7.3复数的三角表示 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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7.3复数的三角表示高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被兴为“数学中的天桥”下列说法正确的是
( )
A. B.
C. 的模长为 D.
2.棣莫弗公式其中为虚数单位，为实数是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此( )
A. B. C. D.
4.欧拉公式其中，，为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是
( )
A. 的实部为 B. 在复平面内对应的点在第一象限
C. D. 的共轭复数为
5.数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式，其中是虚数单位，是自然对数的底数，，这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.欧拉公式是自然对数的底数，是虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于
( )
A. B. C. D.
7.年瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并得到著名的“欧拉公式”，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，给出下列四个结论：其中所有正确结论的编号是( )
A. B. C. D.
8.关于复数的运算，错误的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是
( )
A. B.
C. 是方程的一个根 D. 满足最小正整数为
10.欧拉公式为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当时，被称为数学上的“优美公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是
( )
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
11.已知复数其中为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 复数在复平面上对应的点可能落在第四象限
B.
C.
D. 为实数
12.若复数，则下列说法正确的是
( )
A. 是纯虚数 B. 的三角形式为
C. 复数对应的点在第四象限 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，若，则称为复数的辐角主值．根据该公式，可得的辐角主值为 ．
14.莱昂哈德欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛复变函数中的欧拉公式，其中是虚数单位可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为 ．
15. ．
16.复数，，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数满足，且是纯虚数．
求；
求的辐角的主值．
18.本小题分
把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数形式和它的辐角的主值．
19.本小题分
已知复数的模为，辐角为锐角，且复数的模为，辐角为，且．
求复数的代数形式
在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值．
20.本小题分
已知复数在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位．
求实数的取值范围
当时，求复数的三角表示式
若在复平面内，向量对应中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数结果用代数形式表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的三角表示式及复数的乘法运算，复数的模及其几何意义，属于中档题．
根据欧拉公式，不一定为，可以判断，结合复数的运算法则化简，可以判断，，化简，结合复数的模的计算，可以判断，，化简可以判断．
【解答】
解：对于，由，
得不一定为，故A错误；
对于，，
故B错误；
对于，，
所以的模长为，故 C正确；
对于，，故 D错误．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的三角表示式，复数的代数表示及其几何意义，是中档题．
由棣莫弗公式对复数化简可得答案．
【解答】
解：由已知得 ，
所以复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，位于第三象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的三角形式及其运算，是基础题．
由题意结合所给的公式，结合三角函数运算化简即可得出答案．
【解答】
解：，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类，复数的模及其几何意义，共轭复数，复数的代数表示及其几何意义、复数的三角表示式，属于中档题．
根据题意写出复数的代数形式并运用任意角的三角函数及复数的几何意义，共轭复数，复数的模逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于， ，的实部为，故A错误
对于， ，因为，
所以 ， ，所以复数 对应的点位于第二象限，故B错误；
对于， 故C正确；
对于，的共轭复数为，故D错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查欧拉公式，考查学生的运算能力，属于基础题．
根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解．
【解答】
解：对于，，所以，故A不正确；
对于，，，
所以，故B正确；
对于，，，
所以，故C不正确；
对于
，故D不正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的三角形式，欧拉公式，复数的模及其几何意义，考查计算能力，属于基础题．
根据复数的求模公式得出 ，结合 即可得解．
【解答】
解：由题意知 ，
所以当 时， 取得最小值．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，属于基础题．
根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项．
【解答】
解：由，
，所以，故正确
，故正确
，，
所以，故正确
，故错误．
故正确的为．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算以及共轭复数与模的计算公式，属于中档题．
运用复数的四则运算以及共轭复数与模的计算公式即可判断每个选项的正确性．
【解答】
解：对于，故 A错误
对于设，，、、、，
，
，故B正确
对于设，，、、、，
，故C正确
对于设，，、、、，
由，
，
，
，故D正确．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查共轭复数的概念，考查复数的乘方运算，考查复数方程以及复数的三角表示，属于中档题．
由共轭复数的定义写出，应用复数加法、乘方运算判断、；在复数域内求的根判断；应用复数的三角表示有，即可判断最小正整数判断．
【解答】
解：由题设，，则，，
所以A正确，B错误；
由可得，解得，故是该方程的一个根，C正确；
由，则，
故当时，是虚数，
当时，，所以满足为实数的最小整数等于，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查新定义和复数的代数表示及其几何意义、复数的模、复数的四则运算，属于中档题
根据模的计算公式判断；将代入，两个式子联立解方程判断；令，则表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，即可判断．
【解答】
解：根据题意，，故A正确；
由 ，
，
，故B正确，C错误；
依题可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 ，
故 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 ，
因为 ，所以该点位于第二象限，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的几何意义，复数模公式，以及共轭复数的概念，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
对于，结合三角函数的取值，以及复数的几何意义，即可求解，对于，结合复数模公式，即可求解，对于，结合共轭复数的概念，以及复数的乘法法则，即可求解，对于，结合复数的乘除法法则，即可求解．
【解答】
解：对于，复数其中为虚数单位，
，，
复数在复平面上对应的点可能落在第四象限，故正确，
对于，，
，故错误，
对于，，故正确，
对于，为实数，故正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，共轭复数、复数的模，复数的三角形式，复数的几何意义，属于基础题．
由复数的运算和共轭复数判断，根据以及共轭复数判断，根据复数的四则运算及复数的几何意义判断，根据复数的模判断．
【解答】
解：复数，
是纯虚数，故A正确，
，，故B不正确，
复数，对应的点为，在第一象限，故C错误，
，故D正确．
故选AD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的三角表达式，属于中档题．
根据欧拉公式与复数的相关概念求解即可．
【解答】
解：因为 ，
所以 ，
所以 的辐角主值为 ．
故答案为： ．
14.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，属于中档题．
根据欧拉公式，由化成指数式需满足求解．
【解答】
解：因为把化成指数式需满足，
又，
如当时，，
故答案为：答案不唯一
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，属于基础题．
由复数的四则运算结合三角函数的特殊值，计算可得结果．
【解答】
解：
．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义及复数的基本运算，属于中档题．
将设为三角形式，结合复数的代数形式，代入，化简后结合三角函数性质可求最大值即可．
【解答】
解：，，
设，
则，
，其中，
当时，取得最大值，
从而得到的最大值为．
故答案为．
17.【答案】解：设
由得．
，，
，即，解得
由是纯虚数，
得且，
解得， 所以．
当时，的辐角的主值为；
当时，的辐角的主值为．

【解析】本题考查复数运算，考查复数有关概念及复数的三角形式，属基础题，
依题意，设 由得，得．
由是纯虚数得，得，即可求得；
将复数化为三角形式即可求得辐角的主值．
18.【答案】解：由复数的三角形式乘法的几何意义得
，
因为，
所以
，
所以的辐角的主值为．

【解析】本题考查复数的三角形式以及辐角有关概念及应用．
由题意得，结合，即可求得，即可得解．
19.【答案】解：复数的辐角为锐角，且，
．
又复数的模为，
复数的模为，辐角为，
，
，
．
由题意，，，的坐标分别为，，，
，，
是直角，
，
，
即．

【解析】本题主要考查复数的几何意义以及运算，属于一般题．
先求得，再得到，然后求解即可
得到，，因为是直角，所以，即可求解的值．
20.【答案】解：因为复数在复平面内对应的点在第一象限，
所以
解得，
所以实数的取值范围为．
当时，，所以，，
取，
所以
方法一代数运算根据题意得在复平面内对应的向量，将其顺时针旋转后得到向量，则
方法二三角运算根据题意得在复平面内对应的向量，将其顺时针旋转后得到向量，
则
又因为，，
所以

【解析】本题主要考查了复数的代数表示及其几何意义，复数的三角表示，复数的除法运算的三角表示及其几何意义的应用，
根据已知及复数的代数表示及其几何意义的计算，求出实数的取值范围
根据已知及复数的三角表示的计算，求出复数的三角表示式
根据已知及复数的除法运算的三角表示及其几何意义的计算，求出向量对应的复数．
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