2023-2024学年数学八年级一次函数单元测试试题（沪教版）提升卷一含解析

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2023-2024学年数学八年级一次函数（沪教版）
单元测试 提升卷一 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则点可能是（　　）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则点与其对应点之间的距离（ ）
A． B． C．3 D．4
3．（本题3分）关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点
B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为
C．图象不经过第二象限
D．若两点在该函数图象上，则
4．（本题3分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）函数的图像经过点，则的值（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（本题3分）超市春季促销，某种水果购买以上，超过的部分享受优惠，买苹果花的钱(元)和质量(千克)的函数关系如图，且每购买一次苹果时必须同时购买一个环保塑料袋(单价元)，某人第一次买了后，觉得好吃，于是又购买了，若用这两次购买苹果的总钱数一次性购买此种苹果，那么可以比分两次购买多买( )
A． B． C． D．
7．（本题3分）在平面直角坐标系中，过点的直线交x轴、y轴于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．以上均不正确
8．（本题3分）已知a是方程的一个实数根，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（本题3分）甲乙两车从城出发匀速驶向城，在整个行驶过程中，两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图，下列结论正确的有（ ）个
①、两城相距千米；
②甲车比乙车早出发小时，却晚到小时；
③相遇时乙车行驶了小时；
④当甲乙两车相距千米时，的值为或或或．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（本题3分）如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解为 ．
12．（本题3分）如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是 ．
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，一次函数的图像不经过第 象限．
14．（本题3分）对于任意实数m，一次函数的图像必过定点 ．
15．（本题3分）2023年杭州亚运会竞赛项目中，有一个中华民族传统运动项目－赛龙舟，此项比赛共分为六个小项目，中国健儿成绩骄人，共获得五金一银．在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分钟到达终点；②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米；③当划行分钟时，甲队追上乙队；④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米．其中正确的是 ．
16．（本题3分）直线与直线（是常数，且）交于点A，当的值发生变化时，点A到直线的距离总是一个定值，则的值是 ．
17．（本题3分）如图，一个等腰直角放置在直角坐标系中，其直角顶点与原点重合，点落在第一象限，点坐标为；与轴交于点，点在轴正半轴上，连接，当时，的长为 ．

18．（本题3分）如图，D是外一点，，，，若，则取最小值时， ．

评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
(1)求每千克花生、茶叶的售价；
(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销800千克，若花生销售数量不低于茶叶销售数量，设花生和茶叶的销售总利润为元，求的最大值．
20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点，与y轴相交于点．

(1)求直线l的函数表达式；
(2)在y轴上是否存在点M，使是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本题10分）某文具商店计划用不超过2300元的资金购买书包和计算器共50个，已知书包和计算器的进价与售价如表．设购买书包个(其中)，购买书包的费用为元，购买计算器的费用为元．
每件商品 进价(元) 售价(元)
书包 50 65
计算器 40 50
(1)当时，________，________；
(2)设售出这批书包和计算器共盈利元，文具店购进多少个书包时，才能获得最大利润？最大利润是多少？
22．（本题10分）如图，一次函数的图象与坐标轴交于两点，目，与正比例函数的图象交手点，若．
(1)求一次函数和正比例函数的表达式；
(2)结合图象直接等出不等式的解集．
23．（本题10分）一辆货车和一辆轿车先后从A地出发沿同一直道去B地．已知A、B两地相距，轿车的速度为，图中、分别表示货车、轿车离A地的距离与时间之间的函数关系．
(1)货车的速度是______；
(2)求两车相遇时离A地的距离；
(3)在轿车行驶过程中，当______h时，两车相距．
24．（本题10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点在轴的正半轴上，且，求的面积；
(3)若点在轴上，且为锐角，直接写出的取值范围．
25．（本题10分）已知直线l的函数表达式为（b为常数），点，点，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连结，将沿直线l翻折，得，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．
(1)求点C的坐标．
(2)当点F在y轴上时，求b的值．
(3)当与y轴有交点时，求b的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查一次函数图象的性质，根据一次函数的性质，，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．据此求解即可．
【详解】解：由函数图象得：y随x的增大而增大，与y轴交于负半轴，
，
四个选项中只有符合点的性质，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查平移的性质及正比例函数图像上点的坐标特征，根据点在直线上及平移性质得出坐标，根据平移的性质得出点与其对应点之间的距离等于点与其对应点之间的距离即可得答案．正确得出点坐标是解题关键．
【详解】解：∵沿轴向右平移后得到，点的坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴，
∴点与其对应点之间的距离为，
∴点与其对应点之间的距离为．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了一次函数的几何变换，一次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键．
把代入求出y的值，即可判断A；根据平移的性质即可判断B；由，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，可判断C；由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，即可判断D．
【详解】解：A、当时，，
∴图象不经过点，
故A错误，不符合题意；
B、图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为，
故B错误，不符合题意；
C、解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数的图象不经过第三象限，
故C错误，不符合题意；
D、∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵点都在该函数图象上，
∴，
故D正确，符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了判定一次函数图象，分别求出当时， 此时一次函数经过第二、三、四象限；当时， 此时一次函数经过第一、二、三象限，由此即可得到答案，熟知一次函数的性质是解题的关键．
【详解】∵一次函数解析式为，
当时，
∴，
∴此时一次函数与轴交于负半轴，即此时一次函数经过第二、三、四象限；
当时，
∴，
∴此时一次函数与轴交于正半轴，即此时一次函数经过第一、二、三象限；
∴满足题意的只有选项，
故选：．
5．B
【分析】本题考查一次函数图像与性质，将点代入得方程求解即可得到答案，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：函数的图像经过点，
，解得，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的应用；观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出与之间的函数关系式，分别代入、求出值，将两个值与相加代入函数关系式中求出值，用其减去即可得出结论．
【详解】解：设与之间的函数关系式为，
将、代入中，
，解得：，
；
将、代入中，
，解得：，
．
当时，；
当时，；
当时，，
．
故选：B．
7．B
【分析】首先求出，所在直线的解析式为，然后将代入得到，然后代入变形为，利用换元法和完全平方公式得到，然后利用平方的非负性求解即可．
【详解】设，所在直线的解析式为
∴，解得
∴
∴将代入得
整理得，即
∴
设
∴原式
∵
∴
∴的最小值为
∴的最小值为．
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，分式的混合运算，二次根式的化简，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
8．B
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由a是方程的一个实数根，则有，显然，通过变形得，因为，所以，由此可判断直线不经过的象限，通过因式分解对方程进行整理得出的取值范围，是解题的关键．
【详解】解：由a是方程的一个实数根，则有，显然，
通过变形得，
因为，
所以，
，
故随着的增大而增大，且交轴于负半轴，故不经过第二象限，
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查一次函数与行程的综合应用；根据函数图像的性质可推出①②，运用待定系数法分别求出甲、乙的解析式即可推断③④，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，①两城相距千米，正确；
②甲车比乙车早出发小时，甲走完全程用了小时，乙走完全程用了小时，乙比甲早到小时，正确；
③设甲的路程与时间的函数解析式为，经过，
∴，解得，，
∴甲的路程与时间的函数解析式为，
设乙的路程与时间的函数解析式为，经过，
∴，解得，，
∴乙的路程与时间的函数解析式为，
甲、乙相遇，则，
∴，解得，，
∴相遇时乙车行驶了小时，故③错误；
∵甲的路程与时间的函数解析式为，乙的路程与时间的函数解析式为，
∴情况一：相遇前，甲先走，乙未走，，则，解得，；
乙开始走，，则，解得，；
情况二：相遇后，，则，解得，；
当时，乙到达；当时，；
综上所述，当甲乙两车相距千米时，的值为或或或，故④错误；
∴正确的有：①②，
故选：B．
10．C
【分析】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
，故正确；
∵，
∴，，
∴，，
如答图，过点作轴于点，
则，，
在线段上取一点，使得，连接，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
又∵，
∴点与点关于直线对称，故正确；
由题意，点与点不重合，
∴，
∴， 故错误；
设， 则，，
设直线的解析式为，则有，
，解得，
∴，
令，得，
∴，
令，得，
∴，
如上答图， 过点作轴于点，则，，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，解得，
∴, 故命题正确；
综上所述，正确的命题是：，共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
11．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与不等式的关系：一次函数的图象在正比例函数的图象上方且在轴下方部分，可得答案．数形结合是解题的关键．
【详解】解：由图象，得
关于的不等式的解为为，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了观察函数图象的能力．根据函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：，
，
函数与函数的图象交于点，
即的x的取值范围为：，
关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
13．三
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由，，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，进而即可求解．
【详解】解：，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三
14．
【分析】本题考查了函数恒过定点的应用问题，是基础题．把函数化为，令m的系数等于0，即可求得对应的值．
【详解】解：∵一次函数，
∴可化为
令，则，
故，
∴函数的图象必过定点．
故答案为：．
15．①②③
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识．由图可判断①；设，利用待定系数法求得，，根据图象当时，，，进而可判断②，当时，可设，利用待定系数法求得，与联立方程组，解方程组即可判断③④，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：观察图象可知：甲队比乙队提前分到达终点，故①正确；
设，由图得：当时，，
则，
解得：，
，
当时，，，
（米），
当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米，故②正确；
当时，可设，由图得，直线经过和，
则，
解得：，
，
，
，
解得：，
当划行分钟时，甲队追上乙队，两队划行的路程都是米，故③正确，故④错误；
其中错误的是④，
故答案为：①②③．
16．3
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线直线与直线平行，即可求出m的值．
【详解】解：∵直线与直线（是常数，且）交于点A，
解析式联立
解得，，，
∴
∴，
当m为一个的确定的值时，是的正比例函数，
即：点A在直线上，
∵点A到直线的距离总是一个定值，
∴直线与直线平行，
∴，
∴
故选：C．
17．
【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形，一次函数等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．先作辅助线构造全等三角形，得出对应边相等即可求出点的坐标．
【详解】解：过点B作轴，过A作轴，如图：

∵等腰直三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B的坐标为，
∴点A的坐标为，
又∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为
把点A的坐标为和点B的坐标为分别代入，
得
解得
由点的坐标可得直线的解析式为，
∴，
∴．
故答案为：．
18．/
【分析】延长交于点，得到，再通过线段的转换得到，过点作的垂线段，且使，证明，根据两点之间线段最短得到三点共线时，取得最小值，以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，过点作轴的垂线段，交轴于点，求得点坐标，即可计算的值，即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
过点作的垂线段，且使，
，
，
，
，
取最小值时，取最小值，即三点共线时，取得最小值，
以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，过点作轴的垂线段，交轴于点，
，
设直线的解析式为，
把代入可得，解得，
直线的解析式为，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，可得，
解得，
，
设的解析式为，
把代入可得，
解得，
的解析式为，
联立方程组，
解得，
，
，
根据勾股定理可得，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求一次函数及其交点坐标，坐标与图形，作出正确的辅助线，利用建立直角坐标系的方法求得的长，是解题的关键．
19．(1)每千克花生10元，每千克茶叶50元；
(2)当花生销售400千克，茶叶销售400千克时利润最大，w的最大值为7200．
【分析】本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
（1）设每千克花生x元，每千克茶叶元，，列出一元一次方程求解即可；
（2）设花生销售m千克，茶叶销售千克，花生销售数量不低于茶叶销售数量，求出m的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求最大值．
【详解】（1）解：设每千克花生x元，每千克茶叶元，
根据题意得：，
解得：，
（元），
答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；
（2）解：设花生销售m千克，茶叶销售千克，利润w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∵花生销售数量不低于茶叶销售数量
∴
∵，
∴当时，利润w最大，
此时花生销售400千克，茶叶销售（千克），
w最大（元），
∴当花生销售400千克，茶叶销售400千克时利润最大，w的最大值为7200．
20．(1)直线l的函数解析式为；
(2)存在，点的坐标为或或或．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法和采用分类讨论的思想是关键．
（1）直接利用待定系数法即可求出答案；
（2）分三种情况讨论①当，②当，③当时即可求出答案．
【详解】（1）解：把点，代入得，
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下：
，，
，
①当时，点的坐标为；
②当时，，
，
点的坐标为；
③当时，，
，
点的坐标为或；
点的坐标为或或或．
21．(1)500，1600
(2)购进30个书包时，才能获得最大利润，最大利润是650元
【分析】本题考查一次函数的应用；
（1）先写出，的关系式，再把分别代入求值即可；
（2）根据总利润等于书包和计算器利润之和列出函数关系，由函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设购买书包个，则购买计算器个，
购买书包的费用，
购买计算器的费用，
当时， (元)，
(元)，
故答案为：，；
（2）由题意得：，
，
随的增大而增大，
时，利润最大， (元)，
与之间的函数关系式为，文具店购进个书包时，才能获得最大利润，最大利润是元．
22．(1)一次函数，正比例函数
(2)
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，求一次函数解析式；
（1）先求出两点坐标，即可求出解析式，再设点坐标根据列方程求出点坐标代入计算即可；
（2）观察函数图象发现满足不等式的点都在点左边，即可解不等式．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵一次函数的图象与坐标轴交于两点，
∴，解得，
∴一次函数，
∴设，
∵，
∴,
∴，
解得，
∴，
∵与正比例函数的图象交手点，
∴，解得，
∴正比例函数；
（2）由函数图象可得不等式的解集为．
23．(1)60
(2)相遇时离A地
(3)或
【分析】本题考查一次函数的实际应用．利用待定系数法正确求出函数解析式是解题关键．
（1）由图可知货车行驶，即可直接求出货车的速度；
（2）求出点E坐标为，再利用待定系数法分别求出，，最后联立求解即可；
（3）分类讨论：当货车在轿车前面时和当轿车在货车前面时，分别列出关于t的等式，解之即可．
【详解】（1）解：由图可知，货车行驶，
∴货车的速度是．
故答案为：60；
（2）解：设的函数表达式为，将代入得，
解得，
∴，
∵，
∴，
设的函数表达式为，将，代入得：
，
解得，
∴，
由，
解得：，
此时，
∴相遇时离A地；
（3）解：当货车在轿车前面时，，
解得：，
当轿车在货车前面时，，
解得：，
故答案为：或．
24．(1)反比例函数的表达式为
(2)的面积为
(3)的取值范围是：或
【分析】（1）将点，可求出点坐标，代入，求出值，即可求解，
（2）根据反比例函数的对称性，可得点坐标，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可求的长度，进而求出，即可求解，
（3）找到为直角时的临界点点，分两种情况讨论，即可求解，
本题考查了，反比例函数与一次函数交点，求反比例函数解析式，反比例函数的对称性，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半，及其逆应用．
【详解】（1）解：将得：，
，
，
将点代入得：，
，
故答案为：反比例函数的表达式为，
（2）解：依题意可得：点和点关于原点对称，则有点是的中点，
点，
，
，
，
，
则点，
，
故答案为：的面积为，
（3）解：由（2）知：，

①当点在轴负半轴上时，当时，，
当为锐角时，，即：，
②当点在轴正半轴上时，当时，，
当为锐角时，，即：，
故答案为：的取值范围是：或．
25．(1)；
(2)；
(3)；
【分析】（1）本题考查旋转的性质与全等三角形的判定与性质，过B作，过C作，根据旋转得到，证明即可得到答案；
（2）本题考查轴对称的性质，设点根据轴对称的性质对称轴垂直平分对应点的连线，得到中点在直线上，用表示出，结合折叠相等列式求解即可得到答案；
（3）本题考查轴对称的性质，不等式组的应用，及一次函数的应用，分别表示出，的坐标，结合有交点列不等式组求解即可得到答案；
【详解】（1）解：过B作，过C作，
∵绕点A顺时针旋转得线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵点F在y轴上，
∴设点，
∵沿直线l翻折，得，
∴点在上，且，
∴，
解得：，
当时，，
∴，
∴
解得：；
（3）解：∵与y轴有交点，
，
∴当点在y轴上时，设点，
∵沿直线l翻折，得，
∴点在上，且，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
当点D在y轴上时，设点，
∵沿直线l翻折，得，
∴点在上，且，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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