8.4空间点.直线.平面之间的位置关系 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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8.4空间点.直线.平面之间的位置关系高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
2.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中为假命题的是
( )
A. 若，，，则
B. 若，，， ， ，则
C. 若，，， ，则
D. 若与异面，，，则存在，使得， ，
3.若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A. 至少与，中一条平行 B. 至少与，中一条相交
C. 至多与，中一条相交 D. 必与，中一条相交，与另一条平行
4.已知直线和平面，若直线在空间中任意放置，则在平面内总有直线和( )
A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 相交
5.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格工人师傅运用的数学原理是( )
A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知 表示不同的点，表示直线， 表示不同的平面，则下列推理中错误的是
( )
A.
B.
C. 直线 与直线是异面直线
D.
8.如图，在正方体中，对角线与平面交于点，，交于点，为的中点，为的中点．则命题，，三点共线；，，，四点共面；，，三线共点，其中正确的个数为
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与直线异面
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形
D. 三棱锥的体积是正方体体积的
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中的两条直线是异面直线的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
11.下列结论正确的是( )
A. 在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
B. 用斜二测画法画水平放置的边长为的正三角形，它的直观图的面积是
C. 正方体中，直线与是异面直线
D. 正方体中，， 分别为， 的中点，是线段不含端点上的动点，过，，点的平面截该正方体所得的截面为六边形
12.设、、是三条不同的直线，、、是三个不同平面，则下列命题不正确的有
( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.对于直线和平面，有如下四个命题：
若，，则；
若，，，则；
若，，则；
若，，，则．
其中正确的命题个数为 ．
14.若，是两个相交平面，为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为 ．
若，则在内一定不存在与平行的直线；
若，则在内一定存在无数条直线与垂直；
若，则在内不一定存在与垂直的直线；
若，则在内一定存在与垂直的直线．
15.空间两条直线都平行于平面，那么直线的位置关系是 ．
16.如图，一张纸的长宽之比为，，分别为，的中点．现分别将，沿，折起，且，在平面同侧，下列命题正确的是 写出所有正确命题的序号
，，，四点共面；
当平面平面时，平面；
当，重合于点时，平面平面；
当，重合于点时，设平面平面，则平面．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在长方体中，，截面．
确定点的位置；
若，，，求线段的长．
18.本小题分
如图，在边长为的正方体中，，分别是棱，的中点
求证：点在平面内
用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，，求的值．
19.本小题分
如图所示，在正方体中，，分别是，的中点．
判断和是否为异面直线，并说明理由
判断和是否为异面直线，并说明理由．
20.本小题分
如图，在正方体中，，分别是棱，上的点．
画出过，两点的直线与底面的交点．
画出过，，三点的截面与过，，三点的截面的交线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查了空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．
利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐一分析判断，即可得到答案．
【解答】
解：对于，若，，则或，故选项A错误；
对于，若，，，则或与相交，故选项B错误；
对于，若交线为，交线为，则平面内各作一条直线，，且与相交，则，，又，则，，又与相交，，在平面，则，故选项C正确；
对于，若，，，，则或与相交，故选项D错误．
故答案选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
根据空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一验证即可．
【解答】
解：对选项A，若，，则，又，所以，故A正确
对选项B，当，，，，时，与可能平行或相交，故B错误
对选项C，由，可得，又，，所以，故C正确
对选项D，在上取点，分别作，的平行线，，
这两条相交直线确定平面，如图所示．
因为，，，则，同理可证，
因为，，，，所以，，
又因为，，，所以，故D正确．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间两条直线的位置关系异面，相交，平行，属中档题．
【解答】
解：若直线与，均平行，由平行公理，可得，这与，异面矛盾，故A选项错误；
可以与，两条直线都相交，有两个不同的交点，也可以只与，中的一条相交，再结合选项A的分析，故B选项正确；
可以与，两条直线都相交，有两个不同的交点，故C选项错误；
可以与，中一条相交，与另一条平行，但是不一定，结合前三个选项的分析，故D选项错误．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．
本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下分别讨论平面中的直线与已知直线的位置关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直．
【解答】
解：当直线与平面相交时，
平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．
当直线与平面平行时，
平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．
当直线在平面内时，
平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故A错．
不管直线与平面的位置关系是相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故C正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面的基本性质的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．
根据两条相交直线确定一个平面，由此可得结论．
【解答】
解：由题意，分析可知，工人师傅运用的数学原理是：两条相交直线确定一个平面．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断，以及平面与平面、直线与直线的位置关系的判断问题，属于基础题．
根据给定的条件，举例判断面面、线面位置关系的命题，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答．
【解答】
解：长方体中，平面，平面分别视为平面，，直线，分别为直线，，显然有，而与相交，即不能推出
长方体中，平面，平面分别视为平面，，直线，分别为直线，，显然有，而与是异面直线，即不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故本题选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面的基本性质，考查分析能力和空间想象能力，属于中档题．
根据点、线、面的位置关系，逐一对、、、四个选项作出判断即可．
【解答】
解：对，如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上的所有点都在这个平面内，故A正确；
对，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条过该点的公共直线，故B正确；
对，由直线与点，无法判断直线与直线的位置关系，故C错误；
对，直线与平面内有公共点，又，则直线与平面只能相交，故D正确．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中的共点、共线问题，属于中档题
对于由 、、三点均在平面与平面的交线上可判断；对于由可判断；对于由的结论，可设与交于一点，证明点位于交线上即可．
【解答】
证明：对于：平面，，平面，
又平面，平面
、交于点，，
又平面，平面，平面，平面
又平面，平面 、、三点在平面与平面的交线上，、、三点共线
对于：为的中点，为的中点，，又，，
四边形是平行四边形，，E、、、四点共面
对于：由知、、、四点共面，所以可设与交于一点，
则：，平面，
平面同理，平面，平面平面，
直线、F、三线交于一点，即三线共点．
故答案选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线线、线面平行的判定，几何体的截面问题，棱锥的体积，是中档题．
由异面直线的判定可判断；证明，，，四点共面，结合判断；判断截面的形状，判断；设正方体棱长为，三棱锥的体积可判断．
【解答】
解：直线，，
直线与直线异面，故A选项正确；
连接，，
，分别为，的中点
，
又，
所以，
则，，，四点共面，即平面，
因为，分别为，的中点，
所以，且，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
平面，故B选项正确；
平面截正方体所得截面为四边形，
易得，，
所以四边形是等腰梯形，故C选项正确；
对于选项D，设正方体棱长为，
正方体的体积为，
三棱锥的体积，
故选项D错误．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
由正方体的展开图还原成正方体，根据异面直线概念对选项逐一判断即可．
【解答】
解：将正方体的展开图折起还原成正方体，折起以后各点的位置，如图所示，
由正方体的性质知，选项中成异面直线关系的有与，与，与，
又点与点重合，与相交于点，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱柱的结构特征，空间中的截面，属于一般题．
根据棱柱的性质即可判断，根据斜二测画法的性质即可求解，由异面直线的定义即可判断，根据平面基本性质即可作出截面判断．
【解答】
解：对于，由棱柱的性质可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正确，
对于，根据斜二测画法的规则可知：
直观图中，高 ，
所以直观图的面积是 ，故B错误，
对于，由于在正方体 中，直线 与 既不平行也不相交，所以是异面直线，故C正确，
对于，延长， 相交于 ，连接 交于点 ，
同理延长， 交于点 ，
由于， 是中点，所以 ，
故在平面 中，作 交边 于 ，连接 交 于 ，
因此六边形 即为所求截面六边形，故D正确，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与平面间的位置关系、空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
根据直线与平面间的位置关系逐项判断即可．
【解答】
解：对于，因为，，所以，
因为，所以，故A正确；
对于，因为，，所以与相交，平行或异面，
又，则与可能相交，故B错误；
对于，因为，，所以与平行或相交，
且，则与不一定垂直，故C错误；
对于，因为，，所以，
因为，所以或，故D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线、直线与平面间的位置关系，属于基础题．
运用线面、面面的平行和垂直的判定和性质解答即可．
【解答】
解：错误，若，，则或或与斜交或；
正确，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可得；
错误，由，，可得或；
正确，由线面垂直、面面垂直的性质可得．
故正确命题的个数为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查空间中直线与直线的位置关系，属于中档题．
根据各项的线面关系，结合平面的基本性质判断正误即可．
【解答】
解：若，如果，互相垂直，则在平面内存在与平行的直线，故错误；
若，则垂直于平面内的所有直线，故在平面内一定存在无数条直线与垂直，故正确；
若 ，在空间中其它平面都可找到与垂直的直线，故在面内一定存在与垂直的直线，故错误，正确．
故答案为：
15.【答案】平行、相交或异面
【解析】【分析】
本题要我们判定空间平行于同一个平面的两条直线的位置关系，着重考查了空间中直线与平面之间的位置关系等知识，属于中档题．
结合空间面面平行的性质和线面平行的判定与性质，在正方体中举例说明，即可得到答案．
【解答】
解：如图所示：

在正方体中，平面平面，
记平面为，若直线、为平面内的相交直线，
则直线、都平行于平面，此时直线、相交；
记平面为，若直线、为平面内的平行直线，
则直线、都平行于平面，此时直线、平行；
设、分别为棱、的中点，直线与直线重合，直线与重合，
若平面为，则直线、都平行于平面，此时直线、异面．
故答案为平行、相交或异面．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断，空间直线与平面垂直与平行的位置关系的综合应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
证明，，推出平面，平面，结合，平面与平面有公共点，然后证明四点共面．
当平面平面时，说明，推出四边形是平行四边形，即可证明；
设，则，推出，证明平面，然后证明平面平面；
证明平面，得到，然后证明平面．
【解答】
解：在中，，在中，，
所以，所以，同理，
则折叠后，平面，平面，
又，平面与平面有公共点，
则平面与平面重合，即四点共面；
由可知，四点共面，平面平面，
平面平面，当平面平面时，
得到，显然，所以四边形是平行四边形，所以；
不在平面上，平面，平面；
设，则，所以，
则，又，，
所以平面，平面，则平面平面；
由，平面，平面，
所以平面，平面，平面平面，
则，平面，平面，
所以平面．
故答案为：．
17.【答案】解：因为，平面，
所以平面．
又平面，所以点是平面与平面的公共点．
又因为平面平面，
根据基本事实，可得．
又因为，所以，
即点为线段与的交点．
连接，连接，交于点由知点为与交点．
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，是中点．
又是的中点，
所以点是两条边上中线的交点，
所以点是的重心，
所以，所以．
又因为，，，
所以，
故．

【解析】本题考查了平面的基本事实和平面的基本性质，属于一般题．
根据已知可得出点是平面与平面的公共点，又平面平面，即可根据基本事实得出，即可得出点的位置；
连接，连接，交于点易证四边形为平行四边形，进而结合已知可知点是的重心，推得然后根据长方体的棱长求出体对角线，即可得出答案．
18.【答案】解：连接，在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又，
所以，所以、、、四点共面，
即点在平面内
再连接，所以平面截正方体的截面是四边形，
所以是几何体三棱台的体积，
所以，
因此：．

【解析】本题考查了空间中共面问题，正方体的结构特征，台体体积，属于中档题．
19.【答案】证明：和不是异面直线如图所示，连接，，．
，分别是，的中点，．
又，四边形为平行四边形．
，．
，，，在同一平面内，和不是异面直线．
与是异面直线．
方法一：在正方体中，易知，，，不共面．
假设与不是异面直线，则存在平面，
使得平面，平面．，，，平面，
，，，共面，与，，，不共面矛盾，假设不成立，
即与是异面直线．
方法二：平面，平面，平面，且，
由异面直线的判定定理得与是异面直线

【解析】本题考查了异面直线，反证法，解题的关键是理解异面直线的定义，属于中档题．
连结，，，由，为棱的中点可得，再证明四边形为平行四边形，则，通过等量代换即可得到，从而得出结论；
方法一：利用假设法进行判断，假设和不是异面直线，则存在平面，
使得，，，平面，，这与，，，不共面矛盾，从而假设不成立，命题得证；
方法二：由异面直线的判定定理即可得出结论．
20.【答案】解：连接并延长，与的延长线交于点，则为所求点；
如图所示：
设与的交点为，与的交点为，则为所求直线；
如图所示：

【解析】本题考查了直线与直线的位置关系，以及平面与平面的位置关系．
利用直线与直线的关系，即可得；
利用平面与平面的位置关系，即可得．
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