7.1复数的概念 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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7.1复数的概念高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数其中为虚数单位，给出下列命题：
：的共轭复数为；
：的虚部为；
：的模为；
：在复平面内对应的点位于第四象限．
其中真命题的个数为
A. B. C. D.
2.非零复数满足，则复数在复平面内对应的点位于
( )
A. 实轴 B. 虚轴 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限
3.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是
( )
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
4.已知复数在复平面上对应的点为，则( )
A. B. C. D. 是纯虚数
5.胡选修智学网下列四个选项中，正确的是
( )
A. 复平面内实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
B. 若复数，满足，则且
C. 若复数，满足，则
D. 设为复数，，，若，则
6.已知复数在复平面内的对应的点的坐标为，则下列结论正确的是
( )
A. 复数的共轭复数是 B. ，
C. D. 的虚部是
7.已知不相等的复数与，则下列说法正确的序号是
．( )
若，则是纯虚数；若，则若，则在复平面内对应的点关于实轴对称若，则
A. B. C. D.
8.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是
( )
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第二象限
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则以下说法正确的是
( )
A. 复数的虚部为 B. 的共轭复数
C. D. 在复平面内与对应的点在第二象限
10.下列说法中正确的是
( )
A.
B. 复数的虚部是
C. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹是双曲线
11.已知不相等的复数，，则下列说法错误的是( )
A. 若是实数，则与不一定相等
B. 若，则
C. 若，则，在复平面内对应的点关于虚轴对称
D. 若，则
12.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是
( )
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数其中，给出下面四个结论：
一定不是纯虚数
在复平面上，对应的点可能在第三象限．
其中所有正确结论的序号为 ．
14.设复数，则下列命题中正确的是 填序号
；
；
在复平面上对应的点在第一象限；
虚部为．
15.在下列命题中：
两个复数不能比较大小；
复数对应的点在第四象限；
若是纯虚数，则实数；
若，则
“复数为纯虚数”是“”的充要条件；
复数；
复数满足；
复数为实数，
其中正确命题的是 填序号
16.已知，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
Ⅰ已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；
Ⅱ已知复数为纯虚数，求实数的值．
18.本小题分
已知复数的共轭复数是，满足是虚数单位．
求复数；
若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求．
19.本小题分
已知复数满足
求；
若复数的虚部为，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部的取值范围．
20.本小题分
已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限．
求复数；
设，且，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则可得：复数，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．
【解答】
解：，故错误；
的虚部为，故错误；
，故错误；
在复平面内对应的点位于第一象限，故错误．
所以真命题的个数为个，
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，共轭复数，复数相等的充要条件，以及复数的几何意义，属于基础题．
解题时设，则，且，不同时为零，然后代入计算，根据复数相等计算出和即可．
【解答】
解：设，则且，不同时为零，
因为，所以，
则，所以中实部和虚部相等，
故复平面上表示复数的点位于第一或者第三象限．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数除法运算、复数的模、共轭复数、复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题．
化简复数，然后依次判断各个选项即可．
【解答】解：，则，
，故A错误；
复数的共轭复数为，故B错误；
复数的虚部为，故C错误；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，属于基础题．
根据题意，求出复数，逐项判断即可．
【解答】
解：复数在复平面上对应的点为，
则，错；，错；
，错；
，则是纯虚数，对．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的几何意义及复数运算，同时考查复数的模及复数相等，还考查了共轭复数，属于中档题．
虚轴上的原点不表示纯虚数；利用特值判断，，对于设 ，， ，则则 ，则 ，正确．
【解答】
解：对于，虚轴上的原点不表示纯虚数，故A错误；
对于，当，时，，此时，故B错误；
对于，当，时，，此时，不满足 ，故C错误；
对于，设，， ，由，， ，
得，所以则，
，所以，即D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
根据复数在复平面内的对应的点求出复数的表达式，然后根据共轭复数的定义、复数模的计算公式、复数虚部的定义、复数的乘法运算法则进行逐一判断即可．
【解答】
解：因为复数在复平面内的对应的点的坐标为，
所以，因此，所以选项A不正确；
因为，所以选项B不正确；
因为，所以选项C不正确；
因为，所以的虚部是，因此选项D正确，
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念和几何意义，考查复数的模、共轭复数，属于基础题．
解题时根据选项涉及到的相关概念，结合举例，逐项分析即可．
【解答】
解：设，则，
则且，所以，，所以是纯虚数，故正确；
取，满足，但，故错误；
若，在复平面对应的点为，则，在复平面对应的点为，所以、在复平面内对应的点关于实轴对称，故正确；
若，，则，，此时，但、的大小无法比较，故错误．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念、共轭复数、复数的几何意义、复数的模以及复数的除法运算，属于中档题．
根据复数除法运算计算出复数，根据相关概念即可求解．
【解答】
解：因为，
所以．
所以，，
复数的虚部为，
复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的基本知识，需掌握复数的概念、共轭复数的概念、复数的四则运算、复数的模以及复数的几何意义，属于基础题．
利用复数的乘除运算可得，根据复数的概念可判断；根据共轭复数的概念可判断；根据复数的模可判断；根据复数的几何意义可判断．
【解答】解：，
复数的虚部为，排除选项；
的共轭复数，排除选项；
，选项正确；
复平面内与对应的点的坐标为，在第二象限，选项正确．
故选CD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，复数的四则运算，复数的模，共轭复数，复数的几何意义，属中档题．
由复数的四则运算及复数的概念，可以判断、，由复数的几何意义及双曲线的定义可以判断、．
【解答】
解：对于，，
所以，故A正确；
对于，，
所以复数的虚部是，故B正确；
对于，，所以，
则复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以C错误；
对于，设，则由，可得，即为点到点与点的距离之差为，
因为，所以点的轨迹为双曲线的右支，
即满足的复数在复平面上对应点的轨迹是双曲线的右支，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据已知条件，结合特殊值法，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查特殊值法，以及复数的几何意义，属于基础题．
【解答】解：对于，当，时，，则，故A正确，
对于，令，，满足，但，故B错误，
对于，设，，，则，
在复平面内对应的点的坐标为，
在复平面内对应的点的坐标为，，在复平面内对应的点关于实轴对称故C不正确，
对于，令，，则，，
由于，不能比较大小，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，涉及复数的概念，复数的模，共轭复数，复数的代数表示及其几何意义，属于中档题．
先由计算出，再根据选项判断即可．
【解答】
解：，
则，
，故A错，
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了共轭复数、复数的模、纯虚数、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据共轭复数的概念求解；根据复数的模的概念求解；根据纯虚数的概念求解；根据复数的几何意义求解．
【解答】
解：已知复数，
对于、 ，故正确；
对于、，故正确；
对于、若时，是纯虚数，故错误；
对于、在复平面上，对应的点为，不可能在第三象限，故错误．
故选．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算以及复数的概念、复数的模、共轭复数和复数的几何意义，属于简单题．
首先化简复数，再逐项判断真假即可．
【解答】
解：，
，对；
，对；
复数对应的点为，在第一象限，对；
复数的虚部为，错．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的运算及性质．
由题意利用复数的定义、性质及运算法则，通过举反例，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：以下命题：
两个复数不能比较大小，错误，如复数和复数，显然．
复数对应的点在第四象限，错误，因为复数对应点为，在第二象限．
若是纯虚数，则实数，错误，例如时，此复数为．
若，则，错误，例如，， 时，等式仍成立．
“复数为纯虚数”是“”的充要条件，错误，因为当时，复数不一定是纯虚数．
复数，正确，复数，说明复数和都是实数，故有成立．
复数满足，错误，如时，，，等式不成立．
复数为实数，正确，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
设，则，由复数相等可求出，求出，再由复数的模长公式求解即可．
本题考查复数的模及其几何意义，考查复数的共轭，复数的加减运算，复数相等，属于基础题．
【解答】
解：设，则，
所以，
所以，则，
，所以．
故答案为：．
17.【答案】解：Ⅰ设，
由题意得
解得，，
，．
Ⅱ
，
由题意得解得．
【解析】本题考查复数的基本概念、复数的运算，属于一般题．
Ⅰ，，根据复数模的公式以及复数相等，得到，的方程组，再结合在复平面内对应的点在第二象限，得到，的值，即可得到
Ⅱ通过复数的运算化简，再根据为纯虚数，得到的关系式，解得的值．
18.【答案】解：
设，则，
因为，
所以，
即，
所以
解得或
所以或；
由知或，
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，
所以
．
【解析】本题考查复数的代数表示及其几何意义、复数相等的充要条件、共轭复数、复数的四则运算、复数的模，属于中等题．
设，则，代入，利用复数相等的条件，求出，的值，即可求出结果；
利用复数的四则运算法则化简，利用模长公式，即可求出结果．
19.【答案】解：设，
则，即
则：，解得，则
从而；
设，则
因为在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得．
即实数的取值范围为．
【解析】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数相等，复数的四则运算属于中档题．
设，由复数相等得出，求出，利用求模公式求解即可
设，则 ，由复数的结几何意义得出，即可求解实数的取值范围．
20.【答案】解：Ⅰ设，
则，
解得或舍去．
．
Ⅱ，，
，
，
．
【解析】本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的模，属于中档题．
Ⅰ设，代入，利用复数相等求出，，即可得解
Ⅱ由Ⅰ求出共轭复数，根据复数的四则运算，结合复数的模的公式，得到关于的方程，解之即可．
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