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(总课时29)§4.1 因式分解
【学习目标】了解因式分解的意义；理解因式分解与整式乘法的互逆关系.
【学习重难点】理解因式分解的概念.
【导学过程】
一.知识回顾
用简便方法计算：
(1)736×95+736×5
=736×(95+5）
=736×100=73600
二.探究新知
引入1：你认为993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
小明是这样想的：993-99=99×992-99×1=99×(992-1)
=99(99+1)(99-1)
=99×98×100
因为结果中有因数100，所以，993-99能被100整除.
问：993-99还能被哪些正整数整除？还能被98，99，49，11等正整数整除．
归纳：以上问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.
你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
a3-a=a(a2-1)
=a(a+1)(a-1)
引入2：观察下面拼图过程，写出相应的关系式．
（1）
左图面积：ma+mb+mc
∴左图面积=右图面积：ma+mb+mc=m(a+b+c)
（2）
左图面积：x2+2x+1
∴左图面积=右图面积：x2+2x+1=(x+1)(x+1)
【定义】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式.
三.典例与练习
例1.计算下列各式:
(1)3x(x-1)=3x2-3x；(2)m(a+b+c)=ma+mb+mc;
(3)(m+4)(m-4)=m2-16；(4)(y-3)2=y2-6y+9.
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？互逆运算.
练习1.下列哪些变形是因式分解？
（1）（a+3）(a-3)=a2-9 不是 （2）m2-4=(m+2)(m-2) 是
（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 不是 （4）2πR+2πr=2π（R+r） 是
例2.看谁连得准
x2-y2 (x+3)2
9-25x2 y(x-y)
x2+6x+9 (3-5x)(3+5x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
练习2.若x2-x-m=(x+2)(x-3)则m=6.
例3.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，求ab-ac的值.
解：ab-ac=a(b-c)
=3.14×(2.386-1.386)
=3.14×1=3.14.
练习3.113－11不能被下列哪个数整除？( A )
A．13 B．12 C．11 D．10
四.课堂小结
1.分解因式与整式乘法是一种互逆关系；
2.分解因式的结果要以积的形式表示；
3.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
4.必须分解到每个多项式不能再分解为止．
五.分层过关
1.下列从左到右的变形属于因式分解的是（ C ）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2+2x﹣1=x（x+2）﹣1
C．﹣x2+4xy﹣4y2=﹣（x﹣2y）2 D．3m（x﹣2y）=3mx﹣6my
2.若（x-3）(x+5)是x2+px+q的因式，则p为( D )
A. -15 B. -2 C. 8 D. 2
3.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（ B ）
A. B. C. D.
4.下列因式分解错误的是（ C ）
A.2a-2b=2(a-b) B. x2-9=(x+3)(x-3) C.a2+4a-4=(a+2)2 D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2)
5.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.
6.若x2+mx-n能分解成（x-1）（x+4），则m=3，n=4．
7.(x+3)2=x2+6x+9从左到右的变形是整式乘法.
8.计算（1）～（3）题，并根据计算结果将（4）～（6）题进行分解因式.
（1）（x-2）（x-1）＝x2-3x+2； （2）x2-3x+2＝(x-2)(x-1)；
（3）3x（x-2）＝3x2-6x； （4）3x2-6x＝3x(x-2)；
（5）（x-2）2＝x2-4x+4； （6）x2-4x+4＝(x-2)2.
9.下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
（1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y+1）（y-1）；
（3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+=
（5）2a3＝2a·a·a.
解:因为(1)(2)的右边都不是整式的积的形式.所以它们不是分解因式；(4)中，都不是整式，(5)中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以(3)是分解因式.
10.阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）．
展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．
所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．
解:设另一个因式是（3x+b），
根据题意，得3x2+10x+m=（x+4）（3x+b）．
展开，得3x2+10x+m=3x2+（b+12）x+4b．
所以，，解得：，
所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8．
(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67
=2.67×（-132+25+7）
=2.67×（-100）=-267
提示：（99+1）（99-1）=992-1
提示：（a+1）（a-1）=a2-1
右图面积：m(a+b+c)
右图面积：(x+1)(x+1)
根据左面的算式填空:
（1）3x2-3x=3x(x-1)；（2）ma+mb+mc=m(a+b+c)
（3）m2-16=(m+4)(m-4)；（4）y2-6y+9=(y-3)2
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(总课时29)§4.1 因式分解
【学习目标】了解因式分解的意义；理解因式分解与整式乘法的互逆关系.
【学习重难点】理解因式分解的概念.
【导学过程】
一.知识回顾
用简便方法计算：
(1)736×95+736×5
=736×(_____）
=736×_____=_____
二.探究新知
引入1：你认为993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
小明是这样想的：993-99=99×992-99×1=99×(992-1)
=99(99+1)(99-1)
=99×98×100
因为结果中有因数100，所以，993-99能被100整除.
问：993-99还能被哪些正整数整除？___________________________________．
归纳：以上问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.
你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
a3-a=a_____
=a__________
引入2：观察下面拼图过程，写出相应的关系式．
（1）
左图面积：__________
∴左图面积=右图面积：____________________
（2）
左图面积：_______
∴左图面积=右图面积：____________________
【定义】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式.
三.典例与练习
例1.计算下列各式:
(1)3x(x-1)=______；(2)m(a+b+c)=________;
(3)(m+4)(m-4)=______；(4)(y-3)2=_______.
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？__________.
练习1.下列哪些变形是因式分解？
（1）（a+3）(a-3)=a2-9 _____ （2）m2-4=(m+2)(m-2) _____
（3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 _____ （4）2πR+2πr=2π（R+r） _____
例2.看谁连得准
x2-y2 (x+3)2
9-25x2 y(x-y)
x2+6x+9 (3-5x)(3+5x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
练习2.若x2-x-m=(x+2)(x-3)则m=_____.
例3.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，求ab-ac的值.
练习3.113－11不能被下列哪个数整除？( )
A．13 B．12 C．11 D．10
四.课堂小结
1.分解因式与整式乘法是一种互逆关系；
2.分解因式的结果要以积的形式表示；
3.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
4.必须分解到每个多项式不能再分解为止．
五.分层过关
1.下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2+2x﹣1=x（x+2）﹣1
C．﹣x2+4xy﹣4y2=﹣（x﹣2y）2 D．3m（x﹣2y）=3mx﹣6my
2.若（x-3）(x+5)是x2+px+q的因式，则p为( )
A. -15 B. -2 C. 8 D. 2
3.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.下列因式分解错误的是（ ）
A.2a-2b=2(a-b) B. x2-9=(x+3)(x-3) C.a2+4a-4=(a+2)2 D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2)
5.把一个多项式化成几个_____的____的形式，叫做把这个多项式分解因式.
6.若x2+mx-n能分解成（x-1）（x+4），则m=___，n=___．
7.(x+3)2=x2+6x+9从左到右的变形是_____.
8.计算（1）～（3）题，并根据计算结果将（4）～（6）题进行分解因式.
（1）（x-2）（x-1）＝_______； （2）x2-3x+2＝________；
（3）3x（x-2）＝______； （4）3x2-6x＝______；
（5）（x-2）2＝______； （6）x2-4x+4＝______.
9.下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
（1）a（x+y）=ax+ay； （2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
（3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）； （4）x2+2+=
（5）2a3＝2a·a·a.
10.阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．
解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）．
展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．
所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．
请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．
(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67
=2.67×（__________）
=2.67×（_____）=_____
提示：（99+1）（99-1）=992-1
提示：（a+1）（a-1）=a2-1
右图面积：_______
右图面积：________
根据左面的算式填空:
（1）3x2-3x=______；（2）ma+mb+mc=________
（3）m2-16=_________；（4）y2-6y+9=________
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(总课时29)§4.1 因式分解
一.选择题：
1.把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是( )
A. x(y2-9) B. x(y+3)2 C. x(y+3)(y-3) D. x(y+9)(y-9)
2.下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）=2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2 D．x2+x=x2（1+）
3.若x2-4x+b=（x-2）（x-a），则a-b的值是（ ）
A. -2 B. -6 C. 6 D. 2
4.下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（ ）
A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6
5.下列各式变形正确的是（ ）
A.-a-b=-(a-b) B.b-a=-(a-b) C.(-a-b)2=-(a+b)2 D.(b-a)2=-(a-b)2
二.填空题：
6.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为______．
7. =3x(x+1)
8.下列从左到右的变形中，是因式分解的有______.
①(x＋5)(x－5)＝x2－25 ②x2－9＝(x＋3)(x－3) ③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1 ⑤x＋1＝x(1＋) ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
9.已知x2+px+8因式分解后含有因式（x﹣1），则p的值为______．
10.下列左边到右边的变形是因式分解的是______（填序号）
（1）（a+2）（a﹣2）=a2﹣4 （2）a2+3a+1=a（a+3）+1
（3）10x2﹣5x=5x（2x﹣1） （4）y2﹣4y+4=（y﹣2）2
（5）2x2﹣4x+1=（2x3﹣4x2+x） （6）t2﹣16+3t=（x+4）（t﹣4）+3t
三.解答题：
11.19992+1999能被2000整除吗？
12.多项式2x2+5x+m因式分解的结果中有一个因式为x+3，试将该多项式因式分解.
13.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解．
14.将多顶式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多顶式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
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(总课时29)§4.1 因式分解
一.选择题：
1.把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是( C )
A. x(y2-9) B. x(y+3)2 C. x(y+3)(y-3) D. x(y+9)(y-9)
2.下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ C ）
A．2a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）=2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2 D．x2+x=x2（1+）
3.若x2-4x+b=（x-2）（x-a），则a-b的值是（ A ）
A. -2 B. -6 C. 6 D. 2
4.下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（ B ）
A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6
5.下列各式变形正确的是（ B ）
A.-a-b=-(a-b) B.b-a=-(a-b) C.(-a-b)2=-(a+b)2 D.(b-a)2=-(a-b)2
二.填空题：
6.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ﹣3 ．
7.3x2+3x=3x(x+1)
8.下列从左到右的变形中，是因式分解的有②③⑥.
①(x＋5)(x－5)＝x2－25 ②x2－9＝(x＋3)(x－3) ③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1 ⑤x＋1＝x(1＋) ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
9.已知x2+px+8因式分解后含有因式（x﹣1），则p的值为 ﹣9 ．
10.下列左边到右边的变形是因式分解的是（3）（4）（填序号）
（1）（a+2）（a﹣2）=a2﹣4 （2）a2+3a+1=a（a+3）+1
（3）10x2﹣5x=5x（2x﹣1） （4）y2﹣4y+4=（y﹣2）2
（5）2x2﹣4x+1=（2x3﹣4x2+x） （6）t2﹣16+3t=（x+4）（t﹣4）+3t
三.解答题：
11.19992+1999能被2000整除吗？
解：∵19992+1999=1999×（1999+1）=1999×2000，
∴19992+1999能被1999整除，也能被2000整除
12.多项式2x2+5x+m因式分解的结果中有一个因式为x+3，试将该多项式因式分解.
解：设2x2+5x+m = (x+3)(ax+b)，则
∵(x+3)(ax+b) = ax2+(3a+b)x+3b，即2x2+5x+m= ax2+(3a+b)x+3b，
∴a=2，3a+b=5，m=3b，∴a=2，b=-1，∴m=3b = -3.
所以2x2+5x+m = 2x2+5x-3 = (x+3)(2x-1).
13.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解．
解：由图形面积得：a2＋3b2＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)．
14.将多顶式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多顶式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
解：（1）令x﹣2＝0，即当x＝2时，4+2k﹣8＝0，解得：k＝2；
（2）令x＝﹣2，则﹣16+4a﹣14+b＝0①，
令x＝1，则2+a+7+b＝0②，
由①，②得a＝13，b＝﹣22．
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