6.3平面向量基本定理及坐标表示 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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6.3平面向量基本定理及坐标表示高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则( )
A. B. C. D.
2.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”。“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第届国际数学家大会的会徽。如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在同一个平面内，向量、、的模分别为、、，，与的夹角为若、，则( )
A. B. C. D.
4.点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是
( )
A. B. C. D.
5.如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为的中点，则
A. B. C. D.
6.已知，，，点在内，且，设，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量、、为三个单位向量，且，若，则的取值不可能为
A. B. C. D.
8.正方形中，，分别是，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在直角坐标系中，已知点，，，，，则( )
A. 若，则
B. 若点在上，则
C. 若，则
D. 若在方向上的投影向量是，则
10.下列说法正确的是( )
A. 若点是的重心，则
B. 已知，，若，则
C. 已知，，三点不共线，，，三点共线，若，则
D. 已知正方形的边长为，点满足，则
11.下列说法中正确的为
( )
A. 若，，则
B. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 非零向量和满足，则与的夹角为
12.下列说法中错误的有
( )
A. 若，则
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则
D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在扇形中，，为弧上的一个动点，若，则的取值范围是____．
14.已知是边长为的等边三角形，，，那么关于点的说法正确的是 填序号
点不在以外的区域
点的轨迹是一条线段
点的轨迹长是
点的轨迹长是．
15.已知向量，，则的最大值为
16.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，四边形为平行四边形．
求向量，的坐标；求点的坐标．
18.本小题分
如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．
求；
若，求的值．
19.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，，相交于点，为中点设向量，．
用，表示；
建立适当的坐标系，使得点的坐标为，求点的坐标．
20.本小题分
如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点，为上异于的任意一点．
求的值； 判断的值是否为一个常数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的与的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，
，，，，
设，
则，
即，
解得，，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理，平面向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
建立直角坐标系，设，利用勾股定理求出的坐标，设，由坐标运算性质即可得出．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设，，则．
，解得．
设，则，．
，．
设，
则．
，．
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，属于中档题．
根据结合向量数量积的坐标运算，可得关于、的方程组，解方程组即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，
，，，，，，
则，，
所以，，
即，
解得，，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生
灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
法一：延长交于点，由向量的线性运算，计算求得，即可求解得到答案；
法二：以边所在的直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴，垂足为原点，建立直角坐标系，设，运用平面向量的坐标运算，计算求解即可．
【解答】解：法一：延长交于点，
由，
得，
即，
所以，所以，
故选A．
法二：以边所在的直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系，
设，
则，，
由，
得，
所以所以，
所以，
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于基础题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的与的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，
；
，，，
设，
则，
即，
解得，；
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查考查平面向量的基本定理和坐标运算，由已知建立直角坐标系，写出点，，的坐标，然后利用平面向量的基本定理进行坐标运算即可求解．
【解答】
解：因为，所以，
所以以为原点，以，所在的直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，
则，，
由题意可设，
由可得，
，
所以，
所以．
选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理及其应用、坐标运算，考查三角函数性质的利用，以向量、方向为，轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果．
【解答】
解：依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点表示由轴非负半轴旋转到所形成的角构成的向量，

因为，，，，
所以，故，
故，故可以是选项中的，，．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算，平面向量的基本定理及应用．
根据已知条件建立平面直角坐标系，列方程组解出，即可求解．
【解答】
解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为，，分别是，的中点，
，，．
，
，
，
．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理与投影向量，以及平面向量的坐标运算，属于基础题．
由平面向量的相关知识，逐项排除即可．
【解答】
解：，
因为，所以，
由，
若，得，选项A正确
若在上，则，
，
所以，即，选项B错误
由，解得，
由，得，选项C正确
若在方向上的投影向量是，
则可设 ，此时点与点重合，
即解得，则，选项D错误．
故本题选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的基本定理和坐标运算，属于中档题．
利用向量的基本定理和坐标运算依次判断各个选项即可．
【解答】
解：对于，由是重心连接并延长，必交于中点，且，易知，
而，故
则点与点重合，
所以是边的中点，所以A正确；
对于，
所以，
所以，所以不正确
对于，若，则，
所以为的中点，但条件没有，所以不正确
对于，
，所以D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断选项的结论．
【解答】
解：对于：若，，，则，故A错误；
对于：向量，，
又，所以不共线，
所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故B正确；
对于：已知，，则，
因为与的夹角为锐角，
所以，且不共线．
即，且，
解得，故C错误；
对于：非零向量和满足，
则以、为边长的三角形为等边三角形，
所以与的夹角为，故D正确．
故答案选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，向量的模，向量的基底及向量的夹角等，属于中档题．
利用向量的夹角公式，向量的基底，以及平面向量基本定理逐项分析，即可推出结果．
【解答】
解：因为，所以可得，故错误
因为向量 ，即， 共线，故不能作为平面内所有向量的一组基，故正确
因为向量，所以，即可得，故错误
因为 ， ， 与 的夹角为锐角，
所以 ， 且
此时与的夹角为，即且，故错误．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理及其应用，三角函数的值域，属于中档题．
建立平面直角坐标系，进行求解即可．
【解答】
解：设扇形的半径为，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，建立直角坐标系，如图，
其中；；
设，则，
由，得；
整理得：；，
解得，，
则，
由，
得，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的基本定理应用，考查向量坐标运算，属于较难题．
依题意，根据，又，所以点在内部或边界上，可判断，建立平面直角坐标系，设，得，进而判断，，
【解答】
解：因为，，
所以，又，所以点在内部或边界上，故正确
以所在直线为轴，线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，设，
则，，，
又，所以，
消去得，所以点的轨迹是一条线段，故正确，
线段两端点坐标，
点的轨迹长为，故正确，错误，
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习，属于基础题．
先根据向量的线性运算得到的表达式，再由向量模的求法表示出，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．
【解答】
解：，
．
的最大值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．
建立适当平面直角坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于，的方程组，求得，的值，即得．
【解答】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，
由与的夹角为，且，
，，，
，
，
．
，
，，
解得，，
则．
故答案为：．
17.【答案】解：作轴于点，
则，，
，故，
，，，
又，，
，即
，
点的坐标为．

【解析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的加法运算以及平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
作轴于点，由已知可求出，从而可得的坐标，进而根据，即可求出的坐标；
根据可求出的坐标．
18.【答案】解：以点为坐标原点，和分别为轴，轴建立平面直角坐标系
则，，，
又为中点和
，
，
且题中已知
，
又因为，
，解得
．
【解析】本题考查了向量坐标的线性运算，向量数量积的坐标运算考查了基本运算求解能力，属于基础题．
分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解，求出，即可计算．
用，表示，列方程即可求解．
19.【答案】解：，
又为中点，
；
；
由题意可如图建系，
可得，，，
可得，，
，
可得．
【解析】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的线性运算，平面向量基本定理，属中档题．
利用平面向量的线性运算的应用即可表示出
由点的坐标可建系，然后利用向量的坐标建系求解可得．
20.【答案】解：方法一：
．
，
故的值为常数．
方法二： 以点为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意易知，则，，，
设，则，
，
所以，，即
此时，，
所以．
设点的坐标为，此时，
所以，
故的值是常数．

【解析】本题考查向量的数量积、平面向量的坐标运算，属于中档题．
方法一：由题意及图形，可把向量，用两个向量，表示出来，再用数量积的公式进行计算；
将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求出数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
方法二：以点为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义求出，的坐标表示，由向量的数量积公式进行求解即可；
设点的坐标为，表示出的坐标，再由向量的数量积公式进行求解即可．
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