8.3简单几何体的表面积与体积 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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8.3简单几何体的表面积与体积高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是正方形的对角线，的圆心是，半径为，正方形以为轴旋转一周，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比是
( )
A. B. C. D.
2.已知正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积相等，它们的表面积分别为、、，则
( )
A. B. C. D.
3.若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是
( )
A. B.
C. D.
4.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成如图所示若它所有棱的长都为，则
( )
A. 平面 B. 该二十四等边体的体积为
C. 与所成的角为 D. 该二十四等边体的外接球的表面积为
5.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，已知，，则下列结论错误的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥内切球的半径为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
6.如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若这个三棱柱的体积为，则该球的表面积为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为的半球的体积相等．现有一个半径为的球，被一个距离球心为的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则
A. B.
C. 当时， D. 当时，
10.如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则
( )
A. 该圆台轴截面面积为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台的外接球体积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
12.在棱长为的正方体中，为线段的中点，点和分别满足，，其中，，则下列结论正确的是
( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是
C. 当时，不存在使得
D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为 ．
14.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是________．
15.如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为，高为，圆锥母线长为，里面有一个半径为的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为 ．
16.如图，实心铁制几何体由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知，，，，且，底面某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗，则铸得的铁球的半径为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，．
以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积．
18.本小题分
如图所示，四边形是直角梯形单位：，求图中阴影部分绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
19.本小题分
若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，设它们的表面积分别为、、，判断它们的大小关系，并证明．
20.本小题分
已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．
若该三棱锥的侧棱长为，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；
若该三棱锥的所有棱长均为，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
若该锥体的体积为定值，求这三棱锥侧面与底面所成的角的余弦值，使该三棱锥的表面积最小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥、圆柱和球的体积计算，属于中档题．
利用圆锥、圆柱和球的体积公式即可求解．
【解答】
解：设正方形的边长为，可得
，
故图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比是 ，
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，即可得出结论．
【解答】
解：正方体的棱长为，体积，，
等边圆柱轴截面是正方形的高为，
体积，，
球的半径为，体积，，
，
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查几何体的体积和表面积，考查计算能力，属于中档题．
设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，根据体积公式得出，，的关系，进而得到其比值，然后根据面积公式求得各几何体的表面积之比，与比较大小，即得答案．
【解答】
解：设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，
则，，，
，，，
，
．
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查简单几何体、球和正方体的结构特征，棱柱和棱锥的体积球的表面积，异面直线所成角，属于较难题．
假设平面，可得，又六边形为正六边形，可得，可判定；补齐八个角为正方体，根据正方体的体积减去个角的体积，即可计算体积，判断选项B；根据图形可知，，所以或其补角是与所成的角，求出，根据余弦定理可求得的值，即可判定；取正方形对角线交点，根据题意可知为直径，为该二十四等边体外接球的球心，球的即求得半径，求得球的表面积，判定．
【解答】
解：对于，假设平面，又平面，于是，
即，由对称性可知，六边形为正六边形，所以，
可得矛盾，故A错误；
对于，因为多面体的所有棱的长都为，所以补齐八个角构成棱长为的正方体，
则该二十四等边体的体积为，故B错误；
对于：根据图形可知，，所以或其补角是与所成的角；
如图，根据正方体的棱长为，所以，
所以，
又，根据余弦定理得，
，
根据，所以，
所以与所成的角为，故C错误；
对于：取正方形对角线交点，根据正方体和球的结构特征可知，
为该二十四等边体外接球的球心，为直径，
因为，
所以该二十四等边体外接球的半径为，其表面积为，所以D正确；
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查旋转体及其特征，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知求出圆锥侧面积判断；求出三棱锥体积的最大值判断；转化为求内切圆的半径判断；利用剪展问题求得的最小值判断．
【解答】
解：由，，得，
，又，可得．
对于选项、圆锥的侧面积为，故正确；
对于选项、当时，的面积最大，此时，
则三棱体积的最大值为，故正确；
对于选项、圆锥内切球的半径，就是内切圆的半径，
设为，则，可得，故错误；
对于选项、，，，，
又，为等边三角形，则．
将以为轴旋转到与共面，得到，
则为等边三角形，，
如图：．
，，
，
的最小值为，故正确．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题．
由三视图可得该几何体为底面边长为、的矩形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，将该几何体补成一个长方体，求出外接球半径，代入球表面积公式，可得答案．
【解答】
解：由三视图可得该几何体为底面边长为、的矩形，
一条侧棱垂直底面的四棱锥，高为，如图所示：
则，
解得，
将该几何体补成一个长方体，
则其外接球半径为，
故这个几何体的外接球的表面积为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的外接球的体积的最值问题，属于中档题．
确定点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大是解题关键，再结合三棱锥的体积公式求出球的半径，则球的表面积可求．
【解答】
解：如图，
设球的半径为，，，
，而面积为定值，
当点到平面的距离最大时，最大，
当为与球的大圆面垂直的直径的端点时，体积最大，
最大值为 ，，
球的表面积为，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三棱柱体积的求法，球的表面积公式，球的切接问题，是基础题．
由三棱柱的体积，结合其结构特征，进而求得球的半径，则答案可求．
【解答】
解：“堑堵”的外接球的球心如图所示，
设外接圆圆心为，外接圆圆心为，
为的中点，
，
由三棱柱的体积为，
在中，设球的半径为，
则有，
所以，
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了新定义问题，解题的关键时读懂题意，构建几何体求体积，涉及利用导数研究函数的单调性，属于难题．
根据新定义求出即可判断选项，然后由即可判断选项，从而可得，代入即可判断选项；利用导数研究函数的单调性即可判断．
【解答】
解：图为半径为的半球，图几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，
截面与底面圆心的距离均为，
根据题意可知等于图中上圆柱的体积减去上圆台的体积，
设图中圆锥的截面圆的半径为，
则，则，即小圆锥的底面半径和高都为，
所以，
所以
，故A正确；
所以，故B错误；
当时，，故C正确；
当时，，
令，，
则，所以函数在上单调递增，
所以在上单调递减，
又当时，，
所以当时，，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，圆锥的侧面积，三棱锥的体积，多面体上的最短距离，余弦定理的应用，属中档题．
求出圆锥的侧面积判断选项A，求出三棱锥体积的最大值判断选项B，根据圆锥的结构特征和余弦定理判断选项CD．
【解答】
解：对于，由题意圆锥的高为，底面圆半径为，
则母线长为，
所以圆锥的侧面积为，故A错误；
对于，因为点是圆上异于，的动点，
又因为为直径，
所以当点位于圆弧中点，即时，
三角形面积最大，即，
又因为三棱锥的高即为圆锥的高，
所以三棱锥体积的最大值为，故B正确
对于，由圆锥的结构特征可得，
因为点是圆上异于，的动点，
所以，
所以，
所以的取值范围是，故C错误
对于，若，则位于圆弧中点，即，
所以，
所以为正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，
如图，将沿翻折至与共面，形成四边形，因为为线段上的动点，
所以，故D正确．
故选BD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆台的结构特征、圆台侧面积和体积的求解、圆台表面上最短距离的求解，属于中档题．
利用梯形的面积公式，可判定A正确；由圆台的体积公式，准确计算，可判定B错误；利用球的截面圆的性质，列出方程组，求得外接球的半径，进而求得外接球的体积，可判定C正确；把圆台补成圆锥，利用侧面展开图，结合勾股定理，可判定D正确．
【解答】
解：对于中，由 ，且 ，可得 ，
高 ，
则圆台轴截面 的面积为 ，所以A正确；
对于中，圆台的体积为 ，所以不正确；
对于中，设圆台的外接球的球心为 ，半径为 ，连接 ，设 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，如图所示：
解得 ，即 与 重合，
当球心在几何体内时， 与联立，
解得，与在几何体内不吻合，
综上，，
所以外接球的体积为 ，所以C正确．
对于中，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角 ．
设 的中点为，连接 ，可得 ，
则 ，所以沿着该圆台表面，从点到 中点的最短距离为，
所以D正确
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的体积、球的表面积、多面体当中的最短距离以及利用空间向量确定线面垂直，考查空间想象能力以及运算能力，属于较难题．
对于，由线面平行得出点到平面的距离恒定；对于，求出外接球半径即得；对于，建立空间直角坐标系，使用空间向量的方法求解；对于，由即得．
【解答】
解：当时，点为线段的中点，又为线段的中点，
故E为三角形的中位线，，点在线段运动时，点到平面的距离恒定，
三角形面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故选项A正确；
B.当时，点为正方体的中心，设四棱锥的外接球的半径为，
由，解得，
故四棱锥的外接球的表面积为，故选项B正确；
C.当时，点与点重合，
根据正方体结构特征，与垂直，与垂直，
与交于，且均在平面内，
故B与平面垂直，
当时，为中点也是正方体中心，故也在平面内，
故在平面内，，
故存在使得，故C错误；
D.把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，
作点关于线段的对称点，则，
过点作、的垂线，垂足分别为和，
则，
设，
则，
故，故E，故选项D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查球的接、切问题，棱锥的体积，球的体积，属于中档题．
求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．
【解答】
解：是等腰直角三角形，
为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，
当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为，
， 解得，
设外接球的半径为，则，，
在中，，
由勾股定理得：，解得．
外接球的体积．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．
【解答】
解：六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆柱，圆锥，球的体积，考查空间想象能力，属于中档题．
由题意小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球，当小球运动到左侧与圆锥相切时画出轴截面，即可由容器体积减去小球滚动形成几何体的体积得解．
【解答】
解：小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球，当小球运动到左侧与圆锥相切时，其轴截面如图所示，
由题意知，，则，
所以，因为，
所以，，
小球滚动形成圆柱的高为，
所以小球滚动形成几何体的体积为：
，
，
故小球无法碰触到的空间部分的体积为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱柱棱锥体积求解，球的体积公式，属于中档题．
由题意可知，该几何体体积与铸成的球体积之间的关系，然后列方程求解．
【解答】解：设铸得的铁球的半径为，依题意，
可得该几何体的体积为，
则，
解得．
故答案为．
17.【答案】解：因为底面三角形的边长分别为 ， ， ，
由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为 ， ，
又因为三棱柱 的侧棱垂直于底面，其高为 ，
所以
设圆柱底面圆的半径为 ，
则 ，
圆柱体积 所以剩下的几何体的体积
由可知该直三棱柱的内切球半径为 ，
则内切球球的体积
直三棱柱 可补形为棱长分别为 的长方体，
它的外接球的球半径 满足 ，即
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 ．

【解析】本题考查剩余部分几何体的体积的求法以及球的表面积和体积，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
求出三棱柱的体积和圆柱的体积，由，能求出剩余部分几何体的体积．
首先求出外接球和内切球的半径，进而利用球的体积和表面积公式求结果．
18.【答案】解：由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积圆台的侧面积一半球面面积．
又，
，
，
所以该几何体的表面积为
又，
所以该几何体的体积为
【解析】本题考查几何体的表面积和体积的求法，解题时要认真审题，注意圆台、半球的体积的求法和应用．
由题意知所成几何体的表面积等于圆台下底面面积圆台的侧面积半球面面积，该几何体的体积为，由此能求出结果．
19.【答案】解：设等边圆柱底面圆半径为，球半径为，正方体棱长为，
则，
则，，
， ，，
，，
故．
即
【解析】本题考查几何体的结构特征以及表面积、体积，属于基础题．
根据体积相等得到它们的底面半径、球半径以及正方体的棱长的关系，进一步求表面积．
20.【答案】解：如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，，
由余弦定理得，，
所以质点移动路程的最小值为．
设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为，圆锥的母线为，
则，解得：，
，所以，
，
所以圆锥的侧面积为，
圆锥的体积为．
设为点在底面的投影，设点到的距离为，于点，
则，连接，则，所以，，
因为是等边三角形，所以，，
因为，所以，
侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，
所以，
所以，
令，则，又，所以，
所以
，
当且仅当即，时等号成立，
取得最小值，取得最小值，此时
所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角为时其表面积最小．

【解析】利用三棱锥的侧面展开图即可求解；
求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可求解；
设为点在底面的投影，点到的距离为，利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解．
本题主要考查锥体体积的求解，锥体表面积的求解，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．
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