4.3长方体的体积(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学北师大版（含解析）

4.3长方体的体积(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年五年级下册数学重难点同步培优讲义
（北师大版）
1．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
一．选择题（共8小题）
1．长方体的长、宽、高都扩大为原来的3倍，它的体积扩大为原来的（　　）倍。
A．3 B．9 C．27
2．如图，把两个完全一样的小长方体拼成一个大长方体，每个小长方体的长、宽、高都是9cm、4cm、4cm（　　）
A．甲的表面积与乙的表面积相等，体积不相等
B．甲的体积与乙的体积相等，表面积不相等
C．甲和乙的体积和表面积都相等
3．小明同学分别用8个的正方体测量了3个盒子的容积（如图），第（　　）个盒子的容积最大。
A． B．
C．
4．沛县中学百年校庆活动中，为嘉宾准备了棱长为2分米的正方体礼品盒，要把这些礼品盒放在一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体纸箱中（　　）个礼品盒。
A．30 B．24 C．25 D．26
5．如图中的两个立体图形，下列说法正确的是（　　）
A．表面积、体积都相等
B．表面积不相等，体积相等
C．表面积、体积都不相等
6．一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4平方分米，这根钢材原来的体积是（　　）
A．1.2 B．12 C．0.24
7．一个正方体木块，从正中间挖去一个小正方体后，体积____（　　）
A．增加；不变 B．减少；增加 C．不变；减少 D．无法确定
8．已知下表是老师为同学们准备的小棒，从中选出12根搭成一个长方体，则这个长方体的体积是（　　）3。
小棒长度 根数
4cm 3
5cm 6
6cm 8
A．100 B．120 C．180 D．192
二．填空题（共7小题）
9．一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少64平方厘米。原来长方体的体积是 　 　立方厘米。
10．一个正方体的高增加了3厘米，表面积增加了48平方厘米，体积增加了 　 　立方厘米。
11．如图，把一根长1.5米的长方体木料锯成同样长的4段，表面积比原来增加24平方分米　 　立方分米。
12．如图两个图形分别表示一个长方体的前面和右面，那么这个长方体的体积是 　 　，上面的面积是 　 　。
13．一个长方体鱼缸的底面积是25平方厘米，容积是0.2升，高是 　 　厘米。
14．把一块长20cm、宽15cm、高8cm的长方体木块，锯成一个最大的正方体，这个正方体木块的体积是 　 　。
15．一个正方体的棱长总和是60厘米，这个正方体的棱长是 　 　厘米，体积是 　 　立方厘米．
三．判断题（共8小题）
16．表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等．　 　
17．正方体棱长扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的6倍。 　 　
18．把一个正方体切成两块后，表面积增加了，体积不变。 　 　
19．把一块长方体橡皮泥捏成一个正方体，它的表面积和体积都变了　 　
20．一个正方体的棱长总和是60cm，它的体积是216cm3。 　 　
21．正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算． 　 　．
22．体积是10立方米的长方体木箱，它的占地面积一定是10平方米。 　 　
23．求不规则物体的体积用的是转化的方法。 　 　
四．计算题（共1小题）
24．计算下面各图形的体积和表面积．（单位：厘米）
五．应用题（共7小题）
25．把一块长5分米，宽3分米的长方形铁板，把它的四个角分别切掉一个边长8厘米的正方形（焊接处的材料损耗不计），它的容积是多少升（忽略铁皮的厚度）？
26．科学老师想把一些小正方体装进一个长方体盒子里，长方体盒子从里面量得长是28cm，宽是20cm，若要在里面放入棱长相同的小正方体且没有剩余空间，请你计算出小正方体的棱长最长是多少cm？一共可以放几个这样的小正方体？
27．一个长方体玻璃缸，长8dm、宽6dm、高4dm，水深3.2dm（如图），缸里的水会溢出多少升？
28．一块正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成一根长方体钢材，且这根钢材的横截面是边长为3分米的正方形。这根钢材长多少米？
29．学校运来11.4立方米沙土，把这些沙土铺在一个长5米，宽3.8米的沙坑里
30．一个长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。如果高增加2分米，表面积将增加多少平方分米？体积增加多少立方分米。
31．一个长方体水箱，从里面量长是40cm，宽是35cm（水未溢出），水深15cm。取出钢球后，水深12cm。这个钢球的体积是多少立方厘米？
4.3长方体的体积(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册（北师大版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】C
【分析】假设原来长方体的长、宽、高分别为a、b、h，长方体的长、宽、高都扩大为原来的3倍，则现在长方体的长、宽、高分别为3a、3b、3h，根据长方体的体积公式V＝abh，求出扩大前和扩大后长方体的体积，用扩大后长方体的体积除以扩大前长方体的体积，即可得解。
【解答】解：设原来长方体的长、宽、高分别为a、b、h、宽、高分别为3a、3h，
现在的体积：8a×3b×3h＝27abh
原来的体积：a×b×h＝4
27abh÷（abh）＝27
答：体积就扩大到原来的27倍。
故选：C。
【点评】此题主要根据长方体的体积计算方法解决问题。
2．【答案】B
【分析】甲是把长9cm、宽4cm的面拼在一起，所以拼成大长方体表面积比原来两个长方体的表面积和少2个9×4＝36（cm2），大长方体的体积是原来2个长方体的体积和；
乙是把边长4cm的正方形的面拼在一起，所以拼成大长方体表面积比原来两个长方体的表面积和少2个4×4＝16（cm2）大长方体的体积是原来2个长方体的体积和；由此进行求解。
【解答】解：甲的表面积比原来两个长方体的表面积和少了：9×4×2
＝36×2
＝72（cm2）
乙的表面积比原来两个长方体的表面积和少了：
3×4×2
＝16×5
＝32（cm2）
所以甲的表面积小于乙的表面积；
甲的体积等于原来2个长方体的体积和；乙的体积也等于原来4个长方体的体积和。
故选：B。
【点评】解决本题关键是找出两个图表面积减少部分的是哪些，以及无论怎么拼，拼成的体积不变。
3．【答案】A
【分析】根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式分别求出3个盒子的容积，然后进行比较即可。
【解答】解：A、4×3×4＝36
B、4×4×3＝32
C、3×2×2＝18
36＞32＞18
所以A盒子的容积最大。
故选：A。
【点评】此题主要考查长方体的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
4．【答案】B
【分析】长可以放4个，宽可以放3个，但是高只能摆2层。
【解答】解：8÷2＝6
6÷2＝2
5÷2＝6……1
4×8×2＝24（个）
故选：B。
【点评】此题考查长方体和正方体的体积公式以及除法解决问题。本题关键是最多能放两层。
5．【答案】B
【分析】通过观察图形可知，两个图形的体积相等，左面的图形，顶点处的小正方体原来外露3个面，拿走一个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，剩下图形的表面积与原来相等；右面的图形，棱的中间的小正方体原来外露2个面，拿走一个小正方体后，又外露小正方体的4个面，所剩下图形的表面积比原来大。据此解答。
【解答】解：两个图形的体积相等，左面的图形，拿走一个小正方体后，剩下图形的表面积与原来相等，棱的中间的小正方体原来外露2个面，又外露小正方体的4个面。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积、表面积的意义及应用。
6．【答案】B
【分析】由题意可知：把这根钢材锯成3段，增加了4个底面，再据“表面积增加2.4平方厘米”即可求出这根钢材的底面积，再根据长方形的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：2米＝20分米
2.8÷4×20
＝0.6×20
＝12（立方分米）
答：这根钢材原来的体积是12立方分米。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．【答案】B
【分析】一个正方体木块，从正中间挖去一个小正方体后，体积比原来减少了挖掉的小正方体的体积；大正方体从正中间挖去一个小正方体后，此处露出了5个面，未挖前此处只有1个面，所以表面积比原来多了小正方体4个面的面积，由此解答本题。
【解答】解：一个正方体木块，从正中间挖去一个小正方体后，表面积增加。
故选：B。
【点评】无论在大正方体哪个位置挖掉一块，体积就减少这一块的体积；关键是求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出表面积变化。
8．【答案】C
【分析】长方体有4组长宽高，同样长度的小棒要选4根，4cm的小棒只有3根，不能选；选择5cm的小棒4根，6cm的小棒8根可以搭成一个长6厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。
【解答】解：6×6×3＝180（cm3）
答：这个长方体的体积是180cm3。
故选：C。
【点评】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体体积公式。
二．填空题（共7小题）
9．【答案】640。
【分析】根据高减少2厘米，就变成一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少56平方厘米，56÷4÷2＝7（厘米），求出减少面的宽（长方体的底面边长），也就是剩下的正方体的棱长，原来长方体的高比底面边长多2厘米，据此可以求出长方体的高，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【解答】解：64÷4÷2
＝16÷4
＝8（厘米）
8×3×（8+2）
＝64×10
＝640（立方厘米）
答：原来长方体的体积是640立方厘米。
故答案为：640。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出长方体的底面边长和原来的高。
10．【答案】48。
【分析】增加的表面积÷增加的高＝底面正方形的周长，正方形周长÷4＝边长，即正方体棱长，增加部分是一个长方体，高是3厘米，长和宽等于原来正方体的棱长，再根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。
【解答】解：48÷3＝16（厘米）
16÷4＝4（厘米）
4×4×4
＝16×3
＝48（立方厘米）
答：体积增加了48立方厘米。
故答案为：48。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．【答案】60立方分米。
【分析】锯成同样长的4段，锯3次，一次增加2个面，一共增加6个面。表面积比原来增加24平方分米，也就是这6个面一共24平方分米。求出一个面的面积乘长就是木料的体积。
【解答】解：24÷6＝4（平方分米）
8.5米＝15分米
15×4＝60（立方分米）
故答案为：60立方分米。
【点评】此题考查长方体体积公式在生活中的灵活应用。
12．【答案】42立方厘米；21平方厘米。
【分析】根据长方体的特征，长方体前面的长就是长方体的长，前面的宽就是长方体的高，右面的长就是长方体的宽，右面的宽就是长方体的高，由此可知，这个长方体的长、宽、高分别是7厘米，3厘米，2厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。
【解答】解：7×3×6
＝21×2
＝42（立方厘米）
7×4＝21（平方厘米）
答：这个长方体的体积是42立方厘米，上面的面积是21平方厘米。
故答案为：42立方厘米；21平方厘米。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．【答案】8。
【分析】根据长方体体积＝底面积×高，高＝长方体体积÷底面积，即可解答。
【解答】解：0.2升＝3.2立方分米
0.3立方分米＝200立方厘米
200÷25＝8（厘米）
答：高是8厘米。
故答案为：7。
【点评】本题考查的是长方体体积，熟记公式是解答关键。
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，从这块长方体木块上锯下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：8×8×3
＝64×8
＝512（立方厘米）
答：这个正方体木块的体积是512立方厘米。
故答案为：512立方厘米。
【点评】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，关键是明确：从这块长方体木块上锯下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高。
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的体积公式：v＝a3，把数据代入公式解答．
【解答】解：60÷12＝5（厘米），
5×5×5＝125（立方厘米），
答：这个正方体的体积是125立方厘米．
故答案为：5，125．
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用．
三．判断题（共8小题）
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，可以举出表面积相等的两个长方体，但体积不相等的反例，继而得出结论．
【解答】解：如：长宽高分别为2厘米，4厘米
（3×4+2×3+4×6）×8
＝44×2
＝88（平方厘米）
体积为：2×4×6＝48（立方厘米）
长宽高分别为2厘米，5厘米
（2×2+8×10+2×10）×2
＝44×4
＝88（平方厘米），
体积为：2×2×10＝40（立方厘米）．
所以“表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等”的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】此题应根据长方体的表面积和体积计算公式进行分析解答．
17．【答案】×
【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，如果正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（2×2×2）倍，据此判断。
【解答】解：2×2×3＝8，所以正方体的体积扩大到原来的8倍。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用，关键是熟记公式。
18．【答案】√
【分析】根据正方体、长方体的体积、表面积的意义可知，把一个正方体切成两块后，体积不变，表面积增加了2个切面的面积。据此判断。
【解答】解：把一个正方体切成两块后，表面积增加了。这种说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的体积、表面积的意义及应用。
19．【答案】见试题解答内容
【分析】把一个长方体橡皮泥捏成一个正方体（或其他形体）变化的是表面积，而体积大小不变．
【解答】解：把一块长方体橡皮泥捏成一个正方体，它的表面积变了而体积没变．
故答案为：×．
【点评】不论把一个什么形体的橡皮泥捏成另外一个形体，变化的只是表面积，而体积大小不变．
20．【答案】×
【分析】根据棱长＝棱长和÷12，求出正方体棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。
【解答】解：60÷12＝5（cm）
5×8×5
＝25×5
＝125（cm8）
所以原题答案×。
故答案为：×。
【点评】本题考查的是正方体体积，熟记公式是解答关键。
21．【答案】√
【分析】根据长方体和正方体的体积公式，长方体的长×宽＝长方体的底面积；正方体的棱长×棱长＝正方体的底面积；由此解答．
【解答】解：长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高；
因此正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算，这种说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查长方体和正方体的统一的体积计算公式，V＝Sh．
22．【答案】×
【分析】长方体的体积＝长×宽×高，占地面积＝长×宽，据此判断即可。
【解答】解：长方体的体积＝长×宽×高＝10立方米
占地面积＝长×宽
所以它的占地面积不一定是10平方米，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查长方体体积、占地面积即底面积公式的认识。理解掌握长方体的体积、占地面积公式是解题的关键。
23．【答案】√
【分析】求不规则物体的体积，一般采用“排水法”，把不规则物体放入有水的容器中，上升部分水的体积就等于不规则物体的体积。据此判断。
【解答】解：求不规则物体的体积用的是转化的方法，把不规则物体的体积“转化”为规则物体的体积进行计算。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握“转化”的思想方法在数学中的应用。
四．计算题（共1小题）
24．【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式V＝abh以及正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式积：V＝a3，代入数据解答即可．
【解答】解：（1）表面积：
（8×5+2×4+5×3）×2
＝（40+32+20）×2
＝92×8
＝184（平方厘米）
体积：8×5×6＝160（立方厘米）
（2）表面积：
（3×3+7×7+3×7）×2
＝（9+42）×8
＝51×2
＝102（平方厘米）
体积：3×2×7＝63（立方厘米）
（3）表面积：
2.4×2.5×4
＝2.5×15
＝37.2（平方厘米）
体积：2.5×3.5×2.2
＝6.25×2.5
＝15.625（立方厘米）
【点评】本题是基础题，只要记住长、正方体的表面积和体积公式代入数据解答即可．
五．应用题（共7小题）
25．【答案】3.808升。
【分析】8厘米＝0.8分米，如图所示，折成的长方体铁盒子的长、宽、高分别为（5﹣0.8×2）分米、（3﹣0.8×2）分米、0.8分米，又因为长方体的体积＝长×宽×高，将数据代入公式即可求出这个铁盒子的容积。
【解答】解：8厘米＝0.6分米
（5﹣0.8×2）×（3﹣5.8×2）×5.8
＝3.6×1.4×8.8
＝3.808（立方分米）
5.808立方分米＝3.808升
答：这个水槽的容积是3.808升。
【点评】此题主要考查长方体体积（容积）的计算方法，关键是求出长方体的长、宽、高。
26．【答案】4厘米；140个。
【分析】根据题意可知，小正方体的棱长最长必须长方体盒子长、宽、高的因最大公数，也就是小正方体的棱长最长是4厘米。根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出盒子的容积、每个小正方体的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【解答】解：因为28、20和16都是4的倍数、20和16的最大公因数是4。
28×20×16÷（2×4×4）
＝8960÷64
＝140（个）
答：小正方体的棱长最长是5厘米，一共可以放140个这样的小正方体。
【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式，正方体的体积公式的灵活运用，“包含”除法的意义及应用，关键是熟记公式。
27．【答案】25.6升。
【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出一个长方体玻璃装水后剩下体积，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体体积，然后相减即可解答。
【解答】解：8×6×（6﹣3.2）
＝48×2.8
＝38.4（立方分米）
38.6立方分米＝38.4升
4×5×4
＝16×4
＝64（立方分米）
64立方分米＝64升
64﹣38.3＝25.6（升）
答：缸里的水会溢出25.6升。
【点评】本题考查的是长方体体积和正方体体积，熟记公式是解答关键。
28．【答案】2.4米。
【分析】根据题意，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积，把它锻造成一根长方体钢材，且这根钢材的横截面是边长为3分米的正方形，横截面的面积＝3×3＝9（平方分米），正方体的体积和长方体的体积相等，长方体的体积＝横截面的面积×长，据此求出长。
【解答】解：6×6×5＝216（立方分米）
3×3＝5（平方分米）
216÷9＝24（分米）＝2.6米
24分米＝2.4米
答：这根钢材长5.4米。
【点评】本题考查了正方体和长方体的体积，熟练运用公式是解题的关键。
29．【答案】0.6米厚。
【分析】要求这些沙土可以铺多厚，即相当于求长方体的高，用沙土的体积除以沙坑的底面积，依条件列式解答即可。
【解答】解：11.4÷（5×7.8）
＝11.4÷19
＝8.6（米）
答：可以铺0.7米厚。
【点评】此题属于长方体体积的实际应用，根据长方体的高＝体积÷底面积，代入公式计算即可。
30．【答案】44平方分米，60立方分米。
【分析】根据题意可知，高增加2分米，表面积增加的是4个侧面的面积，体积增加的是高为2分米的长方体的体积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。
【解答】解：（6+5）×8×2
＝11×2×3
＝22×2
＝44（平方分米）
6×8×2＝60（立方分米）
答：表面积增加44平方分米，体积增加60立方分米。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
31．【答案】4200立方厘米。
【分析】因为钢球完全浸没，所以钢球的体积等于15﹣12＝3厘米高的长方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高计算出钢球的体积。
【解答】解：40×35×（15﹣12）
＝40×35×3
＝4200（立方厘米）
答：这个钢球的体积是4200立方厘米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握特殊物体的简单测量方法及应用，长方体的体积公式及应用。