中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时30)§4.2 提公因式法(1)
【学习目标】了解公因式的意义，会用提公因式法把多项式分解因式.
【学习重难点】能正确确定出一个多项式的公因式.
【导学过程】
一.知识回顾
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式..
2.因式分解与整式乘法互为逆运算
3.分解因式要注意以下几点:①分解的对象必须是多项式.②分解的结果一定是几个整式的积的形式.
4.因为：x（3x+1）=3x2+x ,所以：3x2+x=x（3x+1）
二.探究新知
知识点一：公因式
观察下列多项式中的每一项的因式分别是什么？你发现了什么？
多项式 多项式每一项的因式 我发现各项
ma+mb ma，mb 都含有m
2πa+2πb 2πa，2πb 都含有2π
2x3+6x2 2x3，6x2 都含有2x2
归纳：我们把多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
知识点二：用提公因式法分解因式
1.提公因式法的定义
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.
2.确定公因式的方法
（1）定系数：---各项系数绝对值的最大公因数.
（2）定字母：---各项中都含有的相同的字母.
（3）定指数：---相同字母的最低次幂.
归纳：多项式中各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积是这个多项式的公因式.
练习1.写出下列多项式各项的公因式：
（1）8x－72 （2）a2x2y－axy2 （3）4x2－2x-2x3 （4）6a2b－4a3b3-2ab
解：（1）8 （2）axy (3)2x (4)2ab
3.提取公因式的方法
引例：把3a2-9ab因式分解
解：原式=3a a-3a 3b
=3a(a-3b)
归纳步骤：（1）确定公因式；（2）把多项式的每一项写成公因式与某个整式的积的形式；
（3）把公因式提到括号外面,写成公因式与另一个多项式乘积的形式。
三.典例与练习
例1.把9x2–6xy+3xz因式分解
解：原式=3x·3x-3x·2y+3x·z=3x(3x-2y+z)
练习2.把8a3b2–12ab3c+ab因式分解.
解：原式=ab·8a b-ab·12b2c+ab·1
=ab(8a2b-12b2c+1)
例2.把-24x +12x -28x因式分解
解：原式=-(24x -12x +28x)
=-(4x·6x -4x·3x+4x·7)=-4x(6x -3x+7)
练习3.把-2x3+4x2-6x分解因式
解：原式=-（2x3-4x2+6x）
=-2x(x2-2x+3)
例3.如果x+y=5，xy=2，求x2y+xy2和x2+y2的值.
解：x2y+xy2=xy(x+y)=2×5=10
x2+y2=(x+y)2-2xy=25-4=21
练习4.分解因式：an+an+2+a2n=an(1+a2+an).
四.课堂小结
1.确定公因式的方法
①定系数 ②定字母 ③定指数
2.提公因式法因式分解步骤：
①找出公因式；②提公因式（把多项式化为两个因式的乘积）
3.用提公因式法因式分解应注意的问题：
①公因式要提尽；②小心漏掉1;③提出负号时,要注意变号.
五.分层过关
1.下列各式公因式是a的是（ D ）
A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma
2.－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（ D ）
A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy
3.下列各式因式分解错误的是（ B ）
A.8xyz-6x2y2=2xy(4z-3xy) B.3x2-6xy+x=3x(x-2y)
C.a2b2-ab3=ab2(a-b) D.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
4.把下列各多项式的公因式填写在横线上。
(1)x2-5x x (2)12b3-8b2+4b 4b_ (3）6x4y2－2x2y2＋4x2y 2x2y
5.把下列各式因式分解：
（1）3x2y-6xy （2）5x2y3-25x3y2 （3）-4m3+16m2-4m
解：(1)原式=3xy(x-2) (2)原式=5x2y2（y-5x） (3)原式=-4m(m2-4m+1)
(4)6x4y2－2x2y2＋4x2y3 (5)a4bc＋a2b2－3a3b3 (6)2a2n+a2n+1-2a2n-1
解：（4）原式=2x2y2（3x2-1+2y） (5)原式=abc(a3+ab-3a2b2) (6)原式=a2n-1(2a+a2-2)
6.利用分解因式简化计算：
(1)55×99+44×99-99×99 (2)（-2）2020+（-2）2021×0.5
解：(1)原式=99×（55+44-99）=99×0=0
（2）原式=（-2）2020（1-1）=0
7.已知x-y=2019，
解:原式=xy(x-y)=2020
利用单项式除以单项式找到另一个因式
3a ÷3a=a, 9ab÷3a=3b
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时30)§4.2 提公因式法(1)
【学习目标】了解公因式的意义，会用提公因式法把多项式分解因式.
【学习重难点】能正确确定出一个多项式的公因式.
【导学过程】
一.知识回顾
1.把一个多项式化成_____________的形式，这种变形叫做把这个多项式____________.
2.因式分解与整式乘法________运算
3.分解因式要注意以下几点:①分解的对象必须是______.②分解的结果一定是几个整式的___的形式.
4.因为：x（3x+1）=_________,所以：3x2+x=__________.
二.探究新知
知识点一：公因式
观察下列多项式中的每一项的因式分别是什么？你发现了什么？
多项式 多项式每一项的因式 我发现各项
ma+mb ________ 都含有___
2πa+2πb ________ 都含有___
2x3+6x2 ________ 都含有___
归纳：我们把多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的____.
知识点二：用提公因式法分解因式
1.提公因式法的定义
如果一个多项式的各项含有______，那么就可以把这个_____提出来，从而将多项式化成____________的形式，这种因式分解的方法叫做________.
2.确定公因式的方法
（1）定系数：---各项系数绝对值的最大公因数.
（2）定字母：---各项中都含有的相同的字母.
（3）定指数：---相同字母的最低次幂.
归纳：多项式中各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积是这个多项式的公因式.
练习1.写出下列多项式各项的公因式：
（1）8x－72 （2）a2x2y－axy2 （3）4x2－2x-2x3 （4）6a2b－4a3b3-2ab
解：（1）___ （2）____ (3)____ (4)____
3.提取公因式的方法
引例：把3a2-9ab因式分解
解：原式=3a a-3a 3b
=3a(a-3b)
归纳步骤：（1）确定公因式；（2）把多项式的每一项写成公因式与某个整式的积的形式；
（3）把公因式提到括号外面,写成公因式与另一个多项式乘积的形式。
三.典例与练习
例1.把9x2–6xy+3xz因式分解
解：原式=3x·___-3x·____+3x·____=3x(____________)
练习2.把8a3b2–12ab3c+ab因式分解.
解：原式=ab·____-ab·____+ab·____
=ab(____________)
例2.把-24x +12x -28x因式分解
解：原式=-(24x -12x +28x)
=-(4x·____-4x·____+4x·____)=-4x(____________)
练习3.把-2x3+4x2-6x分解因式
例3.如果x+y=5，xy=2，求x2y+xy2和x2+y2的值.
练习4.分解因式：an+an+2+a2n=________.
四.课堂小结
1.确定公因式的方法
①定系数 ②定字母 ③定指数
2.提公因式法因式分解步骤：
①找出公因式；②提公因式（把多项式化为两个因式的乘积）
3.用提公因式法因式分解应注意的问题：
①公因式要提尽；②小心漏掉1;③提出负号时,要注意变号.
五.分层过关
1.下列各式公因式是a的是（ ）
A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma
2.－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（ ）
A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy
3.下列各式因式分解错误的是（ ）
A.8xyz-6x2y2=2xy(4z-3xy) B.3x2-6xy+x=3x(x-2y)
C.a2b2-ab3=ab2(a-b) D.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
4.把下列各多项式的公因式填写在横线上。
(1)x2-5x ____ (2)12b3-8b2+4b _____ (3）6x4y2－2x2y2＋4x2y ____
5.把下列各式因式分解：
（1）3x2y-6xy （2）5x2y3-25x3y2 （3）-4m3+16m2-4m
(4)6x4y2－2x2y2＋4x2y3 (5)a4bc＋a2b2－3a3b3 (6)2a2n+a2n+1-2a2n-1
6.利用分解因式简化计算：
(1)55×99+44×99-99×99 (2)（-2）2020+（-2）2021×0.5
7.已知x-y=2019，
利用单项式除以单项式找到另一个因式
3a ÷3a=a, 9ab÷3a=3b
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时30)§4.2 提公因式法(1)
一.选择题：
1.因式分解3x＋x2正确的是（ ）
A．3(x＋x2) B．x(3＋x2) C．x(3＋x) D．3x(1＋x)
2.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1
3.多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1
4.如果多项式-abc+ab2-a2bc的一个因式是-ab,那么另一个因式是（ ）
A. c-b+5ac B. c+b-5ac C. c-b+ac D. c+b-ac
5.用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)
二.填空题：
6.把4ab2-2ab+8a分解因式得______________．
7.多项式18xn+1-24xn的公因式是____.
8.－9a2b＋3ac2－6abc各项的公因式是____；
9.如图1中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式____________________.
10.若3x2-6xy+k=3x(x-2y+1),则k=____
三.解答题：
11.把下列各式分解因式：
（1） （2） （3）
（5）
（6） （m,n均为大于1的整数） （7）15
12.计算：（1）17×3.14＋61×3.14＋22×3.14； （2）20202－2020×2019.
13.先化简，再求值：
已知串联电路的电压U＝IR1+IR2+IR3,当R1＝12.9，R2=18.5,R3=18.6,I=2.3时，求U的值。
14.已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
15.探究：310+4×39能被7整除吗？并说明理由。
图1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时30)§4.2 提公因式法(1)
一.选择题：
1.因式分解3x＋x2正确的是（ C ）
A．3(x＋x2) B．x(3＋x2) C．x(3＋x) D．3x(1＋x)
2.多项式8xmyn-1-12x3myn的公因式是（ D ）
A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1
3.多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ C ）
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1
4.如果多项式-abc+ab2-a2bc的一个因式是-ab,那么另一个因式是（ A ）
A. c-b+5ac B. c+b-5ac C. c-b+ac D. c+b-ac
5.用提取公因式法分解因式正确的是（ C ）
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)
二.填空题：
6.把4ab2-2ab+8a分解因式得2a(2b2-b+4)．
7.多项式18xn+1-24xn的公因式是6xn.
8.－9a2b＋3ac2－6abc各项的公因式是－3a；
9.如图1中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c).
10.若3x2-6xy+k=3x(x-2y+1),则k=3x
三.解答题：
11.把下列各式分解因式：
（1） （2） （3）
解：(1)原式=3xy(x-2) （2）原式= （3）原式=
（5）
（4）原式= （5）原式=
（6） （m,n均为大于1的整数） （7）15
（6）原式= （7）原式=
12.计算：（1）17×3.14＋61×3.14＋22×3.14； （2）20202－2020×2019.
解：（1）17×3.14＋61×3.14＋22×3.14
=3.14×（17+61+22）
=3.14×100
=314
13.先化简，再求值：
已知串联电路的电压U＝IR1+IR2+IR3,当R1＝12.9，R2=18.5,R3=18.6,I=2.3时，求U的值。
解：先根据提取公因式分解U＝IR1+IR2+IR3，再代入求值即可得到结果.
U=I(R1+R2+R3)=2.3×(12.9+18.5+18.6)=2.3×50=115.
14.已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
解：原式=6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1
∵2a2+3a-6=0∴2a2+3a+1=7
∴原式=7
15.探究：310+4×39能被7整除吗？并说明理由。
解：∵310+4×39=39（3+4）=7×39
∴310+4×39能被7整除
图1
解：（2）20202－2020×2019
=2020×（2020-2019）
=2020.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
