8.5空间直线.平面的平行 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析）

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8.5空间直线.平面的平行高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点若点在线段上，且满足平面，则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知长方体，，，、分别是棱、的中点，点为底面四边形内包括边界的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
3.下列命题正确的是( )
A. 若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
B. 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行
C. 两相交直线确定一个平面
D. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
4.已知表示三个不同平面，表示三条不同直线，则使“”成立的一个充分非必要条件是
( )
A. 若，且
B. 若，且
C. 若
D. 若
5.如图， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，当 平面 时，( )
A. B. C. D.
6.在空间中，有直线，，平面，，则下列命题正确的是
( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
7.对于直线，和平面，下列命题中正确的是．( )
A. 如果，，，是异面直线，那么
B. 如果，，，是异面直线，那么与相交
C. 如果，，，共面，那么
D. 如果，，，共面，那么
8.在长方体中，，，分别在对角线，上取点，，使得直线平面
，则线段长度的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，空间四边形中，，分别是边，的中点，，分别在线段，上，且满足，，，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，四边形是矩形
B. 当时，四边形是梯形
C. 当时，四边形是空间四边形
D. 当时，直线，，相交于一点
10.已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.直三棱柱中，，，点是线段上的动点不含端点，则以下正确的有
( )
A. 平面
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 的最小值为
D. 一定是锐角
12.在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，线段上有动点，棱 上点满足以下说法中，正确的有
( )
A. 直线与是异面直线 B. 直线平面
C. 三棱锥的体积是 D. 三棱锥的体积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知正方体的棱长为，分别为的中点，点在正方体表面上运动，若直线平面，则点的轨迹长度为 ．
14.对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线，，使得，，，其中可以判断两个平面与平行的条件有 个．
15.如图，已知棱长为的正方体中，分别是线段的中点，又分别在线段上，且设平面平面，现有下列结论：平面；；直线与平面不垂直；当变化时，不是定直线其中成立的结论是________写出所有成立结论的序号
16.如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，分别是侧棱上的动点，，点在棱上，且，若平面，则 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且，，分别为，的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知棱长为的正方体．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
如图，正方体的棱长为，点在棱上，点在棱上，在棱上，且，是棱上一点．
求证：，，，四点共面
若平面平面，求证：为的中点．
20.本小题分
如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为的等边三角形，分别是的中点，．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查线面平行性质定理和相似三角形的计算等知识，属于中档题．
连结，交于点，连结、利用线面平行的性质定理，证出而为的中位线，证出∽，利用相似三角形的性质和平行线的性质，即可算出的值．
【解答】
解：连结，交于点，连结、，如图所示：
平面，平面，平面平面，
．
、分别是、的中点，
为的中位线，
因此，∽，可得，
，即的值为．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查立体几何中的轨迹问题，熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理是解题的关键，属于中档题．
根据题意，取的中点，连接，，，由，，可知平面平面，进而知当点在线段上运动时，直线与平面无公共点，然后求得的长，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，取的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，
所以，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
同理可得，平面，
又，平面，
所以平面平面，
所以当点在线段上运动时，直线与平面无公共点，
线段就是点的轨迹，且，
即点的轨迹长度为．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间线线、面面的位置关系，棱锥的结构特征
选项均可举出反例，选项，根据不在同一条直线上的三点确定一个平面进行证明即可．
【解答】
解：选项，若一个平面中的无数条直线均平行，则不能得到这两个平面平行，A错误；
选项，如图正方体中，，，但与不平行，B错误；
选项，两相交直线的交点设为点，再分别在两直线上各取一个点异于点，则三个点不共线，由不在同一条直线的三点确定一个平面，C正确；
选项，如图所示，该几何体由两个三棱锥拼接而成，不是棱锥，D错误．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面平行的性质、线面平行的判定，属于中档题．
对于，利用线面的位置关系判断即可；对于，利用线面平行的判定定理与性质定理证得充分性成立，再举反例推得必要性不成立，由此得解．
【解答】
解：对于，由 ， ，易得 ，所以无法推得 ，故A错误；
对于，当 ， 时，有可能出现 ，所以不一定推得 ，故B错误；
对于，当平面 为正方体同一个顶点的三个面时， 交于一点，所以不一定推得 ，故C错误；
对于，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
同理： ，所以 ，则充分性成立；
当 时， 可以同在平面 内，则必要性不成立，故D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根据线面平行求线段比，解题关键是掌握线面平行性质定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题．
连接 交 于 ，连接 ，因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，可得 ，结合已知条件，即可求得答案．
【解答】
解：连接 交 于 ，连接 ，
平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
，
故：
又 ， 为 的中点，

由可得：
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线和平面平行的判定和性质，考查了平面和平面平行的判定和性质，是基础题．
利用线面位置关系逐一判断即可．
【解答】解：对于，满足条件的直线，可以平行平面，也可以在平面内，故A错误；
对于，由两个平面平行的判定定理可知，只有当平面内的直线，相交时，两个平面才平行，故B错误；
对于，满足该条件时，两个平面可以平行，也可以相交，故C错误；
对于，由两个平面平行的性质：若两个平面平行，则一个平面内的任一直线平行于另一个平面，故D正确，
故本题选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．
根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对、、、四个选项进行一一判断，从而进行求解．
【解答】
解：、，，、是异面直线，和平面可平行可相交，故A错误；
B、，，、是异面直线，可知与也可以平行，故B错误；
C、，，、共面，，故C正确；
D、，，、共面，可知与也可以相交，故D错误．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线面平行的判定，考查了面面平行的判定，考查了求空间距离，属于较难的题目．
过点作于点，过点作于点，则，连接，
利用面面平行的判定定理可得平面平面，设，则，，在直角梯形中，，由一元二次函数的性质可得最值．
【解答】
解：过点作于点，过点作于点，则，连接，如图所示．，平面，又平面，，平面平面．平面平面，平面平面，．，，设，则，，在直角梯形中，，当时，取得最小值．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面的基本性质，属于中档题．
根据题意，由直线与平面平行的判断方法和平面的基本性质，依次分析选项即可得答案．
【解答】
解：根据题意，连接，依次分析选项：
对于，当时，、是和的中点，
则有且，
又由，分别是边，的中点，
则且，
则有且，四边形是平行四边形，但不一定是矩形，A错误；
对于，当时，
由平行线等分线段定理可得且，
又由且，则有但，
则四边形是梯形，B正确；
对于，当时，易得与不平行，进而有与不平行，
则四点、、、不共面，故四边形是空间四边形，C正确；
对于，由的结论，当时，四点、、、不共面，和不相交，D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线线，面面的位置关系，属于基础题．
根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案．
【解答】
解：选项，若，则可能异面，选项错误．
选项，若，则，选项正确．
选项，若，则、可能相交，选项错误．
选项，若，则，选项正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判断，棱锥、棱柱的结构特征，以及棱锥外接球表面积问题，考查空间想象能力，属于较难题．
根据题意结合选项逐一分析即可得到答案．
【解答】
解：根据题意作图，如图，并将其补成正方体，如图，对于，因为，平面，平面，所以平面，故A正确．
对于，由题意可得三棱锥的外接球与正方体外接球相同，
则外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；
对于，将面，翻折至与平行，此时点与重合，所以的最小值为，且，故C正确；
对于，判断以为直径的球与的交点情况，如图，取中点，当为中点时，则，，所以以为直径的球与没有交点，所以，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是直线间的位置关系，线面平行的判定，面面平行的判定，面面平行的性质，三棱锥的体积，属于中档题．
在上取点满足，通过证明，且即可判断直线与的位置关系；令，则，在中，利用平面几何的知识可得，结合，可得，即可判断直线与平面关系，利用，即可求得体积．
【解答】
解：对，在上取点满足，
由可得，所以四边形是平行四边形，
则，又，所以直线与是异面直线，A正确；
对，令，
由是中点，且，则，
则，又，
所以，所以，
所以，
又，所以，
因为分别是棱的中点，所以，
又，所以，
又，、平面，
所以，
因为，所以直线平面，B正确；
对与，因为
，
，故C正确，D错误；
综上，正确的是．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查面面平行的判断与性质，属于中档题．
分别取的中点，，连接，可证明平面平面，故点的轨迹为四边形点与点不重合，计算梯形的周长即可求解．
【解答】
解：如图，分别取的中点，，连接，
因为，平面，平面，
所以平面．
由正方体的性质可得，
因为平面，平面，
所以平面．
因为，平面，
所以平面平面．
因为，所以四点共面，
所以平面平面．
因为直线平面，所以平面，即点的轨迹为四边形点与点不重合，
因为正方体的棱长为，
所以，，，
所以点的轨迹长度为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查面面平行的判定，属于中档题．
举反例否定，进而得到可以判断两个平面与平行的条件为．
【解答】
解：如图取、、，易知，，但是与相交，不平行，故排除；

若存在平面，使、都平行于，则可以判断两个平面与平行是正确的；
若与相交，如图所示， ，
，且与，两直线等距离，
则内不共线的三点，，到的距离相等所以排除；
存在异面直线，，使得 ， ， ， ，则可以判断两个
平面与平行是正确的．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，属于中档题．
由题目所给条件结合立体几何中线面平行、线线平行、线线垂直等相关性质逐个分析判断即可．
【解答】
解：在中，连接，，，
，
平面，平面，平面，
又平面平面，，，
又平面，平面，故成立；
在中，，，故成立；
在中，，与平面相交，
直线与平面不垂直，故成立；
在中，当变化时，是过点且与直线平行的定直线，故不成立．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线与面的平行关系，熟练掌握线面平行的性质定理是解决本题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．先连接交于，进而通过线面平行的性质定理得出，然后在上截取，使得，进而证明，得出，进一步得到四边形是平行四边形，得出，结合条件的长度关系最后得到答案．
【解答】
解：由题意可知，长方体的高为，底面是边长为的正方形，
连接交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以．
在上截取，使得，连接，易知为的中点，所以，
所以，又，所以四边形是平行四边形，所以．
又，，所以，所以．
故答案为：．
17.【答案】解：证明：点，分别为，的中点，
，
又，
；
如图所示，连接，
因为为等边三角形，且为的中点，故，
而平面平面，且平面 平面，平面，
故平面，
为三棱锥的高．
而，，故 AB，
而三角形为等边三角形，，故，
．
【解析】本题考查线面平行的判断，考查棱锥的体积，属于基础题．
要证明线面平行，就是要证线线平行，题中有中点，由中位线定理易得线线平行，注意得出线面平行结论时，必须把判定定理的条件写全；
要求三棱锥的体积，首先要确定高，本题中有面面垂直，由此易得与底面垂直，因此就是高，求出其长，及面积，可得体积．
18.【答案】解：证明： 在棱长为的正方体 中， ，且
所以四边形 为平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
由正方体易知，三棱锥 的 高为 ，
所以 ．

【解析】本题考查线面平行的判定，棱锥的体积，属于基础题．
证明 ，再由线面平行的判定定理证明；
根据三棱锥体积公式计算即可．
19.【答案】证明：在上取一点，使得，
连接，，则，，
因为，且1，
所以四边形是平行四边形，
所以，
同理，四边形是平行四边形，
所以，且，
又，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以，，，四点共面．
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以．
所以．
在中，，
在中，，
所以，即为的中点．

【解析】本题考查空间中的共面问题，面面平行的性质，是中档题．
在上取点，使，连接，，由此推知，则，得到、、、四点共面；
由平面平面，可得，在和中，可得，即为的中点．
20.【答案】证明：因为 分别是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
解：因为 是等边三角形， 是 的中点，
所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为底面 和侧面 都是边长为的等边三角形，
所以 ．

【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，三棱锥的体积，属于中档题．
利用线面平行的判定定理即可证明；
证明 平面 ，即可求出三棱锥的体积．
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