8.1基本立体图形 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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8.1基本立体图形高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个矩形边长为和，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器下表面密封，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为
( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
3.下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是( )
A. 棱柱的侧棱互相平行
B. 以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C. 正三棱锥的各个面都是正三角形
D. 棱台各侧棱所在直线会交于一点
4.已知正方体的棱长为，为中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.从正方体的个顶点上任取个顶点，则这个顶点构成的几何图形不可能是( )
A. 三个面是直角三角形的正三棱锥 B. 有一个面是钝角三角形的四面体
C. 每个面都是等边三角形的四面体 D. 每个面都是直角三角形的四面体
6.若圆锥的底面半径为，高为，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品过松源晨炊漆公店如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为山高为，是山坡上一点，且为了发展旅游业，要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为
( )
A. B. C. D.
8.已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体如下图五面体是一个刍甍，其中四边形为矩形，其中，，与都是等边三角形，且二面角与相等，则长度可能为
( )
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的是
( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B. 棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D. 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
11.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是
( )
A. 锐角三角形 B. 直角梯形 C. 正五边形 D. 六边形
12.下列说法中错误的有( )
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C. 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面
D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某球类比赛的冠军奖杯如图所示，顶部的球通过三根竖直的支撑杆与水平放置的长方体底座相连．若球的半径为，三根支撑杆长度均为，粗细忽略不计，且任意两根支撑杆之间的距离均为，则球的最低点到底座上表面的距离为 ．
14.在正三棱锥中，底边长为，侧棱长为，点，分别为棱，上的动点不含端点，则截面三角形周长的最小值为 ．
15.已知正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 ．
16.如图所示，给出四个条件，其中能推断所示的几何体是三棱台的是 ．
，，，；
，，，，，；
，，，，，；
，，
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四边形是边长为的正方形，，，请你判断这个几何体是棱柱吗若是棱柱，指出是几棱柱若不是棱柱，请你用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为的三棱柱，并指出截去的几何体的名称．
18.本小题分
一个圆锥的底面半径为，高为，在圆锥内有一个高为的内接圆柱，设圆柱的轴截面面积为．
用表示圆柱的轴截面面积；
当为何值时，最大？并求最大值．
19.本小题分
茶杯、热水瓶、食用油桶等都是装液体的容器，你会注意到它们多设计成圆柱形的。现有问题：已知一个正三角形、一个正方形和一个圆的面积相等，都等于，设正三角形的边长为，正方形的边长为，圆的半径为．
比较它们的周长的大小；
试根据的结论写出装液体的容器多设计成圆柱形假设容器的高相同的数学道理．
20.本小题分
如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求曲面上最短路程问题，是基础题．
画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．
【解答】
解：侧面展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于的对称点，连接，
令与交于点，
则得的最小值就是为．
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱柱、棱锥、圆锥、空间几何体的截面问题，属于基础题．
根据几何体的结构特征逐项分析判断．
【解答】
解：对于：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，
故C错误；
对于：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的结构特征，棱台的结构特征，棱柱的结构特征，圆锥的结构特征，属于基础题．
根据相应几何体的定义和性质判断即可．
【解答】
解：根据棱柱的结构特征，可知棱柱的侧棱互相平行，故A正确；
当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；
正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；
棱台是用平行于棱锥底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力与思维能力，属于中档题．
由题意画出图形，可知当时，截面为等腰梯形，进一步得到当时，截面是四边形，当时，截面是五边形．则答案可求．
【解答】
解：如图，当时，截面为等腰梯形，
当时，截面是四边形，
当时，截面是五边形，
若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥的结构特征，属于基础题．
作图，根据图形分析即可．
【解答】
解：如图， 是正方体，三棱锥 是三个面为直角三角形的正三棱锥，A正确；
三棱锥 是四个面都是直角三角形的四面体，D正确；
三棱锥 是四个面都是等边三角形的四面体，C正确；
对于，先选取点，与剩下的个顶点的任意两个都不可构成钝角三角形，故B错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥中截面面积的最值问题，属于中档题．
求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，即可求得答案．
【解答】
解：设圆锥的母线长为，则，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则即，
则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为
故截面的面积为，
截面的面积在时取到最大值，
故截面面积的最大值为．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了圆锥的侧面展开图，以及几何体中的最值问题，属于中档题．
求出圆锥的母线长和圆锥的侧面展开图的圆心角，再展开圆锥侧面进行求解．
【解答】
解：该圆锥的母线长为，
所以，则圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接，过点作的垂线，垂足为，由两点之间，线段最短，则观光公路为图中的，
则
记点为上任一点，连接，上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大，则下坡段的公路，即图中的，由，得：
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的截面问题，属于中档题．
先确定线段的长是定值，截面一定是平行四边形，分与不同的棱相交时截面面积的最小值，再比较大小即可得出答案．
【解答】
解：，因为截面与长方体相交且过，
所以截面一定是平行四边形，
分别求截面与不同的棱相交时的最小截面面积．
当截面与分别交于点，时，
或到的距离最小是到平面的距离，
也就是到的距离，到的距离是，
所以截面面积为；
同理当截面与，相交时，
和上的点到的距离最小是，
截面面积为；
当截面与，相交时，
，上的点到的距离最小是，
截面面积为，
综上然截面面积的最小值是．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间角、运动思想方法、空间位置关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
由于与都是等边三角形，且边长为，故高为，取两个极限情况：二面角与相等，且趋向于时，二面角与相等，且趋向于时，，即可得出．
【解答】
解：由于与都是等边三角形，且边长为，故高为，
当和趋向于时，
，如下图所示：
当和趋向于时，
，如下图所示：
所以的取值范围是，
所以的长度可能为，，．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱柱及棱锥的概念，属于较易题．
依据棱柱定义判断选项A、；一个 棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和 可以判断C正确；根据正棱锥定义即可判断D错误．
【解答】
解：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱．
而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；
由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确；
一个 棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和 ，即 ，故C正确；
一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本体考查几何体的截面，利用余弦定理解三角形，属于较难题．
根据正方体的截面特点，对四个选项一一判断．
【解答】
解：对于：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形．
如图所示的截面三角形 ．
设 ，所以 ， ， ．
所以由余弦定理得：
所以 为锐角同理可求： 为锐角， 为锐角所以 为锐角三角形．
对于：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，
可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形．
对于：当截面为五边形时，不可能出现正五边形．
对于，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查棱柱、棱锥、棱台以及球的结构特征，是中档题．
根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，逐项判断即可得解．
【解答】
解：当一个棱柱是斜棱柱时，侧面是平行四边形，但不一定全等，故A选项错误；
当截面与棱锥的底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，
故B选项错误；
根据球面的定义，选项正确；
棱台是由棱锥被一个平面于底面的平面所截得到的，故侧棱延长后交于一点；
但是侧面不一定是等腰梯形，故D选项错误．
故选ABD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间中的距离公式，涉及了三角形外接圆半径的求解，正弦定理的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于中档题．
设三根支撑杆与球的连接点分别为，，，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出球心到所在平面的距离，从而求出球心到底座上表面的距离，即可得到答案．
【解答】
解：设三根支撑杆与球的连接点分别为，，，
由题意可得，是边长为的正三角形，
设的外接圆的半径为，
由正弦定理可得，，
所以，
故球心到所在的平面的距离，
又球的半径，
所以球心到底座上表面的距离为：，
故球的最低点到底座的上表面的距离为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间中的最短距离，空间几何体的截面问题截面形状、面积，属于中档题
得到正三棱锥的侧面展开图，由图可得截面的周长最小值．
【解答】
解：正三棱锥的侧面展开图如图，
由平面几何知识可得，
所以，
于是∽，
所以，即，所以，，
所以，又，
可得．
则截面的周长最小值为：．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了球的截面性质，属于中档题．
将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，为棱的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积达最小值，进而计算出结果．
【解答】
解：将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，
正四面体的棱长为，
正方体的棱长为，可得外接球半径满足，解得，
为棱的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积达最小值，
此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，
得到截面圆的面积最小值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱台的结构特征，考查棱台的底面上的边的特性，是一个简单的概念辨析问题，解题时抓住棱台的定义．
【解答】
解：根据棱台是由棱锥截成的，
，故不正确；
，故不正确；
，故正确，
满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故错误，
故答案为．
17.【答案】解：因为这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
所以这个几何体不是棱柱．
如图，在上取点，使，在上取点，使，
连接，，，
则过，，的截面将原几何体分成两部分，
其中一部分是三棱柱，其侧棱长为
另一部分是四棱锥，
即截去的几何体是一个四棱锥．

【解析】本题考查了简单多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征，考查了空间想象能力，属于中档题．
通过观察图形可知该几何体的所有面中没有两个互相平行的面，补充该几何体不是棱柱在上取点，使，在上取点，使，连接，，，则过，，的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱，另一部分是四棱锥．
18.【答案】解：设圆柱的底面半径为，
则由，得，
，
当时，，
当时，圆柱的轴截面面积最大，为．

【解析】本题考查圆柱与圆锥的结构特征，直接求解即可．
由图易知，得，则．
，当时，，即可求解．
19.【答案】解：Ⅰ由已知得：，，，
设正三角形，正方形，圆的周长分别为，，，
，，，
，
．
Ⅱ，
因为底面积一定时圆的周长最小，即容积相同时圆形的时候最节省材料．

【解析】本题主要考查了正三角形、正方形、圆的面积相等时它们周长的大小，涉及大小比较，容器设计为圆柱形的原因，属于中档题．
Ⅰ根据正三角形、正方形、圆的面积公式得到，，关于的表达式，进一步求出相应的周长，平方后比较它们周长的大小即可；
Ⅱ由Ⅰ知正三角形、正方形、圆的面积相等时圆的周长最小，由此得到容器做成圆柱形所用材料最少．
20.【答案】 解：设圆台的母线长为，由截得的圆台上、下底面面积之比为，
可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为，过轴作截面，
如图所示．
则，．
所以．
所以．
解得，即圆台的母线长为．

【解析】本题考查圆台的结构特征，考查简单的推理能力和计算能力，属于基础题．
根据圆台的性质利用三角形相似的性质即可求解．
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