汕头市经济特区某重点中学2023-2024学年度第二学期九年级数学科综合素质摸查（含答案）

汕头市经济特区某重点中学2023-2024学年度第二学期九年级数学科综合素质摸查
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A . B . C. D.
2.抛物线y=( x+1 )2+2的对称轴是（ ）
A.直线x =1 B.直线x =－1 C.直线y=－1 D.直线y=1
3.用配方法解一元二次方程x2+4x +1=0，下列变形正确的是（ ）
A. ( x +2)2=3 B. ( x +4)2=15 C. ( x +2)2=15 D. ( x－2)2－3=0
4.抛物线y= x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A.y=( x +1)2－2 В.y=( x +1)2+2 C.y=( x －1)2－2 D.y=( x －1)2+2
5.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若半径为5，OD=3，则弦AB的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6.设x1，x2是一元二次方程x2－2x－1=0的两根，则+=（ ）。
A . B. C.2 D. －2
7.点A（－2，m），B（3，n）是反比例函数y=的图象上两点，则m、n大小关系为（ ）
A.mn D.无法确定
8.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A.18π B.27π C.36π D.54π
9.在同一坐标系中，一次函数y=ax+k与二次函数y=kx2+a的图象可能是（ ）
A B C D
10.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=－1，且过点（－3，0），下列说法：①abc<0；②2a－b=0；③若（－5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1=y2；
④4a+2b+c<0，其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D .4个
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11.点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是_______
12.已知方程2x2-mx +3=0的一个根是-1，则m的值是________
13.在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是_____个
14.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=______
题14图 题15图
15.如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为_______.
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16.解方程：x2﹣2 x﹣15=0.
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx +m﹣1=0.求证：方程总有两个实数根.
四、解答题（二）（本大题2小题，每小题7分，共14分）
18.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，0），0（0，0），B（2，2）.以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1
（1）画出△A1OB1，，并写出点A1和点B1的坐标。
（2）求线段OB扫过的面积.
19.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD=ED，求证：AD是⊙O 的切线.
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20. “2022卡塔尔世界杯”已经闭幕，足球运动备受人们的关注.某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图.根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有50人，条形统计图中m的值为________.
（2）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识“不了解”和“了解很少”的总人数为________人.
（3）若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率.
21.如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=图像交x于A（，4）.B（3，m）两点
（1）求m，n的值
（2）求直线 AB 的解析式；
（3）根据图像直接写出不等式kx+b>中x的取值范围.
22.如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.
（1）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？
（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23.在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°<α <180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分別为点E、点F、点G.
（1）如图1，当点E落在DC边上时，线段EC的长度为__________。
（2）如图②，连接CF，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，
①求证：△ACD≌△CAE.
②求线段 DH 的长度.
（3）如图3，设点P为边GF的中点，连结PB、PE、BE，在矩形ABCD旋转的过程中，△BEP 面积的最大值为_____
24.抛物线y=ax2+bx－4（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点 B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于 N，设点 P 的横坐标为t.
（1）求该抛物线的解析式：
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标：
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN=9S△CHM，
①求点P的坐标：
②连接CP，在 y轴上是否存在点 Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点 Q的坐标：若不存在，请说明理由.
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B A В. D D A B C C
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. （1，-3）
12. - 5
13. 9
14. 4
15. 3 -3
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16.解：原方程化为：
(x﹣5 ) (x +3) =0.
∴ x1=5，x2=﹣3
17.证明：∵Δ=（﹣m）2– 4（m–1）=（m–2）2 ≥0，
∴方程总有两个实数根.
四、解答题（二）（本大题2小题，每小题7分，共14分）
18.（1）画出△A1OB1，如图.
点A1（0，1），点B1（-2，2）.
（2）∵ OB1 = OB =
∴扇形BOB1面积=
∴线段OB扫过的面积2π.
19. 证明：如图，连接OA
∵ OA=OB，AD=ED，
∴∠OBE= ∠OAE，∠AED= ∠EAD.
∵∠OEB= ∠AED，
∴∠OEB= ∠EAD，
∵OD⊥OB，
∴∠BOΕ = 90°，
∴∠OBE+∠OEB= 90°，
∴∠OAE+ ∠EAD= 90°，
∴∠OAD=90°，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线.
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20.（1）解：接受问卷调查的学生共有，29÷58%=50（人）；
条形统计图中m的值为：50－4－29－10=7（人）；
故答案为：50；7.
（2）解：达到“不了解”和“了解很少”程度的总人数为：
（10+7）÷50×1500=510（人）；
故答案为：510.
（3）解：由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为：
21.解：（1）∵一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=图像交x于（，4）.B（3，m）
∴ n=×4= 6 .
y=
将B（3，m）代入y= y=
得m==2.
∴B（3，2）；
（2）将A（，4），B（3，2）代入y=kx+b得：
解的：
∴直线AB的解析式为y=－x+6；
（3）∵A（，4），B（3，2）
结合函数图象可知：当x<0或
即不等式kx+b>的解集为：x<0或22. （1）解：由题意，AB=xm，则BC就为（12－3x）m.
∴S=x（12－3x）=－3x2+12x.
当S=9时，
－3x2+12x=9
解得x1= 1，x2 =3，
当x =1时，12－3x =12－3=9>5，不符合题意，舍去，
当x =3时，12－3x =12－9=3<5，符合题意，
∴要围成面积为9m2的花圃，AB的长是3米；
（2）由题意，可知:
∴< x≤4，
∵S=－3x2+12x =－3（x －2）2+12.
∵－3<0，抛物线开口向下，且对称轴为直线x=2
∴在∴当AB的长是米时，围成的花圃的面积最大
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23.解：（1）如图①中
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD = 3，BC = AD = 2，∠D = 90°，
∵矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，
∴AE = AB = 3，
在RtΔADE中，DE = ，
∴CE =，
故答案为：.
（2）①证明：如图②中，
∵当点E落在线段CF上，
∴∠AEC = ∠ADC = 90，
在Rt△ADC和Rt△AEC中，
∴RtΔACD≌RtΔCAE（HL）
②如图②中，△ACD≌△CAE，
∴∠ACD =∠EAC
∴ AH = HC
设AH = HC =m
在RtΔADH中，：AD2 + DH2= AH2，
∴22 +（3-m）2 = m2
m=
∴DH =
故答案为：
（3）解：如图3中，连接PA，作AM ⊥PE于M.
当AM与AB共线，且BM=BA+AM时，△BPE面积最大
由题意：PF=PG=.
∵AG= EF =2，∠G= ∠F= 90°
∴PA=PE=.
∵S△APE=S矩形AGFE=PE·AM.
∴AM= = =
则S△BPE=PE·BM=××（3+）=
△PBE的面积的最大值为
故答案为：
24.解（1）∵抛物线y=ax2+bx－4（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）和B（4，0）
∴
解得：
∴该抛物线的解析式为：y=x2－x－4
（2）在y=x2－x－4中，令x=0，得y=－4，
∴ C（0，－4），
设直线BC的解析式为y=kx+c，
∴
解得：
∴直线BC的解析式为y=x－4，
设P（t，t 2－t－4），则M（t， t－4），
∴PM= t－4－（t 2－t－4）=－（t－2）2+2
∵－<0.
∴当t =2时，PM取得最大值2，
此时点M的坐标为（2，－2）；
（3）解：①如图1，
∵（t，t 2－t－4），M（t， t－4），N（t，0），B（4，0），C（0，－4），CH⊥PN.
∴BN=4－t，MN=4－t，CH = t，MH= t －4－（－4）= t
∵S△BMN=9S△CHM
∴（4－t）2=9×t 2
解得：t 1=1，t 2=－2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点
∴0∴ t =1，
∴P（1，－）
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m）
∵C（0，－4）.P（1，－）.
CP2=（1－0）2+（－+4）2=.
CQ2=（－4－m）2
PQ2= t 2+（－－m）2，∠PCQ≠90°
当∠CQP=90°时，如图2，PQ⊥y轴
∴Q（0. －）
当∠CPQ=90°时，如图3，
在RtΔCPQ中，CP2+PQ2=CQ2
+ t 2+（－－m）2 =（－4－m）2
解得：m=－
∴Q（0. －）
综上所述，点Q的坐标为（0、－）或（0. －）.