7.2复数的四则运算 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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7.2复数的四则运算高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为( )
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的根，则实数( )
A. B. C. D.
3.复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
5.若是方程的一个虚数根，则( )
A. B. C. D. 或
6.在复数范围内，方程的解的个数是
( )
A. B. C. D.
7.在复数范围内，，是方程的两个不同的复数根，则的值为
( )
A. B. C. D. 或
8.已知是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足方程，则
( )
A. 可能为纯虚数 B. 方程各根之和为
C. 可能为 D. 方程各根之积为
10.若，是关于的方程的两个虚根，则( )
A. B. C. D.
11.已知复数，以下四个说法中正确的是
( )
A.
B. 若，则
C.
D. 若是方程的虚根，则互为共轭复数
12.“虚数”这个词是十七世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创造的，当时的观念认为这是不存在的数人们发现即使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解引进虚数概念后，代数方程的求解问题才得以解决设是方程的根，则( )
A. B. 是该方程的根 C. 是该方程的根 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为__________．
14.已知复数满足为虚数单位，则一个以为根的实系数一元二次方程为__________________．
15.已知关于的方程的两个根是，若，则实数的值为 ．
16.设是复数，关于的一元二次方程的两个复数根为若，则_____．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求的值；
若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．
18.本小题分
已知复数，
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围
若该虚数是关于的方程的一个根，求实数的值．
19.本小题分
在复平面上表示的点在直线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数，为虚数单位，满足 ．
若，求复数以及
若是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
20.本小题分
已知复数，其中为虚数单位．
若是纯虚数，求实数的值；
若，是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算和复数范围内方程的根与分解因式，属于基础题．
利用复数的四则运算得，再利用复数范围内方程的根，计算得结论．
【解答】
解：因为是关于的方程的一个根，
所以，解得，
因此关于的方程是，其另一个根为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，复数相等的充要条件，属于基础题．
将代入方程，根据复数的运算法则化简为，再根据左右相等列出方程组求解．
【解答】
解：由是关于的方程的根，
则，
整理得 ，
所以
则实数．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了复数相等条件的应用，考查了数学运算能力，是中档题．
设，代入方程后结合复数相等条件求出，，进而得到复数．
【解答】
解：设，
由，得，
，即，
即，
，
若，则或，
检验得，时，无实数根舍，
当时，，
当时，得，，，，
复数的个数为个．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，利用根与系数的关系、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，
，，
解得，．
则．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数集内解方程，属于基础题．
求出方程的虚数根，再代入计算即得．
【解答】
解：方程化为：，依题意，或，
显然，又，即，
所以．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数范围内方程的根，属于基础题．
令，代入方程得出，求解即可．
【解答】
解：令，
由得，
，
当时，得，则，
当时，，方程无实数解，
则．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数方程的求解与复数的模，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
因式分解，解得或，即可．
【解答】
解：由，得因为，所以或，
所以的值为或．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：也是原方程的一个根，再利用根与系数的关系即可得出．
【解答】
解：是关于的方程的一个根，
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得也是原方程的一个根，
，．
解得：，，则，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的概念，考查了复数集内解方程或分解因式，属于基础题．
根据题意得出或，进而得到或，再逐项判断即可．
【解答】
解：复数满足方程，则或；
若，解得
若，则，
则不可能为纯虚数，故A错误
则方程各根之和为，故B正确
由方程有一根为，故C正确
方程各根之积为，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数集内解方程、共轭复数、复数的乘法运算，属于基础题．
解方程求出，，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以方程的两个虚根为，
不妨设，
则，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了模的运算性质、复数的运算法则以及实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用模的运算性质、复数的运算法则以及实系数一元二次方程的虚根成对原理即可判断出正误．
【解答】
解：利用模的运算性质可知正确；
B.取，，满足，则，，，不正确；
C.利用模的运算性质三角形法则可知正确；
D.利用实系数一元二次方程的虚根成对原理即可得出正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数及共轭复数的计算，考查了复数方程的根，属于基础题．
求出方程的两根，利用根与系数的关系可判断选项；利用代入法可判断选项；计算得出，可判断选项．
【解答】
解：解方程，即，解得，
所以与为方程的两根．
对于选项，由韦达定理可得，故A正确；
对于选项，因为，
故不是方程的根，故B错误；
对于选项，若，则，
若，则，
所以是该方程的根，故C正确；
对于选项，当时，，
当时，，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，考查分类讨论思想，属于较难题．
设，得到，，通过讨论求出，的值，求出满足条件的所有，相加即可．
【解答】
解：设，且，
则原方程变为，
所以，且，；
若，则解得，当时无实数解，舍去；
从而， 此时，故满足条件；
若，由知，或，显然不满足，故，代入得，，所以
综上满足条件的所有复数的和为
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的乘除运算，考查复数的模长运算，考查实系数一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．
根据条件可得，然后得到由实系数一元二次方程的两根，，即可得结果．
【解答】
解：复数满足
，
即，
故．
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根，
，
所求的一个一元二次方程可以是．
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了方程的实根和虚根的问题，属于基础题．
根据判别式分类讨论，即可求出的值．
【解答】
解：，，
若方程的判别式，即时，则方程的有两个实数根，．
则，
解得，
若方程的判别式，即时，则方程有一对共轭虚根，
则，解得．
故答案为或．
16.【答案】或或
【解析】【详解】
因为，所以，
．
从而，
．
代入，得
或当时．
当时，把代入，
得．
解得．
综上所述，或．
故答案为：或或
17.【答案】解：
；
由题得，
因为，
所以，解得
所以．

【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
18.【答案】解：复数在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得
则实数的取值范围为
因为虚数是方程的一个根，所以虚数也是方程的一个根，
于是，
解得，得到，，
．
【解析】本题考查复数的几何意义以及在复数范围内求解方程及共轭复数与复数的乘法运算，属于基础题．
根据复数的几何意义得出关系式求出即可；
根据与都是方程的根，利用根与系数关系得出的值，再由复数的乘法运算求解即可．
19.【答案】解：选条件，
因为，，所以，解得，
又，所以；
选条件，
复平面上表示的点在直线上，因为，，，
所以，
在复平面上表示的点为，
依题意可知，解得；
选条件，，
因为，所以，
所以，解得；
所以
；
是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根，
所以；则实数．
故实数的值为．
【解析】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．
选条件，根据求出的值；
选条件，求出在复平面上表示点的坐标，代入直线方程求出的值；
选条件，计算，根据求出的值；
再计算和的值；
由是实系数一元二次方程的根，则也是方程的根，利用根与系数的关系求出的值．
20.【答案】解：因为复数是纯虚数，
所以，解得：．
当时，．
因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以的共轭复数也是实系数方程的根，
所以，，解得：，，
故．
【解析】本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的求法，属于中档题．
直接由实部为且虚部不为列式求解．
根据是方程的另一根，利用根与系数的关系可求出答案
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