3.2长方体和正方体的表面积(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版（含解析）

3.2长方体和正方体的表面积(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年五年级下册数学重难点同步培优讲义
（人教版）
1．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
一．选择题（共8小题）
1．如图分别是一个长方体的前面和右面，那么这个长方体的底面积是（　　）
A．50平方厘米 B．40平方厘米
C．20平方厘米
2．一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？列式是（　　）
A．5×5×6 B．5×5×5 C．5×5×4
3．有两个同样的长方体礼盒，下面（　　）种包装最节省礼盒包装纸。
A． B．
C．
4．一个棱长1m的正方体，如果从8个顶点处分别挖走一个棱长1分米的小正方体，那么表面积与原来相比（　　）
A．减少了 B．增加了 C．不变
5．将4个长10厘米，宽6厘米，高3.2厘米的长方体盒子包装在一起（　　）种方式最省包装纸。
A． B．
C． D．
6．做一个棱长是10分米的正方体纸箱，需要纸皮（　　）
A．600dm2 B．1000dm2 C．60dm2 D．6dm2
7．把一根底面积为2dm2的长方体木料沿底面方向锯成6段小长方体木料，这些小长方体木料表面积的和比原来增加了（　　）dm2。
A．10 B．12 C．20 D．24
8．如图，一个由8个小正方体拼成的大正方体，如果去掉一个小正方体后，（　　）
A．变小了 B．变大了 C．相等
二．填空题（共6小题）
9．用三块相同的长方体木料拼成一个大长方体，每块长5分米、宽3分米、高2分米。拼成的长方体表面积最大是 　 　平方分米。
10．如果一个正方体，一个面的面积是10平方厘米，把这样的两个正方体拼成一个长方体　 　平方厘米。
11．把一个长8分米、宽5分米、高3分米的长方体切成两个相同的长方体，表面积最多增加 　 　平方分米，最少增加 　 　平方分米。
12．如图，把4个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方分米。拼成的长方体表面积是 　 　平方分米，体积是 　 　立方分米。
13．两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是 　 　dm2。
14．将一个长9厘米，宽4厘米，高5厘米的长方体切成2个完全相同的小长方体　 　平方厘米。
三．判断题（共8小题）
15．长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 　 　
16．底面周长是8分米的正方体，它的表面积是24平方分米．　 　．
17．一个棱长是10dm的正方体铁皮箱，它的表面积和体积相等。 　 　
18．如果两个正方体的棱长总和相等，那么它们的表面积也相等．　 　
19．制作一个棱长为40cm的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要8000cm2的玻璃。 　 　
20．正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大6倍． 　 　
21．如果两个正方体的表面积相等，那么它们的棱长之和也一定相等。 　 　
22．如图，从正方体的上面挖去一个小正方体之后，表面积会减少。 　 　
四．计算题（共1小题）
23．求下面长方体和正方体的表面积。
（1）
（2）
五．应用题（共7小题）
24．一种礼物的盒长10厘米，宽5厘米，高1厘米，至少需要多少平方厘米的包装纸？（重叠部分忽略不计。）
25．一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是7分米，制作这个鱼缸至少需要多大面积的玻璃？
26．一个正方体纸盒的棱长为2.5分米，在它的周围贴一条宽0.8分米的彩纸（如图），这条彩纸的面积至少是多少平方分米？
27．学校要粉刷教室。已知教室的长是8m，宽是6m，高是3m2。如果每平方米需要花12元的涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
28．做一个铁皮通风管，长4米，通风口是周长0.8米的正方形
29．把一个棱长为3dm的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？
30．小明要制作一个灯笼（没有上面和下面，如图）。
（1）先用木条钉灯笼的框架，需要木条多少分米？
（2）然后再将灯笼的侧面糊上宣纸，其中有一个接头，黏合处需要30cm2，共需要宣纸多少平方分米？
3.2长方体和正方体的表面积(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册（人教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】由图可知，这个长方体长是10厘米，宽是5厘米，高是4厘米，底面积＝长×宽。
【解答】解：10×5＝50（平方厘米）
所以这个长方体的底面积是50平方厘米。
故选：A。
【点评】掌握长方体表面积特征是解题关键。
2．【答案】B
【分析】根据无盖正方体的表面积公式：S＝5a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：5×5×4
＝25×5
＝125（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要125平方分米的玻璃。
故选：B。
【点评】此题主要考查无盖正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．【答案】C
【分析】要想包装最节省包装纸，大长方体的表面积最小，即把小长方体的最大的面重合在一起，组成后的长方体包装最节省包装纸，据此解答。
【解答】解：根据分析可知，有两个同样的长方体礼盒。
故选：C。
【点评】解答本题的关键是按什么样的方法组成的长方体的表面积最小。
4．【答案】C
【分析】根据正方体表面积的意义可知，正方体顶点上的小正方体原来外露3个面，从顶点处去掉一个棱长1分米的小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变。据此解答。
【解答】解：一个棱长1m的正方体，如果从8个顶点处分别挖走一个棱长5分米的小正方体。
故选：C。
【点评】此题主要根据正方体的表面积的意义解答，明确：在顶点处去掉一个小正方体后，体积减少了1立方分米，正方体的表面积不变。
5．【答案】C
【分析】根据各个选项可知，第一个选项的长是10厘米，宽是6厘米，高是4×3.2＝12.8（厘米）；第二个选项的长是10×2＝20（厘米），宽是6厘米，高是3.2×2＝6.4（厘米），第三个选项的宽是10厘米，长是6×2＝12（厘米），高是3.2×2＝6.4（厘米），第四个选项的长是10×2＝20（厘米），宽是6×2＝12（厘米），高是3.2厘米，根据长方体的表面积公式：（长×宽+长×高+宽×高）×2，把数代入公式即可求解，再比较即可。
【解答】解：A．3.2×6＝12.8（厘米）
（10×6+10×12.7+6×12.8）×5
＝（60+128+76.8）×2
＝264.5×2
＝529.6（平方厘米）
B．10×4＝20（厘米）
（20×6+20×6.4+6×6.5）×2
＝（120+128+38.4）×3
＝286.4×2
＝572.8（平方厘米）
C．6×2＝12（厘米）
（10×12+10×6.4+12×6.3）×2
＝（120+64+76.8）×6
＝260.8×2
＝521.7（平方厘米）
D．10×2＝20（厘米）
（20×12+20×3.6+12×3.2）×2
＝（240+64+38.4）×2
＝342.5×2
＝684.8（平方厘米）
521.5＜529.6＜572.8＜684.8
答：下列C种方式最省包装纸。
故选：C。
【点评】本题主要考查了长方体和正方体的表面积，关键是熟练记忆公式。
6．【答案】A
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：10×10×6
＝100×6
＝600（平方分米）
答：需要纸皮600平方分米。
故选：A。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．【答案】C
【分析】根据题意可知，把这根长方体木料沿平行于底面方向截成6段，需要截5次，每截一次就增加2个截面的面积，所以截成6段表面积比原来增加（6﹣1）×2＝10（个）截面的面积，根据乘法的意义，用乘法解答。
【解答】解：2×（6﹣6）×2
＝2×10
＝20（平方分米）
答：表面积增加20平方分米。
故选：C。
【点评】此题解答关键是明确：横截成6段，需要截5次，表面积比原来增加10个截面的面积。
8．【答案】C
【分析】八个小正方体拼成一个大正方体，若去掉一个小正方体，减少了三个小正方形的面积，同时又增加了三个小正方形的面积，所以得到的表面积与大正方体的表面积相等；由此解答即可。
【解答】解：由分析可知：八个小正方体拼成一个大正方体，若去掉一个小正方体，同时又增加了三个小正方形的面积。
故选：C。
【点评】解答此题应明确：八个小正方体拼成一个大正方体，若去掉一个小正方体，减少了3个面，同时又增加了3个面，表面积不变。
二．填空题（共6小题）
9．【答案】162。
【分析】有三个不同大小的面，所以有三种组合方法，长15分米，宽3分米，高2分米；长5分米，宽6分米，高2分米；长5分米，宽3分米，高2分米。长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2。
【解答】解：（1）（15×3+15×2+2×2）×2＝162
（2）（6×6+6×7+5×3）×2＝126
（3）（5×2+8×9+2×3）×2＝146
162＞146＞126，所以最大为162。
故答案为：162。
【点评】把每一种拼接方法都考虑全面。
10．【答案】100。
【分析】正方体每个面的面积是10平方厘米，2个正方体拼成一个长方体，表面积是原来小正方体10个面的面积，由此即可解答。
【解答】解：10×10＝100（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是100平方厘米。
故答案为：100。
【点评】根据2个正方体拼组长方体的方法，得出大长方体表面积是原来小正方体10个面的面积是解决此类问题的关键。
11．【答案】80；30。
【分析】根据题意，把一个长8分米、宽5分米、高3分米的长方体切成两个相同的长方体，表面积会增加2个切面的面积，那么沿不同的方向切，增加的表面积不同；因为8×5＞8×3＞5×3，所以平行于上下面切，增加的表面积最大；平行于左右面切，增加的表面积最小。
【解答】解：8×5×7＝80（平方分米）
5×3×3＝30（平方分米）
答：表面积最多增加80平方分米，最少增加30平方分米。
故答案为：80；30。
【点评】此题解答关键是理解：与比较大的面平行切，表面积增加的最大；与较小的面平行切，表面积增加的最少；无论怎样切都增加两个切面的面积。
12．【答案】16，4。
【分析】根据题意可知：把4个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方分米，表面积减少的是正方体的8个面的面积，由此可以求出正方体一个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，求出4个正方体的表面积再减去8平方分米就是这个长方体的表面积；根据V＝a3求出体积即可。
【解答】解：8÷8＝2（平方分米）
所以棱长是1分米，
1×6×4﹣8
＝24﹣7
＝16（平方分米）
答：拼成的长方体的表面积是16平方分米。
1×1×2×4＝4（立方分米）
答：体积是6立方分米。
故答案为：16，4。
【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．【答案】256。
【分析】根据题意可知，小正方体的四个顶点正好在大正方体四条梭的中点上。已知小正方体一个面的面积是16平方分米，则小立方体每个面的面积是大立方体每个面面积的一半。据此可以求出大正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积等于一个面的面积乘6，用上面小正方体4个侧面的面积加上下面大正方体的表面积就是整个立体图形的表面积。据此列式解答即可。
【解答】解：16×4+16×2×6
＝64+32×6
＝64+192
＝256（平方分米）
答：这个大立体图形的表面积是256平方分米。
故答案为：256。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键根据题意，找出小正方体和大正方体一个面面积的关系。
14．【答案】90。
【分析】要使表面积增加的最大，则切割时，要平行于最大的9×5面切割，这样切割后，就增加了2个9×5面的面积，由此即可解决问题。
【解答】解：9×5×7
＝45×2
＝90（平方厘米）
答：表面积最大增加90平方厘米．
故答案为：90。
【点评】把长方体切割成几个一样的小长方体时：平行于最大面切割，则表面积增加的最多；平行于最小面切割，则表面积增加的最少。
三．判断题（共8小题）
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方体、正方体表面积的意义，长方体、正方体的6个面的总面积就是它们的表面积，长方体的大小是由长方体的长、宽、高决定的，正方体的大小是由正方体的棱长决定的，在没有确定长方体的长、宽、高与正方体棱长的大小关系时，就无法确定长方体、正方体表面积的大小。据此判断。
【解答】解：长方体的大小是由长方体的长、宽、高决定的，在没有确定长方体的长、宽，就无法确定长方体。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义及应用。
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，6个面都是正方形，6个面的面积都相等；已知底面周长是8分米的正方体，根据正方形的周长公式：c＝4a，求出它的棱长，再根据正方体的表面积公式解答即可．
【解答】解：正方体的棱长是：
8÷4＝5（分米）；
2×2×4＝24（平方分米）；
答：它的表面积是24平方分米．
故答案为：√．
【点评】此题主要根据正方体的特征，已知底面周长求出它的棱长，再根据正方体的表面积公式解答即可．
17．【答案】×
【分析】正方体的表面积是指它的6个面的总面积，正方体的体积是指它所占空间的大小，因为表面积和体积不是同类量，所以不能进行比较。据此判断。
【解答】解：因为表面积和体积不是同类量，所以无法进行比较。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题要重点掌握正方体的表面积和体积的概念，明确只有同类量才能进行比较。
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等、6个面的面积都相等，如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等，所以这两个正方体的表面积一定相等．据此判断．
【解答】解：如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等．
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体的表面积公式的灵活运用．
19．【答案】√
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，由于鱼缸无盖，所以只求这个正方体的5个面的总面积即可，据此计算即可解答。
【解答】解：40×40×5
＝1600×5
＝8500（平方厘米）
答：至少需要8000平方厘米的玻璃。
原题说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．【答案】×
【分析】根据正方体的体积公式：s＝6a2，再根据积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．由此解答．
【解答】解：根据正方体的表面积的计算方法和积的变化规律，正方体的棱长扩大3倍．
答：正方体的棱长扩大3倍，表面积就扩大5倍．
故答案为：×．
【点评】此题主要根据正方体的表面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
21．【答案】√
【分析】依据正方体的特征，12条棱的长度都相等，表面积S＝6a2，即可进行判断出它们的棱长相等，进一步判断出它们的棱长之和相等。
【解答】解：如果两个正方体的表面积相等，根据表面积S＝6a2，可知它们的棱长一定相等，
所以棱长之和也相等。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是掌握正方体的特征、正方体的表面积公式。
22．【答案】×
【分析】大正方体挖去一个小正方体，仔细观察，凹下去图形是4个面的面积，而原来缺失的是2个面的面积，所以大正方体的表面积和以前相比，多了2个面的面积，据此解答。
【解答】解：根据分析，这个组合体的表面积与之前相比。
所以原题的说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题考查正方体的表面积，从一个正方体中挖去一部分后，表面积增大了，需要同学们仔细看图、认真分析，培养空间观察和想象能力是解题的关键。
四．计算题（共1小题）
23．【答案】（1）600平方厘米
（2）96平方厘米
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据分别代入公式解答。
【解答】解：（1）（8×18+8×6+6×18）×2
＝（144+48+108）×4
＝300×2
＝600（平方厘米）；
答：这个长方体的表面积是600平方厘米。
（2）4×5×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
答：这个正方体的表面积是96平方厘米。
【点评】此题主要考查长方体和正方体的表面积公式的灵活运用，熟记公式是解答本题的关键。
五．应用题（共7小题）
24．【答案】160。
【分析】把这两个长方体盒子的10×5面相粘合，得到的大长方体的表面积最小，比原来两个盒子的表面积减少了2个最大的面，最节约包装纸。
【解答】解：（10×5+10×1+5×1）×2×4﹣10×5×2
＝（50+10+2）×4﹣100
＝65×4﹣100
＝260﹣100
＝160（平方厘米）
答：至少需要160平方厘米的包装纸。
【点评】抓住两个长方体拼组一个大长方体的方法：最大面相粘合，得到的大长方体的表面积最小；最小面相粘合，得到的大长方体的表面积最大。
25．【答案】245平方分米。
【分析】求需要用多大面积的玻璃，实际上是求这个正方体的5个面的面积和，根据求正方体表面积方法求解。
【解答】解：7×7×5
＝49×5
＝245（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要245平方分米大的玻璃。
【点评】这是一道正方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个正方形面的面积，从而列式解答即可。
26．【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方形的周长公式：S＝ab，把数据代入公式求出一面所贴彩纸的面积再乘4即可．
【解答】解：2.5×6.8×4＝4（平方分米）
答：这条彩纸的面积至少是8平方分米．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体表面积的意义，以及长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
27．【答案】1344元。
【分析】因为教室的地面不需要粉刷，所以粉刷的是教室的天花板和4面墙壁的面积，根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出这5个面的总面积，再减去门窗和黑板的面积就是需要粉刷的面积，然后用粉刷的面积乘每平方米的涂料费即可。
【解答】解：8×6+7×3×2+2×3×2﹣20
＝48+48+36﹣20
＝132﹣20
＝112（平方米）
112×12＝1344（元）
答：粉刷这个教室需要花费1344元。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式，重点是弄清需要求哪几个面的总面积。
28．【答案】320平方分米。
【分析】根据题干分析可得，此题就是利用底面周长乘通风管的长度，即求出通风管的侧面积。再换算单位即可，得数即为制作这样一个通风管至少需要多少平方分米铁皮。
【解答】解：4×0.7＝3.2（平方米）
2.2平方米＝320平方分米
答：制作这样一个通风管至少需要320平方分米铁皮。
【点评】本题考查长方体表面积的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
29．【答案】58平方分米。
【分析】根据图意可知，把一个棱长为3dm的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下部分的表面积比原表面积减少了2个边长为1分米的两个小正方形的面积，并且增加了2个长3分米，宽1分米的长方形，据此解答。
【解答】解：3×3×7﹣1×1×7+3×1×2
＝54﹣2+6
＝58（平方分米）
答：剩下部分的表面积是58平方分米。
【点评】此类题目的关键是找出增加部分的面和减少部分的面，再利用已知的规则立体图形的表面积的计算方法即可解决问题。
30．【答案】（1）24分米；
（2）18.3平方分米。
【分析】（1）需要木条多少分米求的是这个长方体灯笼的棱长总和，根据棱长总和＝（长+宽+高）×4，代入数字即可求解；
（2）灯笼没有上面和下面，根据长方体的侧面积＝（长×高+宽×高）×2，求出长方体的侧面积，再加上黏合处的30平方厘米，即可求解。
【解答】解：（1）（1.5+8.5+3）×2
＝6×4
＝24（分米）
答：需要木条24分米。
（2）30平方厘米＝3.3平方分米
（1.8×3+1.7×3）×2+2.3
＝9×6+0.3
＝18+2.3
＝18.3（平方分米）
答：共需要宣纸18.3平方分米。
【点评】本题主要考查长方体棱长总和公式及侧面积公式的应用，要特别注意单位不统一的必须先化成统一单位。