6.1平面向量的概念 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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6.1平面向量的概念高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，是非零向量，“”是“”的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.有关向量和向量，下列四个说法中：
若，则；
若，则或；
若，则；
若，则．
其中的正确有
( )
A. B. C. D.
3.设，为非零向量，则“”是“，方向相同”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列命题中正确的个数是
( )
零向量没有大小，没有方向；
零向量是唯一一个没有方向的向量；
零向量的长度为；
任意两个单位向量的方向相同．
A. B. C. D.
5.给出下列六个命题：
两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
若，则；
在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
平行四边形中，一定有；
若，，则；
若，，则．
其中不正确的命题的个数为
( )
A. B. C. D.
6.平面向量，共线的充要条件是
( )
A. ，方向相同
B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. ，
D. 存在不全为零的实数，，
7.下列说法正确的是
( )
A. 长度相等的向量叫做相等向量
B. 共线向量是在同一直线上的向量
C. 零向量的长度等于
D. ，就是所在的直线平行于所在的直线
8.如图，在等腰梯形中，对角线与交于点，点，分别在两腰，上，过点，且，则下列等式中成立的是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为单位向量，下列命题是假命题的为
( )
A. 若为平面内的某个向量，则
B. 若与平行，则
C. 若与平行且，则
D. 若为单位向量，则
10.给出下列四个条件中能使成立的条件是
( )
A. B.
C. 与方向相反 D. 或
11.下列叙述中错误的是
( )
A. 若，则
B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
12.下面的命题正确的有
( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若，满足且与同向，则
D. “若、、、是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.下列命题中：
两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
若，则；
若非零向量共线，则；
向量，则向量共线；
由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确命题的序号为 ．
14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字如图，在中国象棋的半个棋盘的矩形中每个小方格都是单位正方形中，若马在处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”若马在处或处，则以，为起点表示马走了“一步”的向量共有 个
15.模为的向量叫做零向量，记作： ．
16.如图，在中，的平分线交于点，若，，，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示方格纸由若干个边长为的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点，，点为小正方形的顶点，且．
画出所有的向量；
求的最大值与最小值．
18.本小题分
如图所示，已知在矩形中，，设试求
19.本小题分
如图所示，已知正方形的边长为，，，，求：
；
．
20.本小题分
将向量用具有同一起点的有向线段表示．
当与是相等向量时，判断终点与的位置关系；
当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判定，向量的概念，属于基础题．
根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案．
【解答】
解：由 表示单位向量相等，
则 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出 ，
由 表示 同向且模相等，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的概念，向量相等的概念，属于基础题．
根据向量的概念对各选项逐项进行分析、判断即可．
【解答】解：若，则，故正确；
若，则或是错误的，因为向量方向可任意，故错误；
若，向量的长度不一定相等，故错误；
若，则，故正确．
故正确的有，共个．
故选B ．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判定方法，考查向量共线的概念，属于基础题．
由充分条件、必要条件的判定方法及向量共线的概念分析得答案．
【解答】
解：对于非零向量，，由可得：与方向相同或相反，
反之，与方向相同，
则“”是“与方向相同”的必要而不充分条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的概念问题，属于基础题．
【解答】
解：零向量有大小和方向，故、错；正确；任意两个单位向量的大小相同方向不一定相同，错误，
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量相等的意义、共线向量，属于基础题．
利用向量相等即可判断出；
若，则不一定成立；
利用向量相等与平行四边形的定义即可得出；
利用平行四边形的性质与向量相等即可得出；
利用向量相等的定义即可判断出；
， ，则，取时，与不一定共线．
【解答】
解：两个向量相等，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
若，方向不同，则 不一定成立；
在四边形中，若，则四边形是平行四边形，正确；
平行四边形中，一定有，正确；
若，，则，正确；
， ，则，取时，与不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对共线向量的理解及平面向量共线定理，属于基础题．
根据 ， 共线，根据向量共线的概念以及零向量的特殊性得到向量 ， 共线的充要条件．
【解答】
解：若 ， 均为零向量，则此时 与 共线，且存在不全为零的实数 ，使得 ；
若 ，则由 ，共线知，存在 使得 ，即 ，即存在不全为零的实数 ，使得 ，反之，由存在不全为零的实数使得 成立，可知 ，共线；
因此，平面向量，共线的充要条件是“存在不全为零的实数 ， ，”，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相等向量、共线向量、零向量和平行向量的概念，属于基础题．
根据相等向量、共线向量、零向量以及平行向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．
【解答】
解：向量包括长度和方向，长度相等的向量不一定是相等向量，该选项错误；
B.方向相同或相反的向量叫共线向量，不一定在一条直线上，该说法错误；
C.根据零向量的定义知该说法正确；
D.时，所在的直线与所在的直线可能重合，该说法错误．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量相等的概念，是一个基础题．
根据相等向量的定义：大小相等，方向相同的向量为相等向量，逐项进行分析，即可得到答案．
【解答】
解：根据相等向量的定义，
中，与的方向不同，故A错误；
中，与的方向不同，故B错误；
中，与的方向相反，故C错误；
中，与的方向相同，且长度都等于线段长度的一半，故D正确．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的概念，属于中档题．
向量既有大小又有方向，与的模相同，但方向不一定相同，可判断；若与平行，且，则与的方向同向或反向，可判断，；利用单位向量定义可判断．
【解答】
解：对于，向量既有大小又有方向，与的模相同，
但方向不一定相同，故A是假命题；
对于，，若与平行，且，
则与的方向同向或反向，同向时，此时；
反向时，此时，故B，是假命题；
对于，为单位向量，为单位向量，
则，故D是真命题．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的模．
根据共线向量的概念一一判断即可．
【解答】
解：因为与为相等向量，所以，即能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即不能够使成立；
因为与方向相反时，，即能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立
故使成立的条件是．
故选ACD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的基本性质和共线向量，属于基础题．
根据向量的基本性质和共线向量进行判断即可
【解答】
解：，向量无法比较大小，故A错误；
，共线向量的方向相同或相反，故B正确；
，若是零向量，则不成立，故C错误；
，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为的单位向量，故D正确．
故选AC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的基本概念以及向量的模，属于基础题．
根据相反向量，单位向量的概念可分析，选项，由向量的性质可分析选项，运用平行四边形的性质可分析选项．
【解答】
解：对于，由相反向量的概念可知A正确；
对于，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于，若、、、是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形是平行四边形；
若四边形是平行四边形，可知，且，
此时、、、是不共线的四点，且，故D正确．
故选AD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．
根据平面向量的有关概念，对选项中的问题进行分析、判断是否为真命题即可．
【解答】
解：对于，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于，当时，与不一定相等，命题错误；
对于，若非零向量共线，则不一定成立，命题错误；
对于，向量时，向量共线，命题正确；
对于，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题错误；
综上，正确的命题序号是．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的概念及向量模的概念．
根据向量的模长等于，结合向量的方向即可作答．
【解答】
解：此题中，马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走．
如图，以点为起点作向量，共个
以点为起点作向量，共个．
所以共有个．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了零向量的概念以及表示方法，属于基础题．
根据零向量中的定义及表示写出表示方式即可．
【解答】
解：由零向量的定义及表示可知：零向量记为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的模，属于基础题．
延长，过点作的平行线交的延长线于点，证明和∽，即可得到结果．
【解答】
解：如图，延长，过点作的平行线交的延长线于点．
因为，所以
因为∽，
所以，所以．
故答案为：．
17.【答案】解：画出所有的向量，如图所示．
由所画的图知，当点位于点和时，取得最小值；
当点位于点和时，取得最大值．
的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查向量的概念，向量模的求法，属中档题．
画出满足的所有向量即可．
当点位于点和时取得最小值，当点位于点和时取得最大值，求解即可．
18.【答案】解：
延长至，使，连，
由于，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【解析】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量的加法的应用，是对基础知识的考查，属于基础题．先利用向量的加法把转化为，再延长至，使，构造一个新的平行四边形，再把转化为即可求解．
19.【答案】解：由已知得 ，
，延长到，使 ，如图所示，
则 ，且 ．
如图，作 ，连接，，则 ，
而 ，
，又 ，
．

【解析】本题考查向量的加减运算和向量的模长，属于基础题．
延长到，使 ，结合图形及向量相加的三角形法则，可知 ，即可得到答案；
作 ，连接，，由图形及向量相减的三角形法则可得答案．
20.【答案】解：当与是相等向量时，它们的起点相同，
则终点一定也相同，所以终点与重合；
当与是平行向量，
若与方向相同，且，如图，
则向量的长度为，且的方向与的方向相反
若与方向相反，且，如图，
则向量的长度为，且的方向与的方向相同．
【解析】此题重点考查了相等向量和向量平行的定义，属于中档题．
直接利用向量相等的定义即可求解；
根据与是平行向量，分与方向相同和相反两种情况即可求解．
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