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(总课时31)§4.2 提公因式法(2)
【学习目标】会用提公因式法（多项式）分解因式.
【学习重难点】理解整体思想的运用以及代数式的符号变换.
【导学过程】
一.知识回顾
1.确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数__________________；
（2）字母取多项式各项中都含有的________；
（3）相同字母的指数取各项中________.
2.提公因式法分解因式步骤：①找________；②提________________________.
3.把下列各式因式分解
（1）am+an=________（2）a2b–5ab=________（3）–2x2y+4xy2–2xy=________
二.探究新知
知识点一：多项式的符号转换
1.在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
(1)a–b=__（b–a） （2）-a–b=__（a+b） （3）(b–a)3=__(a–b)3 （4）(a–b)2=_(b–a)2
2.一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“+”或“-”）：
知识点二：用提取公因式法分解因式
引例1.观察下列各组整式，其中没有公因式的是( )
A．2a+b和a+b B.5m(a-b)和-a+b C.3(a+b)和-a-b D.2x-2y和2
练习1.把多项式（3a－4b）（7a－9b）-（4a－5b）（9b-7a）分解因式的结果是（ ）
A．（7a－9b）（a－b） B．（7a－9b）2 ;C．（7a－9b）（b－a） D．2（7a－9b）
引例2.分解因式：
（1）m(m-n)2+3n(n-m)2； （2）-6a(b-a)2-3a(a-b).
解：(1)原式=m(m-n)2+3(___)2
=(m-n)2（m+3）
练习2.分解因式：a（m–2）+b（2–m）=_______________
三.典例与练习
例1.把下列各式分解因式（1）a(x-y)+b(y-x) （2）2（y–x）2+3（x–y）
练习3.把下列各式分解因式
（1）6（p-q）2–12（q-p） （2）a（m–2）+b（2–m）
例2.先因式分解，再计算求值：
(1)4x(m 2) x(2 m)2，其中x=1.5，m=6； （2）(a 2)2 6(2 a)，其中a= 2.
练习4.不解方程组，求的值.
四.课堂小结
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-b和-b+a，即a-b=-b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b和b-a，即a-b=-（b-a）
五.分层过关
1.将3x（a-b）-9y（b-a）因式分解，应提的公因式是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各个分解因式中正确的是（ ）
A. 10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c） B.（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C. x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D. （a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
3.把b2（x-2）+b（2-x）分解因式的结果为（ ）
A. B. C. D.
4.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是( )
A. m+1 B. 2m C. 2 D. m+2
5.多项式－ab（a-b）2＋a（b-a）2-ac（a-b）2分解因式时，所提取的公因式应是_______
6.（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×_______________.
7.4x(m－n)＋8y(n－m)2中各项的公因式是_______.
8.请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2 （3）(x+y)2+mx+my
（4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y) （5）15（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
9.若a-2=b+c，求a(a-b-c)+b(b+c-a)-c(a-b-c)；
10.长，宽分别为a，b的长方形，周长为14，面积为10，求ab(a+b)-a-b.
11.三角形三边长a,b,c满足(a+c)a2+(-a-c)(b2+c2)=0,试判断这个三角形的形状.
解：（2）原式=-6a(___)2-3a(a-b)
=-3a(a-b)(2a-2b+1)
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(总课时31)§4.2 提公因式法(2)
一.选择题：
1.下列变形错误的是（ D ）
A.（y-x）2=(x-y)2 B.-a-b=-(a+b) C.(a-b)3=-(b-a)3 D.-m+n=-(m+n)
2.下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是 ( B )
A.5a3+4a2-a=a(5a2+4a) B.p(a-b)2+pq(b-a)2=p(a-b)2(1+q)
C.-6x2(y-z)3+x(z-y)3=-3x(z-y)2(2x-z+y) D.-xn-xn+1-xn+2=-xn(1-x+x2)
3.把多项式 分解因式正确的是( D )
A. B. C. D.
4.已知，，是的三条边的长度，且满足，则△ABC是(C）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
5.下列各式可以写成的是(B）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
6.分解因式：a2-3a=a(a-3)
7.分解因式：m（x+y）+x+y=(m+1)(x+y)．
8.因式分解：（x+2）x-x-2=(x+2)(x-1)．
9.mn2(x-y)3+m2n(x-y)4 分解因式等于mn(x-y)3(n+mx-my)．
10.化简：a+1+a(a+1)+a(a+1)2+...a(a+1)99=(a+1)100．
三.解答题:
11.指出下列各组式子的公因式：
（1）5a3，4a2b，12abc；a （2）3x2y3，6x3y2z5，-12x2yz2；3x2y
（3）2a(a+b)2，ab(a+b)，5a(a+b)；a(a+b) （4）2xn+1，3xn-1，xn（n是大于1的整数）．xn-1
12.把下列各式因式分解：
（1）2x2+6x3； （2）a(b-c))+c-b；
解：(1)原式=2x2(1+3x) (2)原式=（b-c）(a-1)
（3）15b(2a-b)2+25(b-2a)2． （4）5(a-b)3+10(a-b)．
(3)原式=5（2a-b）2(3b+5) (4)原式=5（a-b）(a2+b2-2ab+2)
(5).3(x+y)(x-y)-(x-y)2． (6).a2(a-b)3-3a(a-b)4．
(5)原式=（x-y）(3x+3y-x+y) (6)原式=a(a-b)3(a-3a+3b)
=2(x-y)(x+2y) =a(a-b)3(3b-2a)
13.已知a+b=-2，，求a(a+b)(a-b)-a(a+b)2的值．
解：原式=a(a2-b2)-a(a2+b2+2ab)=a(-2b2-2ab)=-2ab(a+b)
当a+b=-2，ab=-2.5时，
原式=-2×（-2.5）×（-2）=-10
14.试说明817-279-913能被5整除．
所以能被5整除．
15.如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形组成图形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．
解：；；；
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(总课时31)§4.2 提公因式法(2)
【学习目标】会用提公因式法（多项式）分解因式.
【学习重难点】理解整体思想的运用以及代数式的符号变换.
【导学过程】
一.知识回顾
1.确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数绝对值的最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同字母；
（3）相同字母的指数取各项中的最低次幂.
2.提公因式法分解因式步骤：①找出公因式；②提公因式,(即用多项式除以公因式).
3.把下列各式因式分解
（1）am+an=a(m+n) （2）a2b–5ab=ab(a-5b) （3）–2x2y+4xy2–2xy=-2xy(x-2y+1)
二.探究新知
知识点一：多项式的符号转换
1.在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
(1)a–b=-（b–a） （2）-a–b=-（a+b） （3）(b–a)3=-(a–b)3 （4）(a–b)2=+(b–a)2
2.一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“+”或“-”）：
知识点二：用提取公因式法分解因式
引例1.观察下列各组整式，其中没有公因式的是( A )
A．2a+b和a+b B.5m(a-b)和-a+b C.3(a+b)和-a-b D.2x-2y和2
练习1.把多项式（3a－4b）（7a－9b）-（4a－5b）（9b-7a）分解因式的结果是（ B ）
A．（7a－9b）（a－b） B．（7a－9b）2 ;C．（7a－9b）（b－a） D．2（7a－9b）
引例2.分解因式：
（1）m(m-n)2+3n(n-m)2； （2）-6a(b-a)2-3a(a-b).
解：(1)原式=m(m-n)2+3(m-n)2
=(m-n)2（m+3）
练习2.分解因式：a（m–2）+b（2–m）=（m-2）(a-b)
三.典例与练习
例1.把下列各式分解因式（1）a(x-y)+b(y-x) （2）2（y–x）2+3（x–y）
解：（1）原式=a(x-y)-b(x-y)
＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）
练习3.把下列各式分解因式
（1）6（p-q）2–12（q-p） （2）a（m–2）+b（2–m）
解：(1)原式=6（q-p）(q-p-2) (2)原式=（m-2）(a-b)
例2.先因式分解，再计算求值：
(1)4x(m 2) x(2 m)2，其中x=1.5，m=6； （2）(a 2)2 6(2 a)，其中a= 2.
解：（1）4x(m 2) x(2 m)2
=x（m-2）(4-m+2)
=x（m-2）(6-m)
当x=1.5，m=6时
原式=x（m-2）(6-m)=0
练习4.不解方程组，求的值.
解：∵x-3y=1，2x+y=6，
∴=
=（x-3y）2（7y+2x-6y）=（x-3y）2（y+2x），
=1×6=6.
四.课堂小结
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-b和-b+a，即a-b=-b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b和b-a，即a-b=-（b-a）
五.分层过关
1.将3x（a-b）-9y（b-a）因式分解，应提的公因式是（ D ）
A. B. C. D.
2.下列各个分解因式中正确的是（ D ）
A. 10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c） B.（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C. x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D. （a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
3.把b2（x-2）+b（2-x）分解因式的结果为（ C ）
A. B. C. D.
4.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是( D )
A. m+1 B. 2m C. 2 D. m+2
5.多项式－ab（a-b）2＋a（b-a）2-ac（a-b）2分解因式时，所提取的公因式应是-a（a-b）2
6.（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.
7.4x(m－n)＋8y(n－m)2中各项的公因式是4(m－n).
8.请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2 （3）(x+y)2+mx+my
解：（1）原式=(x-y)(x+y)
（4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y) （5）15（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
（6）原式=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；
9.若a-2=b+c，求a(a-b-c)+b(b+c-a)-c(a-b-c)；
解：原式=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)
=（a-b-c）(a-b-c)
由a-2=b+c得：a-b-c=2，∴原式=4
10.长，宽分别为a，b的长方形，周长为14，面积为10，求ab(a+b)-a-b.
解：ab(a+b)-a-b=ab(a+b)-(a+b)
=(a+b)(ab-1)
∵2(a+b)=14,∴a+b=7,
由ab=10,得：ab(a+b)-a-b=7×9=63
11.三角形三边长a,b,c满足(a+c)a2+(-a-c)(b2+c2)=0,试判断这个三角形的形状.
解：∵(a+c)a2+(-a-c)(b2+c2)=（a+c）(a2-b2-c2)=0
∴a+c=0或a2-b2-c2=0，由a+c≠0，得：a2-b2-c2=0,
∴a2=b2+c2
∴三角形是直角三角形.
+
-
(n-m)2=(m-n)2
解：（2）原式=-6a(a-b)2-3a(a-b)
=-3a(a-b)(2a-2b+1)
解：（2）原式=2（x–y）2+3（x–y）
=（x-y）(2x-2y+3)
（2）原式=(a 2)2+6(a 2)
=（a-2）(a-2+6)
=（a-2）(a+4)
当a=-2时，原式=-8
（2）原式=-3x(4x2-4xy+y2)
=-3x(2x-y)2
（3）原式=(x+y)2+m(x+y)
=(x+y)(x+y+m)
（5）原式=15x（a-b）2+3y（a-b）
=3（a-b）（5ax-5bx+y）；
解;（4）原式=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］
=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)
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(总课时31)§4.2 提公因式法(2)
一.选择题：
1.下列变形错误的是（ ）
A.（y-x）2=(x-y)2 B.-a-b=-(a+b) C.(a-b)3=-(b-a)3 D.-m+n=-(m+n)
2.下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是 ( )
A.5a3+4a2-a=a(5a2+4a) B.p(a-b)2+pq(b-a)2=p(a-b)2(1+q)
C.-6x2(y-z)3+x(z-y)3=-3x(z-y)2(2x-z+y) D.-xn-xn+1-xn+2=-xn(1-x+x2)
3.把多项式 分解因式正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，是的三条边的长度，且满足，则△ABC是( ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
5.下列各式可以写成的是( ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
6.分解因式：a2-3a=______________
7.分解因式：m（x+y）+x+y=______________．
8.因式分解：（x+2）x-x-2=______________．
9.mn2(x-y)3+m2n(x-y)4 分解因式等于______________．
10.化简：a+1+a(a+1)+a(a+1)2+...a(a+1)99=______________．
三.解答题:
11.指出下列各组式子的公因式：
（1）5a3，4a2b，12abc；____ （2）3x2y3，6x3y2z5，-12x2yz2；____
（3）2a(a+b)2，ab(a+b)，5a(a+b)；____ （4）2xn+1，3xn-1，xn（n是大于1的整数）．____
12.把下列各式因式分解：
（1）2x2+6x3； （2）a(b-c))+c-b；
（3）15b(2a-b)2+25(b-2a)2． （4）5(a-b)3+10(a-b)．
(5).3(x+y)(x-y)-(x-y)2． (6).a2(a-b)3-3a(a-b)4．
13.已知a+b=-2，，求a(a+b)(a-b)-a(a+b)2的值．
14.试说明817-279-913能被5整除．
15.如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形组成图形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．
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