6.2平面向量的运算 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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6.2平面向量的运算高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知向量，不共线，向量，且，则的值为
( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，设，，，，则( )
A. B. C. D.
4.在正中，向量在上的投影向量为
( )
A. B. C. D.
5.若，，与的夹角为，则等于
( )
A. B. C. D.
6.若四边形是边长为的菱形，，分别为的中点，则．( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面四边形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，的夹角为，，，，则
( )
A. 在方向上的投影向量的模为
B. 在方向上的投影向量的模为
C. 的最小值为
D. 取得最小值时，
10.下列四式可以化简为的是
( )
A. B.
C. D.
11.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
12.如图，在平行四边形中，点在线段上，且满足，则下列结论中正确的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设平面上有四个互异的点，，，，若，则的形状一定是 ．
14.如图，在四边形中，，且，则 ．
15.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则 ．
16.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在中，点在边上，且过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，．
求的值
若恒成立，求实数的最小整数值．
18.本小题分
在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．
若，求的值；
求的取值范围．
19.本小题分
如图所示，在中，点是边的中点，点是线段靠近的三等分点过点的直线与边，分别交于点，设，，其中，．
试用与表示，；
求证：为定值，并求此定值．
20.本小题分
已知向量，，若，，与的夹角为．
求；
当为何值时，向量与向量互相垂直？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量共线的条件、平面向量基本定理的应用．
根据两个向量平行的关系，写出两个向量共线的充要条件，解方程组即可．
【解答】
解：，，，
，
，
，解得或 ，
．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的概念，是中档题．
根据投影向量的概念进行求解．
【解答】
解：在中，，，，
则，
，
，
，
在直角中，，
与的夹角与相等，
在上的投影向量为，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．
按照三角形法则依次求出对应的向量即可．
【解答】
解：因为，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于基础题．
利用投影向量的公式即可求解．
【解答】
解：在上的投影向量为．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，属于基础题．
根据向量的数量积的定义计算即可．
【解答】
解：因为，，与的夹角为，
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积的计算和向量的运算法则，涉及了平行四边形和三角形中位线的性质，属于基础题．
易得的值，依题意，，代入即可得出结果．
【解答】
解：四边形是边长为的菱形，，
可得，
分别为的中点，
，
则
．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，涉及平面向量，二次函数，向量的坐标运算，属于拔高题．
解法：建立坐标系，利用平面向量，设点，写出的范围，再表示出，利用二次函数求出最小值．
解法：设，利用向量的加减数乘运算，得到的表达式，利用二次函数求出最小值．
【解答】
解：解法：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
令，，
．
，
当时，取得最小值，
．
解法：令，由已知可得，
，
，
．
当时，取得最小值．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线定理以及平面向量数量积，考查基本不等式求最值，属于拔高题．
先由点为的三等分点，利用表示，即可将表示为，由于、、三点共线，则，再结合面积公式，借助基本不等式得解．
【解答】
解：，，
，
由于、、三点共线，
则，
，即，
设，
，，
，解得，
当且仅当时取等号．
，即的最小值为．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查投影向量的模、数量积和向量的模，属于一般题．
利用投影向量的模、数量积和模长的关系以及向量垂直逐个判断即可．
【解答】
解：因为在方向上的投影向量的模为，故A正确
因为在方向上的投影向量的模为，故B错误
，
当时，取得最小值，此时，
所以，故C，D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的加法与减法运算，属于基础题．
分别利用向量的加法和减法运算法则逐项进行计算得出选项．
【解答】
解：项中，；
项中，；
项中，；
项中，．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，属于基础题．
根据平行四边形法则和三角形法则逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：因为，，，分别为，的中点，根据平行四边形法则得：
对于，故A正确；
对于：，故B正确；
对于：，故C错误；
对于：，故D不正确，
故选AB．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量的加法与减法法则，属于基础题．
根据向量加法的平行四边形法则以及减法法则，以及平行四边形的性质逐个判断各个选项即可求解．
【解答】
解：因为四边形为平行四边形，
所以，故A正确，
根据向量加法的平行四边形法则可得：，故B正确，
根据向量的减法法则可得：，故C错误，
由图知，，故D正确，
故选：．
13.【答案】等腰三角形
【解析】【分析】
本题主要考查向量的加减法运算以及向量数量积．
根据向量的加减运算以及数量积运算得到，继而即可判定三角形的形状．
【解答】
解：
，
，
是等腰三角形．
故答案为等腰三角形．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案．
【解答】
解：因为，所以由向量的加法的几何意义可知四边形是平行四边形，
又因为，所以四边形 是菱形，
且，所以．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．
由三角形中线性质可知 ，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知 ，同理可得 ，再由数量积运算即可得解．
【解答】
解： 是中点，
，
为 外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得 ，
．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查投影向量，考查了运算求解能力，属于基础题．
因为，则外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，由此可求出向量在向量上的投影向量．
【解答】
解：，
外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图：
又
则，
为正三角形，
向量在向量上的投影向量为．
故答案为．
17.【答案】解：连接因为，，，由题易知，都是正数
所以．
因为，，共线，
所以，．
显然，所以等价于，
即．
因为，当且仅当，
即，时，取到最小值．
于是，故实数的最小整数值是．
【解析】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理，涉及利用基本不等式求最值，属于一般题．
求出，由，，共线，所以，即可求的值
由题意得，，再利用基本不等式即可求解．
18.【答案】解：由图知：，，
所以，
所以，
又，，，
所以．
由知：，
令且，则，，
所以．
则．

【解析】本题考查平面向量的数量积运算及平面向量基本定理及平面向量的线性运算，属于中档题．
由、，应用向量数量积的运算律及向量位置关系求即可．
令且，同应用向量数量积的运算律得到关于的表示式，即可求值．
19.【答案】解：因为点为的中点，
由向量的平行四边形法则，可得，
在中，由向量的三角形法则，可得．
证明：在中，
，
，，
点为的中点，且点为靠近的三等分点，
，
三点共线，
，
，
即为定值．

【解析】本题考查向量运算，考查平面向量共线基本定理，属于基础题．
根据向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解；
由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解．
20.【答案】解：由已知可得， ， ， ，
所以， ，
所以， ．
由已知可得 ，
即 ，
所以有 ，解得 ．

【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题．
由已知可求得 ， ， ，然后根据数量积的运算律即可求出 的值，开方即可得出答案；
由已知可得 ，展开代入已知，即可得出答案．
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