
∠BAC=∠____，
AC=AC, ∴△ACB≌△______(ASA)∴CB=CD(全等三角形对应边相等)∴步测距离就等于到碉堡距离.
∠ACB=∠____=90°
归纳：利用三角形全等测量不可到达地的距离，其关键是构造全等三角形.
三.典例与练习
例1.如图5：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；
（1）DE=AB吗？请说明理由
（2）你还有其他的设计方案吗？画出图形并说明理由。
练习1.如图6，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=CB，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得
ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS
例2.如图7，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端
分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有
一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由。
练习2.如图8，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的
设计中，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？（ ）
A. AO=CO B. BO=DO C. AC=BD D. AO=CO且BO=DO
四.课堂小结
1.知识：①利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离；
②依据：全等三角形的性质；③关键：构造全等三角形.
2.方法：（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形.
3.数学思想：树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
五.分层过关
1.如图9，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（ ）
A. 大于100m B. 等于100m C. 小于100m D. 无法确定
2.如图10，某校学生为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在Ｂ点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，∠ACB ＝40°，然后在Ｍ处立了标杆，使∠CBM=70°，那么他们还应做什么才能测得A、B之间的距离？（ ）
A.直接测量BM B.测量BC [C.测量∠A度数 D.作∠BCN=400交MB于N
3.如图11，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为lm/s，小华走的时间是（ ）
A.13 B.8 C.6 D.5
4.如图12,太阳光线AC与A1C1 是平行的,AB表示一棵2米高的桃树,A1B1表示一棵枣树,同一时刻这两个棵树的影长相等,则枣树的高是 _ ；
5.如图13，点B、F、C、E在直线l上(F、之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，
AB∥DE，∠A=∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．
6.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图14所示．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．
图3
图1
图2
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图12
图11
图13
图14
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(总课时38)§4.5利用三角形全等测距离
一.选择题：
1.利用三角形全等测量距离的原理是( B )
A. 全等三角形对应角相等 B. 全等三角形对应边相等
C. 大小和形状相同的两个三角形全等 D. 三边对应相等的两个三角形全等
2.如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ D ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
3如图2,要测量河中礁石A离岸边B点的距离,采取的方法如下:顺着河岸的方向任作一条线段BC,作
∠CBA'=∠CBA,∠BCA'=∠BCA.可得△A'BC≌△ABC,所以A'B=AB,所以测量A'B的长即可得AB的长.判定图中两个三角形全等的理由是( B )
A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
4.如图3，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离，在地上取一个可以直接到达A、B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE。可以证△ABC≌△DEC，得DE=AB，因此，测得DE的长就是AB的长.判定△ABC≌△DEC的理由是( D )
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
5.如图4，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ C ）个
A．3 B．4 C．6 D．9
二.填空题：
6.如图5，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F的距离，只需要测出线段EM的长度；
理由是依据：AAS或SAS或ASA，可以证明：△BEM≌△CFM；根据：全等三角形的对应边相等，得：MF=ME；
7.把一副常用的三角板如图5所示拼在一起，那么图中∠ADE是135度.
8.如图6，将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中45°的角（虚线也视为角的边）是：
∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°，∠ABE=45°，∠C′BC=45°．
三.解答题：
9.如图7所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．
解：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，
这时测得的DE的长就是AB的长．作出的图形如图所示：
∵AB⊥BF ，ED⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°
又∵CD=BC ∠ACB=∠ECD∴△ACB≌△ECD，∴AB=DE．
10.如图8,在△ABC中,D为AB的中点,AB=AC=10cm,∠B=∠C,BC=8cm.
(1)若点P在线段BC上以3cm/s的速度从点B向终点C运动,同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动.
①若点Q的速度与点P的速度相等,经过1s后,请说明△BPD≌△CQP.
②若点Q的速度与点P的速度不等,当点Q的速度为多少时,能使△BPD≌△CPQ
(2)若点P以3cm/s的速度从点B向点C运动,同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A运动,它们都依次沿△ABC三边运动,则经过多长时间,点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P
解：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，∴BP=CQ，
∵D为AB的中点，∴BD=AD=5，∵CP=BC-BP=5，∴BD=CP，
在△BPD与△CQP中，
，∴△BPD≌△CQP；
②设点Q运动时间为t秒，运动速度为vcm/s，
∵△BPD≌CPQ，∴BP=CP=4，CQ=5，∴t=，∴v=；
（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x-3x=2×10，解得：x=10，
∴点P运动的路程为3×10=30，
∵30=28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．
图3
图2
图3
B
C
A
D
E
图1
图5
图4
图6
图7
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