2023-2024学年数学七年级相交线与平行线单元测试试题（人教版）基础卷二含解析

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2023-2024学年数学七年级相交线与平行线（人教版）
单元测试 基础卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
2．（本题3分）如图，若是由平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（本题3分）如图所示，直线a、b被直线c所截，与是（ ）
A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角
4．（本题3分）能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例是（ ）
A． B． C．0 D．2
5．（本题3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．若，则
C．对顶角相等 D．若，，则
6．（本题3分）如图，直线，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，点A，D在直线m上，点，在直线上，，，，点A到直线的距离是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
8．（本题3分）如图，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．（本题3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两个锐角的和等于直角 B．相等的角是对顶角
C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线
10．（本题3分）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（ ）
A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以
C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，现要从村庄修建一条连接公路的最短小路，过点作于点，沿修建公路，则这样做的理由是 ．
12．（本题3分）如图，，若，，则的度数为 ．
13．（本题3分）如果将一个四边形向上平移 得到四边形，点是点 D 的对应点，则线段 ．
14．（本题3分）命题“等边三角形有一个角是”的逆命题是 ．
15．（本题3分）如图．．直线交于点E，交于点F，平分，交于点G，，则等于 ．
16．（本题3分）如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．(请填写序号)
17．（本题3分）如图，已知点在直线上，平分，点在直线的上方，设与互补，平分，则 ．（用含的式子表示）
18．（本题3分）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，已知直线，，相交于点O，，，求和的度数．
20．（本题8分）木工师傅用角尺画出工件边缘两条垂线a，b，就说a与b平行，你能说明理由吗？
21．（本题10分）如图，把沿方向平移得到，求的长．
22．（本题10分）请把证明的过程补充完整，并在括号内写上依据．
如图，，，．请把证明的过程补充完整，并在括号内写上依据．
证明：∵，
∴ （ ）
∵，
∴
即∠ ＝∠ ．
∵，
∴
∴ （ ）．
23．（本题10分）如图，，比大，平分，求：的度数．
请你完善以下的解题过程：
解：，
（垂直的定义），
已知比大，
，
，
，
，
已知平分， （ ），
．
24．（本题10分）已知直线和相交于点，，平分，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
25．（本题10分）（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为之间一点，求证：．
小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．
证明：如图①，过点作．
（已知），
（_______），
（_______），
（等式的基本性质），
．
（2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点在直线上，点在直线上，直线分别平分，且交于点．猜想并证明与的数量关系．
（3）【拓展】如图③，，直线与分别交于点，点在上，点在上，，若动点在线段上移动（不与重合），连接和的平分线交于点，补全图形（不必尺规作图），请直接写出与的数量关系．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定．
【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了平移的性质，根据此性质即可求解．
【详解】解：∵是由平移后得到的，且点A、D之间的距离为1，
∴，
∴；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．根据三线八角，结合内错角的定义作答即可．
【详解】解：如图所示，
∵在截线的异侧，都在被截线的内部
∴与是直线b、a被c所截而成的内错角．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了命题及有理数的乘方，根据有理数的乘方运算法则即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：当时，，
则能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例是，
故选C．
5．A
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握判断命题的真假的方法是关键．先写出各个命题的逆命题，再判断即可．
【详解】解： A、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题；
B、若，则逆命题是若，则，
∵，
∴，
∴逆命题是假命题；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
D、若，，则的逆命题是若，则，，
∵，
∴不一定大于0，且，也可以，
∴逆命题是假命题；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据垂直的定义，得到，利用，求出的度数，再利用计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查点到直线的距离．从直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足间的线段长度叫点到直线的距离．
根据于D，可得到点A到直线的距离是线段的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∴点A到直线的距离是的长度，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．由平行线的性质得出，，再由等量代换得出，最后求解即可．
【详解】解：
，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了命题的判断，根据直角，对顶角的定义，平行线的判定定理，直线公理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．当锐角为和时，和为，不是直角，故A选项不符合题意；
B．两直线平行，同位角相等，但它们不是对顶角，故B选项不符合题意；
C．两直线平行，同位角相等，故C选项不符合题意；
D．经过两点有且只有一条直线，故D选项符合题意；
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解．
【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形；
方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形．
因此甲、乙都可以，
故选D．
11．垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段的性质，根据垂线段最短的性质解答即可．熟知垂线段最短是解题的关键．
【详解】解：过点作于点，沿修建公路，则这样做的理由是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
12．
【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差；由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等．”是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
；
故答案：．
13．
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，直接作答即可．掌握平移的性质，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
14．有一个角是的三角形是等边三角形
【分析】根据逆命题的定义，将条件与结论互换位置，即可得出答案，本题考查了写出一个命题的逆命题，解题的关键是：理解逆命题的定义．
【详解】命题的条件是：“等边三角形”，结论是：“有一个角是”，
将条件与结论互换位置，即可得出该命题的逆命题：
“有一个角是的三角形是等边三角形”
故答案为：有一个角是的三角形是等边三角形．
15．/度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义可得．
【详解】解；∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
故答案为：．
16．①②③④
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④先证，再根据平行线的性质即可得证．
【详解】解：平分，
，
平分，
，
，
，
，
即，
故①正确；
平分，
，
，
，
，
故②正确；
平分，
，
，
，
，
由①知，
，
故③正确；
平分，
，
，
，
，
，
故④正确．
其中正确的有：①②③④，
故答案为：①②③④．
17．或
【分析】本题考查了与角平分线的有关计算，运用补角进行角的等量代换，得，再进行分类讨论，并结合图形，运用数形结合思想，结合垂直定义，得根据角的和差关系进行运算，即可作答．
【详解】解：如图：当在之间：
∵与互补
∴
∵平分，
∴
∵平分，
∴
则；
当在之间：
∵与互补
∴
∵平分，
∴
∵平分，
∴
则；
综上的度数为或，
故答案为：或．
18．或
【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键．
【详解】解：当点F在下方时，
过点F作，过点E作，如图1所示：
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②当点F在上方时，过点E作，如图2所示：
设，
∵，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或，
故答案为：14°或37°．
19．，
【分析】本题考查的是垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算，利用对顶角的性质求解，由垂直的定义可得，再结合角的和差运算可得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
20．证明见解析
【分析】此题考查了同位角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行．根据同位角相等，两直线平行证明即可．
【详解】解：由题意可得，，
∴．
21．
【分析】本题主要考查了平移的性质．根据平移的性质可得，据此计算即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可得，
∵，
∴．
22．；内错角相等，两直线平行；；；；；；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键，根据题干提示的推论步骤逐一填写推论依据与完善推理过程即可．
【详解】证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
即．
∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）．
23．，，，，，，，，角平分线的定义，，，
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，根据推理过程即可求解．
【详解】解：，
（垂直的定义），
已知比大，
，
，
，
，
已知平分，
（角平分线的定义）
24．(1)
(2)
【分析】本题考查对顶角，角平分线，
（1）根据对顶角相等可得答案；
（2）根据角平分线以及图形中角的和差关系进行计算即可；
掌握对顶角相等，角平分线的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵与是对顶角，，
∴，
∴的度数为；
（2）∵，∠，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∴的度数为．
25．（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2），证明见解析；（3）见解析，
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质定理．
（1）感知：根据平行线的性质可以直接求解；
（2）应用：分别过作直线的平行线，将根据平行线的性质，将表示成与相关的角，最后通过等量代换找到与的等量关系，进而求解；
（3）先根据题目要求补全图形，过作，过作，然后根据平行线的性质，通过等量代换找到与及之间的关系；
【详解】（1）感知：证明：如图①，过点P作．
∵，（已知），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，（两直线平行，内错角相等），
∴（等式性质），
∴．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等；
（2）应用：，
证明：过F作，过E作；如下图：
则有，
∴，
∴，
即，
又∵、为角平分线，
∴，
∴，
即，
根据，
有，
，
即，
∴；
（3）如图所示，过作，
∵，，
∴，
同理过作，，
设平分的角分别为，
∴,，
∴，
同理，，可得到，
又∵，
∴，
即．
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