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(总课时32)§4.3 运用公式法（1）
【学习目标】了解运用公式法分解因式的意义；会用平方差公式进行因式分解.
【学习重难点】会用平方差公式进行因式分解.
【导学过程】
一.知识回顾
1.填空：
（1）（x+3）（x–3）=x2-9；（2）（4x+y）（4x–y）=(4x)2-y2=16x2-y2；
（3）（1+2x）（1–2x）=1-(2x)2=1-4x2；（4）（3m+2n）（3m–2n）=(3m)2-(2n)2=9m2-4n2．
2.根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2=（3m+2n）（3m–2n）；（2）16x2–y2=（4x+y）（4x–y）
（3）x2–9=（x+3）（x–3）；（4）1–4x2=（1+2x）（1–2x）．
二.探究新知
1.引入.∵（a+b）（a-b）=a2-b2 (整式乘法)
∴a2-b2=（a+b）（a-b）（因式分解）
结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为公式法.
平方差公式（因式分解）：a2–b2=（a+b）（a–b）
练习1.把下列各式因式分解：
(1)x2－16=(x+4)(x-4)（2）25–x2=(5+x)(5-x)（3）9–b2=(3+b)(3-b)
2.平方差公式的特点：
(1)公式左边:
①含有两项，②这两项异号，③能写成（ ）２－（ ）２的形式
(2)公式右边:两数的和乘以两数的差.
(3)形象表示：
①□2－△2＝(□＋△)(□－△) ②☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
练习2.判断下列各式能不能用平方差公式进行因式分解.
（1）m2-1 √ (2)x2+y2 × (3)-x2-y2 × (4)(-x)2-(-y)2 √
练习3.把下列各式写成平方形式.
（1）4x2=(2x)2 (2) 9y4=(3x2)2 (3)0.25m2n2=(0.5mn)2 (4)64a4b2=(8a2b)2
三.典例与练习
例1.判断正误
(1)x2+y2=(x+y)(x+y) (2)-x2+y2=(-x+y)(-x-y) (3)x2-y2=(x+y)(x-y) (4)-x2-y2=-(x+y)(x-y)
解：（1）× （2）× （3）√ （4）×
练习4下列可以用平方差公式（在有理数范围内）分解因式的是( B )
A.x2＋1 B.-x2＋1 C.x2-2 D.-x2-1
例2.把下列各式分解因式：
（1）m2-9n2=m2-（3n）2=（m+3n）（m-3n） (2)0.25q2-121p2=(0.5q)2-(121p)2=(0.5q+11p)(0.5q-11p)
练习5把下列各式分解因式：
(1)169x2-4y2 (2)9a2b2-b2q2
解：(1)原式=（13x+2y）（13x-2y） (2)原式=（3ab+bq）（3ab-bq）
例3.分解因式
(1)9(m+n)2-(m-n)2 （2）(a+b+c)2-(a-b+c)2
解：（1）原式=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] （2）原式=(a+b+c+a-b+c)(a+b+c-a+b-c)
=(4m+2n)(2m+4n) =(2a+2c)(2b)
=4(2m+n)(m+2n) =4b(a+c)
练习6.（1）x2-(a+b-c)2 （2）49(a-b)2-16(a+b)2
解：(1)原式=（x+a+b-c）（x-a-b+c） (2)原式=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]
=(11a-3b)(3a-11b)
四.课堂小结
1.因式分解决 互逆变形 整式乘法.
a2-b2=（a+b）(a-b)
2.一“提”二“用”三检验；
①辨清“形”与“式”②公因式先提出，再用“公式”；③平方两项需异号，定准“a”，“b”要仔细.
④整理因式细合并，分解彻底心中记.
五.分层过关
1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ C ）
A. B. C.2 D.
2.一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（B）
A. B. C. D.
3.因式分解(2x+3)2-x2的结果是( D )
A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
4.已知多项式x2+a能用平方差公式在有理数范围内分解因式,那么在下列四个数中a可以等于(C)
A.9 B.4 C.-1 D.-2
5．分解因式：x3－4xy2＝x(x+2y)(x-2y)．
6．已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为-15．
7．因式分解：(2a＋b)2－(a＋2b)2＝3(a+b)(a-b)．
8.分解因式：16－x2＝(4+x）(4-x）.
9.若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为12．
10．已知x－y－z＝4，且x2－(y＋z)2＝20，则x＋y＋z的值是5．
11.观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式.
(1)x2-1=(x+1)(x-1);
(2)x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1);
(3)x8-1=(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1);
(4)x16-1=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1);
(5)x32-1=(x16+1)(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1)
12.将下列多项式因式分解：
(1)a2－144b2； (2)16(x＋y)2－9(x－y)2； (3)m4－1
解：（1）原式=（a+12b）(a-12b) (2)原式=（7x+y）（x-7y） (3)原式=(m2+1)(m+1)(m-1)
(4)2xn＋2－8xn(n为自然数)； (5)－x4＋x2y2; (6)(a－2)(a－3)＋5a－42.
(4)原式=2xn(x+2)(x-2) (5)原式=x2(y+x)(y-x) (6)原式=(a+6)(a-6)
13.求证:两个连续偶数的平方差是4的倍数.
证明:设n为正整数,两个连续偶数为2n+2和2n,则
(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)×2=4×(2n+1),
被4整除后商为整数2n+1.
所以两个连续偶数的平方差是4的倍数.
=(a+b)(a－b)
a2－b2
=(a+b) (a－b)
a2－b2
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(总课时32)§4.3 运用公式法（1）
【学习目标】了解运用公式法分解因式的意义；会用平方差公式进行因式分解.
【学习重难点】会用平方差公式进行因式分解.
【导学过程】
一.知识回顾
1.填空：
（1）（x+3）（x–3）=_______；（2）（4x+y）（4x–y）=______________；
（3）（1+2x）（1–2x）=______________；（4）（3m+2n）（3m–2n）=______________．
2.根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2=______________；（2）16x2–y2=______________
（3）x2–9=______________；（4）1–4x2=______________．
二.探究新知
1.引入.∵（a+b）（a-b）=_______(整式乘法)
∴a2-b2=______________（因式分解）
结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为公式法.
平方差公式（因式分解）：a2–b2=（a+b）（a–b）
练习1.把下列各式因式分解：
(1)x2－16=______________（2）25–x2=______________（3）9–b2=______________
2.平方差公式的特点：
(1)公式左边:
①含有两项，②这两项异号，③能写成（ ）２－（ ）２的形式
(2)公式右边:两数的和乘以两数的差.
(3)形象表示：
①□2－△2＝(□＋△)(□－△) ②☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
练习2.判断下列各式能不能用平方差公式进行因式分解.
（1）m2-1 ____ (2)x2+y2 ____ (3)-x2-y2 ____ (4)(-x)2-(-y)2 ____
练习3.把下列各式写成平方形式.
（1）4x2=(____)2 (2) 9y4=(____)2 (3)0.25m2n2=(______)2 (4)64a4b2=(______)2
三.典例与练习
例1.判断正误
(1)x2+y2=(x+y)(x+y) (2)-x2+y2=(-x+y)(-x-y) (3)x2-y2=(x+y)(x-y) (4)-x2-y2=-(x+y)(x-y)
解：（1）____ （2）____ （3）____ （4）____
练习4下列可以用平方差公式（在有理数范围内）分解因式的是( )
A.x2＋1 B.-x2＋1 C.x2-2 D.-x2-1
例2.把下列各式分解因式：
（1）m2-9n2=m2-（3n）2=（m+3n）（m-3n） (2)0.25q2-121p2=(0.5q)2-(121p)2=(0.5q+11p)(0.5q-11p)
练习5把下列各式分解因式：
(1)169x2-4y2 (2)9a2b2-b2q2
例3.分解因式
(1)9(m+n)2-(m-n)2 （2）(a+b+c)2-(a-b+c)2
练习6.（1）x2-(a+b-c)2 （2）49(a-b)2-16(a+b)2
四.课堂小结
1.因式分解决 互逆变形 整式乘法.
a2-b2=（a+b）(a-b)
2.一“提”二“用”三检验；
①辨清“形”与“式”②公因式先提出，再用“公式”；③平方两项需异号，定准“a”，“b”要仔细.
④整理因式细合并，分解彻底心中记.
五.分层过关
1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. B. C.2 D.
2.一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）
A. B. C. D.
3.因式分解(2x+3)2-x2的结果是( )
A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
4.已知多项式x2+a能用平方差公式在有理数范围内分解因式,那么在下列四个数中a可以等于( )
A.9 B.4 C.-1 D.-2
4.分解因式：16－x2＝________.
5．分解因式：x3－4xy2＝________．
6．已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为____．
7．因式分解：(2a＋b)2－(a＋2b)2＝________．
8．若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可能是________．
9.若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________．
10．已知x－y－z＝4，且x2－(y＋z)2＝20，则x＋y＋z的值是________．
11.观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式.
(1)x2-1=(x+1)(x-1);
(2)x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1);
(3)x8-1=(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1);
(4)x16-1=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1);
(5)________________________________________
12.将下列多项式因式分解：
(1)a2－144b2； (2)16(x＋y)2－9(x－y)2； (3)m4－1
(4)2xn＋2－8xn(n为自然数)； (5)－x4＋x2y2; (6)(a－2)(a－3)＋5a－42.
13.求证:两个连续偶数的平方差是4的倍数.
a2－b2
=(a+b) (a－b)
=(a+b)(a－b)
a2－b2
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(总课时32)§4.3 运用公式法（1）
一.选择题：
1.下列各式中，能用平方差公因式分解的是( )
A. x2＋x B. x2＋8x＋16 C. x2＋4 D. x2－1
2.因式分解x2y－4y的结果是( )
A．y(x2－4) B．y(x－2)2 C．y(x＋4)(x－4) D．y(x＋2)(x－2)
3.下列各式从左到右的变形中，是用公式法分解因式的是（ ）
A.x(a-b)=ax-bx B. x2-1+y=(x-1)(x+1)+y2 C.x2-1=(x+1)(x-1) D.ax+bx=x(a+b)
4.计算1052－952的结果为( )
A. 1000 B. 1980 C. 2000 D. 4000
5.已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，判断△ABC的形状( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
二.填空题：
6.分解因式：x2－4＝________.
7.已知|x－y＋2|＋＝0，则x2－y2的值为____.
8.若a，b互为相反数，则a2－b2＝____.
9.因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝________．
10.因式分解：x3y9xy3________________．
三.解答题：
11.把下列各式因式分解:
（1）4x2－9y2; （2）4m3n－16mn3 （3）16(x－y)2－9(x＋y)2
（4）x2(x－y)2－4(y－x)2 （5）(x-y)2-9(x+y)2； （6）x2(x-y)2-4(y-x)2.
12.如右图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b＜0)的正方形．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积．
13.如图①所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,将图①中阴影部分进行剪拼,可得如图②所示图形.
(1)请问用这两个图可以验证因式分解中哪个公式
(2)若图①中的阴影部分的面积是12,a-b=3,求a+b的值;
14.计算：(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－)×(1－)．
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(总课时32)§4.3 运用公式法（1）
一.选择题：
1.下列各式中，能用平方差公因式分解的是( D )
A. x2＋x B. x2＋8x＋16 C. x2＋4 D. x2－1
2.因式分解x2y－4y的结果是( D )
A．y(x2－4) B．y(x－2)2 C．y(x＋4)(x－4) D．y(x＋2)(x－2)
3.下列各式从左到右的变形中，是用公式法分解因式的是（ C ）
A.x(a-b)=ax-bx B. x2-1+y=(x-1)(x+1)+y2 C.x2-1=(x+1)(x-1) D.ax+bx=x(a+b)
4.计算1052－952的结果为( C )
A. 1000 B. 1980 C. 2000 D. 4000
5.已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，判断△ABC的形状( D )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
二.填空题：
6.分解因式：x2－4＝(x－2)(x＋2).
7.已知|x－y＋2|＋＝0，则x2－y2的值为-4.
8.若a，b互为相反数，则a2－b2＝0.
9.因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝(a+b)(a-b)2．
10.因式分解：x3y 9xy3 xy( x 3y)( x 3y)．
三.解答题：
11.把下列各式因式分解:
（1）4x2－9y2; （2）4m3n－16mn3 （3）16(x－y)2－9(x＋y)2
解：原式=4mn(m＋2n)(m－2n) 原式=(2x＋3y)(2x－3y) 原式=(7x－y)(x－7y)
（4）x2(x－y)2－4(y－x)2 （5）(x-y)2-9(x+y)2； （6）x2(x-y)2-4(y-x)2.
原式=(x－y)2(x＋2)(x－2) 原式=-4（2x+y）（x+2y） 原式=(x-y)2(x+2)(x-2)
12.如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b＜0)的正方形．
(1)用代数式表示阴影部分的面积；
(2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积．
解：(1)S阴影＝a2－4b2；
(2)S阴影＝(a＋2b)(a－2b)＝(15.4＋2×3.7)(15.4－2×3.7)＝22.8×8＝182.4.
13.如图①所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,将图①中阴影部分进行剪拼,可得如图②所示图形.
(1)请问用这两个图可以验证因式分解中哪个公式
(2)若图①中的阴影部分的面积是12,a-b=3,求a+b的值;
解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)由题意知a2-b2=12.∵a-b=3,∴由(1)得a+b=(a2-b2)÷(a-b)=12÷3=4.
14.计算：(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－)×(1－)．
解：原式＝(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×…×(1－)×(1＋)
＝××××××…××
＝×
＝.
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