2.4露在外面的面(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学北师大版（带答案)
文档属性
| 名称 | 2.4露在外面的面(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学北师大版（带答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-05 14:34:54 | ||
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文档简介
2.4露在外面的面(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年五年级下册数学重难点同步培优讲义（北师大版）
1．露在外面的面
【知识点归纳】
1、堆放在墙角的正方体露在外面的面的面积的计算方法
先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘露在外面的面的总个数。
2、堆放在一起的正方体露在外面的面的变化规律：
先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数间存在规律。
注意：
l、数露在外面的面的个数，要按一定的顺序，才能做到正确、快速。
2、借助实物有利于我们正确数出露在外面的面的个数；借助表格有利于我们探索有多少个面露在外面的规律。
2．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
一．选择题（共8小题）
1．如果一个正方体的棱长总和是24分米，那么它的表面积是（ ）平方分米。
A．24 B．36 C．56
2．一个长方体被挖掉一小块，如图，下面说法完全正确的是（ ）
A．体积减少，表面积也减少
B．体积减少，表面积增加
C．体积减少，表面积不变
D．体积不变，表面积不变
3．如果大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，那么大正方体的表面积是小正方体的（ ）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍
4．一个正方体表面积是150平方厘米，把它平均分成两个长方体，每个长方体的表面积是（ ）
A．75平方厘米 B．100平方厘米
C．90平方厘米
5．求一个长方体木柜的占地面积是求它的（ ）
A．底面积 B．侧面积 C．表面积 D．前面面积
6．把一个表面积是80cm2的大长方体，切了三刀（如图所示），切成的8个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了（ ）2。
A．80 B．40 C．160
7．一根长方体木料，长4米，宽0.5米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）
A．30 B．48 C．60 D．120
8．将如图的木块平均分成两块后，表面积增加了（ ）平方厘米。
A．16 B．32 C．64
二．填空题（共6小题）
9．如图，明明给这个长方体礼盒的表面包了彩纸，他至少用了 平方厘米的彩纸；他又用丝带进行捆扎，打结处用了丝带15厘米 厘米。
10．把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，（如图）这个长方体的表面积是198cm2，每个正方体的表面积 平方厘米。
11．如图，两个几何体都是由棱长1cm的正方体搭成的。
①号的表面积可以这样计算：根据①号表面积的求法，②号几何体的表面积是 。（要写出算式）
12．一个底面是正方形的长方体包装盒，高是20厘米，侧面展开后刚好是一个正方形 平方厘米。
13．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的棱长和扩大到原来的 倍，表面积扩大到原来的 倍，它的体积扩大到原来的 倍。
14．一个表面积是60cm2的长方体按如图所示切三刀，分割成 个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加 cm2。
三．判断题（共7小题）
15．当正方体的棱长是6cm时，它的表面积和体积相等。
16．一个正方体的所有棱长扩大到原来的3倍，表面积也就扩大到原来的3倍。
17．在一个正方体的任何一个位置挖去一个小正方体，则表面积一定减少。
18．如果两个正方体的棱长总和相等，那么它们的表面积也相等．
19．长方体的长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的2倍，高不变
20．有两个长方形金鱼缸，它们的容积相等，那么它们的表面积也相等。
21．按如图的方式在墙边堆放小正方体，每增加一个正方体，露在外面的面个数就增加4个。
四．计算题（共2小题）
22．计算出下面图形的表面积．
23．计算如图图形的表面积．
五．应用题（共7小题）
24．一间教室长8米，宽6米，高3.2米，扣去门窗16.8平方米。每千克石灰可以粉刷0.8平方米，全部粉刷完一共需要多少千克石灰？
25．一个长方体的食品盒，长9cm，宽5cm，如果围它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少需要多少cm2？
26．一个正方体墨水盒，棱长为6厘米。制作这个墨水盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？
27．有一根长为96cm的铁丝，用它焊接成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少厘米？如果为它的各个面糊上彩纸
28．一种长3米的长方体通气管的横截面的边长为0.2米的正方形，制作10根这样的通气管至少需要多少平方米的铁皮？
29．一间教室长12米，宽5米，高3.5米，门窗和黑板的面积一共是20.5平方米。要粉刷的面积是多少平方米？
30．一根铁丝刚好可以围成一个长是18厘米，宽是12厘米，高是6厘米的长方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？
2.4露在外面的面(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册（北师大版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】已知棱长总和是24分米，正方体共12条棱，可知一条棱长为（24÷12）分米，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，解答即可。
【解答】解：24÷12＝2（分米）
2×3×6＝24（平方分米）
答：它的表面积是24平方分米。
故选：A。
【点评】先求出一条棱长的长度，再根据正方体的表面积公式，即可解答。
2．【答案】C
【分析】通过观察图形可知，在长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积变小了。据此解答即可。
【解答】解：在长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，所以剩下图形的表面积不变。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的表面积、体积的意义及应用。
3．【答案】C
【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，再根据因数与积的变化规律，如果大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，那么大正方体的表面积是小正方体的（3×3）倍，据此解答。
【解答】解：3×3＝3
如果大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，那么大正方体的表面积是小正方体的9倍。
故选：C。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用。
4．【答案】B
【分析】由“一个正方体的表面积是150平方厘米”可以求出正方体的1个面的面积，也能求出正方体的棱长；分成的长方体的长和宽都等于正方体的棱长，高等于棱长的一半，从而可以分别求出每个长方体的表面积．
【解答】解：150÷6＝25（平方厘米），
又因5×4＝25（平方厘米），
所以正方体的棱长是5厘米；
则长方体的长、宽、高分别为5、5，
长方体的表面积：（5×5+4.5×5+4×2.5）×2，
＝50×2，
＝100（平方厘米）；
答：每个长方体的表面积是100平方厘米；．
故选：B．
【点评】解答此题的关键是先求出正方体的棱长，再据分成的长方体的长和宽都等于正方体的棱长，高等于棱长的一半，即可逐步求解．
5．【答案】A
【分析】一个长方体木柜的占地面积等于它的底面积，据此解答。
【解答】解：求一个长方体木柜的占地面积，就是求这个木柜的底面积。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征以及长方体的表面积的意义。
6．【答案】A
【分析】观察图形可知，沿着平行于底面切一刀增加两个底面积（上面和下面），沿着平行于横截面切一刀增加两个横截面的面积（左面和右面），沿着平行于前面切一刀增加两个前面的面积（前面和后面），也就是说切成的8个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了一个大长方体的表面积。
【解答】解：由分析得：
切成的8个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了80平方厘米。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。
7．【答案】C
【分析】锯4段，需要锯3次，每锯1次就增加两个面，所以一共增加6个面；要使增加的表面积最少，那么这里要平行于最小面“宽×高”来切割，由此即可解答。
【解答】解：0.5米＝3分米
4米＝40分米
5×8×（4﹣1）×3
＝10×3×2
＝60（平方分米）
答：表面积最少增加60平方分米。
故选：C。
【点评】解决本题首先要抓住长方体的切割特点，得出锯成4段增加的面数；再就是要知道要使增加的表面积最少，则必须平行于最小面切割。
8．【答案】B
【分析】通过观察图形可知，把这个长方体平均分成两个正方体，表面积增加2个截面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：4×4×5
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：表面积增加32平方厘米。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义及应用，正方形的面积公式及应用，关键是熟记公式。
二．填空题（共6小题）
9．【答案】1300；125。
【分析】求用了多少平方里面的彩纸就是求长方体礼盒的表面积，根据长方体的表面积等于六个面面积之和即可求解；
丝带的长度是两个长加上两个宽加上4个高，再加上打结处长度即可。
【解答】解：2×（20×15+20×10+15×10）
＝2×（300+200+150）
＝5×650
＝1300（平方厘米）
20×2+15×2+10×5+15
＝40+30+40+15
＝125（厘米）
答：他至少用了1300平方厘米的彩纸，至少需要丝带125厘米。
故答案为：1300；125。
【点评】本题考查了长方体的表面积的计算。
10．【答案】54。
【分析】用奇数个小正方体拼组长方体的方法是：一字排列拼组，这样5个小正方体拼组一起，正好减少了2×4＝8个小正方体的面的面积，已知拼成的长方体的表面积是198平方厘米，这个长方体的表面积相当于5个正方体的表面积和的（5×6﹣8）个面的面积。由此可以求出正方体的每个面的面积，进而求出每个正方体的表面积。
【解答】解：5个正方体一共有：5×3＝30（个面）
拼成长方体后减少了：2×4＝3（个面）
正方体的每个的面的面积：
198÷（30﹣8）
＝198÷22
＝9（平方厘米）
每个正方体的表面积：2×6＝54（平方厘米）
答：每个正方体的表面积是54平方厘米。
故答案为：54。
【点评】此题解答关键是理解5个小正方体拼组一起减少部分的面是8个小正方体的面，拼成的长方体的表面积相当于5个正方体的表面积和的（5×6﹣8）个面的面积．由此可以求出正方体的每个面的面积，进而求出每个正方体的表面。
11．【答案】（5+6+5）×2＝32（平方厘米）。
【分析】根据表面积的意义，先分别求出从上面、前面、左面各看到多少个小正方体的面，然后用从三个不同方向看到的面的个数的和乘2即可。据此解答。
【解答】解：（5+6+7）×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：②号几何体的表面积32平方厘米。
故答案为：（4+6+5）×2＝32（平方厘米）。
【点评】此题考查的目的是理解掌握求组合图形表面积的方法及应用。
12．【答案】25。
【分析】根据长方体的特征，如果长方体的底面是正方形，侧面展开后刚好是一个正方形，那么这个长方体的底面周长和高相等，已知高是20厘米，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝底面周长÷4，据此可以求出长方体的底面边长，然后根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式解答。
【解答】解：20÷4＝5（厘米）
2×5＝25（平方厘米）
答：这个长方体包装盒的底面积是25平方厘米。
故答案为：25。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，长方体表面积的意义及应用，正方形的周长公式、正方形的面积公式及应用。
13．【答案】3；9；27。
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；据此解答。
【解答】解：一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的3倍；
表面积扩大到原来的3×3＝9倍；
体积扩大到原来的3×3×3＝27倍。
故答案为：5；9；27。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式，以及因数与积的变化规律。
14．【答案】8；60。
【分析】观察可知，如图所示切三刀，将长方体分割成了2层，每层4个，共8个小长方体；每切一刀增加2个面，即增加了前后左右上下共6个面，增加的部分是一个完整大长方体的表面积，据此分析。
【解答】解：一个表面积是60cm2的长方体如图所示切三刀，分割成8个小长方体6。
故答案为：8；60。
【点评】本题考查长方体表面积的计算。看懂图示，具有一定的空间想象能力是解题的关键。
三．判断题（共7小题）
15．【答案】×
【分析】根据长方体的表面积、体积的意义，正方体的表面积是指围成正方体的6个面的总面积，正方体的体积是指正方体所占空间的大小，因为表面积和体积不是同类量，所以无法比较。据此判断。
【解答】解：因为表面积和体积不是同类量，所以无法比较。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积、体积的意义及应用，关键是明确：只有同类量，才能比较大小。
16．【答案】×
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积。据此判断。
【解答】解：3×3＝4
一个正方体的所有棱长扩大到原来的3倍，表面积也就扩大到原来的9倍。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用。
17．【答案】×
【分析】根据题意，有三种情况，一是从顶点上挖去一个小正方体，则表面积不变；二是从一个面的中间挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的4个面的面积；三是从一条棱上挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的2个面的面积。据此判断。
【解答】解：分三种情况：
一是从顶点上挖去一个小正方体，则表面积不变；
二是从一个面的中间挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的4个面的面积；
三是从一条棱上挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的2个面的面积。
所以在一个正方体的任何一个位置挖去一个小正方体，则表面积可能不变。
因此，在一个正方体的任何一个位置挖去一个小正方体。这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体表面积的意义及应用，此题要从三种情况分析判断。
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等、6个面的面积都相等，如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等，所以这两个正方体的表面积一定相等．据此判断．
【解答】解：如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等．
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体的表面积公式的灵活运用．
19．【答案】×
【分析】设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大到原来的倍数。
【解答】解：令原来的长、宽、高分别为a、b、h。
则原来的表面积：（ab+ah+bh）×2
现在的表面积：（4ab+7ah+2bh）×2＝3（4ab+2ah+3bh）
故现在的表面积和原来的面积的倍数无法确定，本题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是：利用长方体的表面积公式分别表示出现在和原来的表面积，即可求解。
20．【答案】×
【分析】根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，容积（体积）相等的两个长方体，长、宽、高不一定分别相等，所以表面积就不一定相等，据此判断。
【解答】解：如果两个长方体鱼缸的容积都是48立方厘米，长宽高可能是4、3、2、4、2；
所以两个长方体的体积相等，但表面积不一定相等；
故答案为：×。
【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【答案】×
【分析】根据图示，在墙边堆放1个小正方体，露在外面的面是4个；堆放2个小正方体，露在外面的面是7个；堆放3个小正方体，露在外面的面是10个；……据此找到规律，判断即可。
【解答】解：在墙边堆放1个小正方体，露在外面的面是4个；
堆放7个小正方体，露在外面的面是7个；
堆放3个小正方体，露在外面的面是10个；
……
每增加一个正方体，露在外面的面个数就增加4个。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查露在外面的面的计数，关键是找到露在外面的面的规律。
四．计算题（共2小题）
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）这个长方体的长是8厘米，宽是7厘米，高是13厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2进行求解；
（2）这个正方体的棱长是7分米，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6进行求解．
【解答】解：（1）（8×7+5×13+7×13）×2
＝（56+104+91）×8
＝251×2
＝502（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是502平方厘米．
（2）7×7×6
＝49×6
＝294（平方分米）
答：这个正方体的表面积是294平方分米．
【点评】熟练掌握长方体和正方体的表面积公式是解决本题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个面的面积，下面长方体求它的表面积，然后合并起来即可．根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式解答．
【解答】解：10×10×4+（20×15+20×10+15×10）×2
＝100×7+（300+200+150）×2
＝400+650×2
＝400+1300
＝1700（平方厘米）
答：它的表面积是1700平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
五．应用题（共7小题）
24．【答案】172千克。
【分析】由题意可知，根据长方体五个面的面积公式：S＝（ah+bh）×2+ab，据此求出五个面的面积，再减去门窗的面积就是需要粉刷的面积，最后再除以0.8即可解答。
【解答】解：[（8×3.7+6×3.7）×2+8×8]÷0.8
＝[（25.6+19.2）×2+48]÷5.8
＝[44.8×3+48]÷0.8
＝137.7÷0.8
＝172（千克）
答：全部粉刷完一共需要172千克石灰。
【点评】本题考查长方体的表面积，明确长方体五个面的面积计算方法是解题的关键。
25．【答案】112cm2。
【分析】上下面不贴，就是在左右面和前后面四个面贴上商标纸，求出这四个面的面积和即可。
【解答】解：（9×4+6×4）×2
＝（36+20）×7
＝56×2
＝112（cm2）
答：这张商标纸的面积至少需要112cm2。
【点评】此题考查长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪些面的面积，从而列式解答即可。
26．【答案】216平方厘米。
【分析】求制作这个正方体墨水盒至少需要硬纸板的面积，就是求正方体的表面积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。
【解答】解：6×6×6
＝36×6
＝216（平方厘米）
答：制作这个墨水盒至少需要216平方厘米的硬纸板。
【点评】本题考查的是正方体和长方体的面积计算公式，掌握正方体表面积的计算方法是解题的关键。
27．【答案】8厘米；384平方厘米。
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：96÷12＝8（厘米）
8×6×6
＝64×6
＝384（平方厘米）
答：这个正方体框架的棱长是3厘米，至少需要384平方厘米彩纸。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
28．【答案】见试题解答内容
【分析】每个通气管展开后是一个长为3米，宽为（0.2×4）米的长方形，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出一个通气管用铁皮的面积，进而即可求出制作10根这样的通气管需要铁皮的面积．
【解答】解：3×（0.4×4）×10
＝3×4.8×10
＝2.2×10
＝24（平方米）
答：制作10根这样的通气管至少需要24平方米的铁皮．
【点评】此题是求长方体的侧面积．长方体的侧面展开就是一个长为长方体高，宽为长方体底面周长．
29．【答案】158.5平方米。
【分析】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出它的5个面的总面积，然后减去门窗面积就是需要粉刷的面积。
【解答】解：12×5+12×3.7×2+5×3.5×2﹣20.8
＝60+84+35﹣20.5
＝179﹣20.5
＝158.7（平方米）
答：要粉刷的面积是158.5平方米。
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【答案】864平方厘米。
【分析】首先根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，求出这根铁丝的长度，再根据正方体的棱长总和公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，然后利用正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：（18+12+6）×4÷12
＝144÷12
＝12（厘米）
12×12×2
＝144×6
＝864（平方厘米）
答：这个正方体的表面积是864平方厘米。
【点评】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的综合应用，结合题意分析解答即可。
2023-2024学年五年级下册数学重难点同步培优讲义（北师大版）
1．露在外面的面
【知识点归纳】
1、堆放在墙角的正方体露在外面的面的面积的计算方法
先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘露在外面的面的总个数。
2、堆放在一起的正方体露在外面的面的变化规律：
先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数间存在规律。
注意：
l、数露在外面的面的个数，要按一定的顺序，才能做到正确、快速。
2、借助实物有利于我们正确数出露在外面的面的个数；借助表格有利于我们探索有多少个面露在外面的规律。
2．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
一．选择题（共8小题）
1．如果一个正方体的棱长总和是24分米，那么它的表面积是（ ）平方分米。
A．24 B．36 C．56
2．一个长方体被挖掉一小块，如图，下面说法完全正确的是（ ）
A．体积减少，表面积也减少
B．体积减少，表面积增加
C．体积减少，表面积不变
D．体积不变，表面积不变
3．如果大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，那么大正方体的表面积是小正方体的（ ）
A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．27倍
4．一个正方体表面积是150平方厘米，把它平均分成两个长方体，每个长方体的表面积是（ ）
A．75平方厘米 B．100平方厘米
C．90平方厘米
5．求一个长方体木柜的占地面积是求它的（ ）
A．底面积 B．侧面积 C．表面积 D．前面面积
6．把一个表面积是80cm2的大长方体，切了三刀（如图所示），切成的8个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了（ ）2。
A．80 B．40 C．160
7．一根长方体木料，长4米，宽0.5米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）
A．30 B．48 C．60 D．120
8．将如图的木块平均分成两块后，表面积增加了（ ）平方厘米。
A．16 B．32 C．64
二．填空题（共6小题）
9．如图，明明给这个长方体礼盒的表面包了彩纸，他至少用了 平方厘米的彩纸；他又用丝带进行捆扎，打结处用了丝带15厘米 厘米。
10．把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，（如图）这个长方体的表面积是198cm2，每个正方体的表面积 平方厘米。
11．如图，两个几何体都是由棱长1cm的正方体搭成的。
①号的表面积可以这样计算：根据①号表面积的求法，②号几何体的表面积是 。（要写出算式）
12．一个底面是正方形的长方体包装盒，高是20厘米，侧面展开后刚好是一个正方形 平方厘米。
13．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的棱长和扩大到原来的 倍，表面积扩大到原来的 倍，它的体积扩大到原来的 倍。
14．一个表面积是60cm2的长方体按如图所示切三刀，分割成 个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加 cm2。
三．判断题（共7小题）
15．当正方体的棱长是6cm时，它的表面积和体积相等。
16．一个正方体的所有棱长扩大到原来的3倍，表面积也就扩大到原来的3倍。
17．在一个正方体的任何一个位置挖去一个小正方体，则表面积一定减少。
18．如果两个正方体的棱长总和相等，那么它们的表面积也相等．
19．长方体的长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的2倍，高不变
20．有两个长方形金鱼缸，它们的容积相等，那么它们的表面积也相等。
21．按如图的方式在墙边堆放小正方体，每增加一个正方体，露在外面的面个数就增加4个。
四．计算题（共2小题）
22．计算出下面图形的表面积．
23．计算如图图形的表面积．
五．应用题（共7小题）
24．一间教室长8米，宽6米，高3.2米，扣去门窗16.8平方米。每千克石灰可以粉刷0.8平方米，全部粉刷完一共需要多少千克石灰？
25．一个长方体的食品盒，长9cm，宽5cm，如果围它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少需要多少cm2？
26．一个正方体墨水盒，棱长为6厘米。制作这个墨水盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？
27．有一根长为96cm的铁丝，用它焊接成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少厘米？如果为它的各个面糊上彩纸
28．一种长3米的长方体通气管的横截面的边长为0.2米的正方形，制作10根这样的通气管至少需要多少平方米的铁皮？
29．一间教室长12米，宽5米，高3.5米，门窗和黑板的面积一共是20.5平方米。要粉刷的面积是多少平方米？
30．一根铁丝刚好可以围成一个长是18厘米，宽是12厘米，高是6厘米的长方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？
2.4露在外面的面(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册（北师大版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】已知棱长总和是24分米，正方体共12条棱，可知一条棱长为（24÷12）分米，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，解答即可。
【解答】解：24÷12＝2（分米）
2×3×6＝24（平方分米）
答：它的表面积是24平方分米。
故选：A。
【点评】先求出一条棱长的长度，再根据正方体的表面积公式，即可解答。
2．【答案】C
【分析】通过观察图形可知，在长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积变小了。据此解答即可。
【解答】解：在长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，所以剩下图形的表面积不变。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的表面积、体积的意义及应用。
3．【答案】C
【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，再根据因数与积的变化规律，如果大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，那么大正方体的表面积是小正方体的（3×3）倍，据此解答。
【解答】解：3×3＝3
如果大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，那么大正方体的表面积是小正方体的9倍。
故选：C。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用。
4．【答案】B
【分析】由“一个正方体的表面积是150平方厘米”可以求出正方体的1个面的面积，也能求出正方体的棱长；分成的长方体的长和宽都等于正方体的棱长，高等于棱长的一半，从而可以分别求出每个长方体的表面积．
【解答】解：150÷6＝25（平方厘米），
又因5×4＝25（平方厘米），
所以正方体的棱长是5厘米；
则长方体的长、宽、高分别为5、5，
长方体的表面积：（5×5+4.5×5+4×2.5）×2，
＝50×2，
＝100（平方厘米）；
答：每个长方体的表面积是100平方厘米；．
故选：B．
【点评】解答此题的关键是先求出正方体的棱长，再据分成的长方体的长和宽都等于正方体的棱长，高等于棱长的一半，即可逐步求解．
5．【答案】A
【分析】一个长方体木柜的占地面积等于它的底面积，据此解答。
【解答】解：求一个长方体木柜的占地面积，就是求这个木柜的底面积。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征以及长方体的表面积的意义。
6．【答案】A
【分析】观察图形可知，沿着平行于底面切一刀增加两个底面积（上面和下面），沿着平行于横截面切一刀增加两个横截面的面积（左面和右面），沿着平行于前面切一刀增加两个前面的面积（前面和后面），也就是说切成的8个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了一个大长方体的表面积。
【解答】解：由分析得：
切成的8个小长方体的表面积之和比原来大长方体的表面积增加了80平方厘米。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。
7．【答案】C
【分析】锯4段，需要锯3次，每锯1次就增加两个面，所以一共增加6个面；要使增加的表面积最少，那么这里要平行于最小面“宽×高”来切割，由此即可解答。
【解答】解：0.5米＝3分米
4米＝40分米
5×8×（4﹣1）×3
＝10×3×2
＝60（平方分米）
答：表面积最少增加60平方分米。
故选：C。
【点评】解决本题首先要抓住长方体的切割特点，得出锯成4段增加的面数；再就是要知道要使增加的表面积最少，则必须平行于最小面切割。
8．【答案】B
【分析】通过观察图形可知，把这个长方体平均分成两个正方体，表面积增加2个截面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：4×4×5
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：表面积增加32平方厘米。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义及应用，正方形的面积公式及应用，关键是熟记公式。
二．填空题（共6小题）
9．【答案】1300；125。
【分析】求用了多少平方里面的彩纸就是求长方体礼盒的表面积，根据长方体的表面积等于六个面面积之和即可求解；
丝带的长度是两个长加上两个宽加上4个高，再加上打结处长度即可。
【解答】解：2×（20×15+20×10+15×10）
＝2×（300+200+150）
＝5×650
＝1300（平方厘米）
20×2+15×2+10×5+15
＝40+30+40+15
＝125（厘米）
答：他至少用了1300平方厘米的彩纸，至少需要丝带125厘米。
故答案为：1300；125。
【点评】本题考查了长方体的表面积的计算。
10．【答案】54。
【分析】用奇数个小正方体拼组长方体的方法是：一字排列拼组，这样5个小正方体拼组一起，正好减少了2×4＝8个小正方体的面的面积，已知拼成的长方体的表面积是198平方厘米，这个长方体的表面积相当于5个正方体的表面积和的（5×6﹣8）个面的面积。由此可以求出正方体的每个面的面积，进而求出每个正方体的表面积。
【解答】解：5个正方体一共有：5×3＝30（个面）
拼成长方体后减少了：2×4＝3（个面）
正方体的每个的面的面积：
198÷（30﹣8）
＝198÷22
＝9（平方厘米）
每个正方体的表面积：2×6＝54（平方厘米）
答：每个正方体的表面积是54平方厘米。
故答案为：54。
【点评】此题解答关键是理解5个小正方体拼组一起减少部分的面是8个小正方体的面，拼成的长方体的表面积相当于5个正方体的表面积和的（5×6﹣8）个面的面积．由此可以求出正方体的每个面的面积，进而求出每个正方体的表面。
11．【答案】（5+6+5）×2＝32（平方厘米）。
【分析】根据表面积的意义，先分别求出从上面、前面、左面各看到多少个小正方体的面，然后用从三个不同方向看到的面的个数的和乘2即可。据此解答。
【解答】解：（5+6+7）×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：②号几何体的表面积32平方厘米。
故答案为：（4+6+5）×2＝32（平方厘米）。
【点评】此题考查的目的是理解掌握求组合图形表面积的方法及应用。
12．【答案】25。
【分析】根据长方体的特征，如果长方体的底面是正方形，侧面展开后刚好是一个正方形，那么这个长方体的底面周长和高相等，已知高是20厘米，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝底面周长÷4，据此可以求出长方体的底面边长，然后根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式解答。
【解答】解：20÷4＝5（厘米）
2×5＝25（平方厘米）
答：这个长方体包装盒的底面积是25平方厘米。
故答案为：25。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，长方体表面积的意义及应用，正方形的周长公式、正方形的面积公式及应用。
13．【答案】3；9；27。
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；据此解答。
【解答】解：一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的3倍；
表面积扩大到原来的3×3＝9倍；
体积扩大到原来的3×3×3＝27倍。
故答案为：5；9；27。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式，以及因数与积的变化规律。
14．【答案】8；60。
【分析】观察可知，如图所示切三刀，将长方体分割成了2层，每层4个，共8个小长方体；每切一刀增加2个面，即增加了前后左右上下共6个面，增加的部分是一个完整大长方体的表面积，据此分析。
【解答】解：一个表面积是60cm2的长方体如图所示切三刀，分割成8个小长方体6。
故答案为：8；60。
【点评】本题考查长方体表面积的计算。看懂图示，具有一定的空间想象能力是解题的关键。
三．判断题（共7小题）
15．【答案】×
【分析】根据长方体的表面积、体积的意义，正方体的表面积是指围成正方体的6个面的总面积，正方体的体积是指正方体所占空间的大小，因为表面积和体积不是同类量，所以无法比较。据此判断。
【解答】解：因为表面积和体积不是同类量，所以无法比较。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积、体积的意义及应用，关键是明确：只有同类量，才能比较大小。
16．【答案】×
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积。据此判断。
【解答】解：3×3＝4
一个正方体的所有棱长扩大到原来的3倍，表面积也就扩大到原来的9倍。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用。
17．【答案】×
【分析】根据题意，有三种情况，一是从顶点上挖去一个小正方体，则表面积不变；二是从一个面的中间挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的4个面的面积；三是从一条棱上挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的2个面的面积。据此判断。
【解答】解：分三种情况：
一是从顶点上挖去一个小正方体，则表面积不变；
二是从一个面的中间挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的4个面的面积；
三是从一条棱上挖去一个小正方体，则表面积比原来增加所挖去的小正方体的2个面的面积。
所以在一个正方体的任何一个位置挖去一个小正方体，则表面积可能不变。
因此，在一个正方体的任何一个位置挖去一个小正方体。这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体表面积的意义及应用，此题要从三种情况分析判断。
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等、6个面的面积都相等，如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等，所以这两个正方体的表面积一定相等．据此判断．
【解答】解：如果两个正方体的棱长总和相等，也就是两个正方体的棱长相等．
原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体的表面积公式的灵活运用．
19．【答案】×
【分析】设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大到原来的倍数。
【解答】解：令原来的长、宽、高分别为a、b、h。
则原来的表面积：（ab+ah+bh）×2
现在的表面积：（4ab+7ah+2bh）×2＝3（4ab+2ah+3bh）
故现在的表面积和原来的面积的倍数无法确定，本题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是：利用长方体的表面积公式分别表示出现在和原来的表面积，即可求解。
20．【答案】×
【分析】根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，容积（体积）相等的两个长方体，长、宽、高不一定分别相等，所以表面积就不一定相等，据此判断。
【解答】解：如果两个长方体鱼缸的容积都是48立方厘米，长宽高可能是4、3、2、4、2；
所以两个长方体的体积相等，但表面积不一定相等；
故答案为：×。
【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【答案】×
【分析】根据图示，在墙边堆放1个小正方体，露在外面的面是4个；堆放2个小正方体，露在外面的面是7个；堆放3个小正方体，露在外面的面是10个；……据此找到规律，判断即可。
【解答】解：在墙边堆放1个小正方体，露在外面的面是4个；
堆放7个小正方体，露在外面的面是7个；
堆放3个小正方体，露在外面的面是10个；
……
每增加一个正方体，露在外面的面个数就增加4个。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查露在外面的面的计数，关键是找到露在外面的面的规律。
四．计算题（共2小题）
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）这个长方体的长是8厘米，宽是7厘米，高是13厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2进行求解；
（2）这个正方体的棱长是7分米，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6进行求解．
【解答】解：（1）（8×7+5×13+7×13）×2
＝（56+104+91）×8
＝251×2
＝502（平方厘米）
答：这个长方体的表面积是502平方厘米．
（2）7×7×6
＝49×6
＝294（平方分米）
答：这个正方体的表面积是294平方分米．
【点评】熟练掌握长方体和正方体的表面积公式是解决本题的关键．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个面的面积，下面长方体求它的表面积，然后合并起来即可．根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据分别代入公式解答．
【解答】解：10×10×4+（20×15+20×10+15×10）×2
＝100×7+（300+200+150）×2
＝400+650×2
＝400+1300
＝1700（平方厘米）
答：它的表面积是1700平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
五．应用题（共7小题）
24．【答案】172千克。
【分析】由题意可知，根据长方体五个面的面积公式：S＝（ah+bh）×2+ab，据此求出五个面的面积，再减去门窗的面积就是需要粉刷的面积，最后再除以0.8即可解答。
【解答】解：[（8×3.7+6×3.7）×2+8×8]÷0.8
＝[（25.6+19.2）×2+48]÷5.8
＝[44.8×3+48]÷0.8
＝137.7÷0.8
＝172（千克）
答：全部粉刷完一共需要172千克石灰。
【点评】本题考查长方体的表面积，明确长方体五个面的面积计算方法是解题的关键。
25．【答案】112cm2。
【分析】上下面不贴，就是在左右面和前后面四个面贴上商标纸，求出这四个面的面积和即可。
【解答】解：（9×4+6×4）×2
＝（36+20）×7
＝56×2
＝112（cm2）
答：这张商标纸的面积至少需要112cm2。
【点评】此题考查长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪些面的面积，从而列式解答即可。
26．【答案】216平方厘米。
【分析】求制作这个正方体墨水盒至少需要硬纸板的面积，就是求正方体的表面积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。
【解答】解：6×6×6
＝36×6
＝216（平方厘米）
答：制作这个墨水盒至少需要216平方厘米的硬纸板。
【点评】本题考查的是正方体和长方体的面积计算公式，掌握正方体表面积的计算方法是解题的关键。
27．【答案】8厘米；384平方厘米。
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：96÷12＝8（厘米）
8×6×6
＝64×6
＝384（平方厘米）
答：这个正方体框架的棱长是3厘米，至少需要384平方厘米彩纸。
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
28．【答案】见试题解答内容
【分析】每个通气管展开后是一个长为3米，宽为（0.2×4）米的长方形，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出一个通气管用铁皮的面积，进而即可求出制作10根这样的通气管需要铁皮的面积．
【解答】解：3×（0.4×4）×10
＝3×4.8×10
＝2.2×10
＝24（平方米）
答：制作10根这样的通气管至少需要24平方米的铁皮．
【点评】此题是求长方体的侧面积．长方体的侧面展开就是一个长为长方体高，宽为长方体底面周长．
29．【答案】158.5平方米。
【分析】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出它的5个面的总面积，然后减去门窗面积就是需要粉刷的面积。
【解答】解：12×5+12×3.7×2+5×3.5×2﹣20.8
＝60+84+35﹣20.5
＝179﹣20.5
＝158.7（平方米）
答：要粉刷的面积是158.5平方米。
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【答案】864平方厘米。
【分析】首先根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，求出这根铁丝的长度，再根据正方体的棱长总和公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，然后利用正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：（18+12+6）×4÷12
＝144÷12
＝12（厘米）
12×12×2
＝144×6
＝864（平方厘米）
答：这个正方体的表面积是864平方厘米。
【点评】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的综合应用，结合题意分析解答即可。