8.6空间直线.平面的垂直 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含详细答案解析 ）

中小学教育资源及组卷应用平台
8.6空间直线.平面的垂直高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论错误的是
( )
A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面成的角为
C. 直线平面 D. 平面平面
2.在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则下列选项中不正确的是
( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 点到平面的距离为
3.如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是
( )
A. 与平面所成的最大角为
B. 存在某个位置，使得
C. 当二面角的大小为时，
D. 存在某个位置，使得到平面的距离为
4.如图，在正方体中，下列结论错误的为
( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与平面所成的角为
C. 直线平面
D. 平面与平面所成的二面角为
5.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是
( )
A. 平面平面
B. 四面体的体积是
C. 二面角的正切值是
D. 与平面所成角的正弦值是
6.已知直角，，，，，分别是，的中点，将沿直线翻折至，形成四棱锥，则在翻折过程中，平面平面不可能成立的结论是
A. B. C. D.
7.如图所示，四棱锥中，平面，且四边形为矩形，，为的中点，则与平面所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
8.如图，三棱锥中，平面，，分别在棱上，且于，于，则下列说法正确的有( )
是直角
是异面直线与所成角
是直线与平面所成角
是二面角的平面角
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有
( )
A. 异面直线与所成的角可以为
B. 二面角可以为
C. 直线与平面所成的角为定值
D. 线段的长为定值
10.如图是一副直角三角板．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，如图所示．下列叙述中正确的是( )
A.
B. 平面的法向量与平面的法向量垂直
C. 异面直线与所成的角小于
D. 直线与平面所成的角为
11.如图，在三棱锥中，，为的中点，点满足，其中，则( )
A. ，
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 当二面角为时，长为
D. 若三棱锥形状不变，当时，，则当时，
12.将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是
( )
A. B. 是等边三角形
C. 与平面所成的角为 D. 与所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是 写出所有正确的序号
平面平面 直线与平面所成角是
平面平面 二面角余弦值为
14.如图，正方体的棱长为，为的中点，则下列五个命题：
点到平面的距离为；
直线与平面所成角为；
空间四边形在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；
与所成角的正弦值为；
二面角的大小为．
其中真命题是____写出所有真命题的序号
15.已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于______
16.如下图，四面体中，，，两两垂直，，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为________．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．是的中点
求侧面与底面所成的二面角的大小；
求异面直线与所成角的正切值；
问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，在多面体中，平面平面，，，，．
求证：；
若四边形为矩形，且，求直线与平面所成角的正弦值；
若四边形为正方形，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，．
Ⅰ求异面直线与所成角的正切值
Ⅱ证明平面平面
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线面平行、面面垂直的判定定理的运用以及空间角的求法，是中档题．
过作，则为中点，连接，，则，，利用正四面体的性质逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：如图，过作，则为中点，连接，，则，，
又，平面，
平面，平面，
则，即异面直线与所成的角为，故A正确；
设和的交点为，为等边三角形的重心，
由四面体为正四面体，易知平面，
所以与平面所成的角即，又，所以；故B错误；
正四面体中，点，分别是，的中点，，
不在平面上，平面，平面，故C正确；
平面，而平面，平面平面，故D正确．
结论错误的是．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面平行，线面垂直判定，考查面面垂直判定及点到面的距离，属中档题．
对于选项A，取的中点为，证得，可得平面，即可判定
对于选项B，证得平面，进而证得平面，即可判断；
对于选项C，若平面平面，则平面，与平面矛盾，即可判断．
对于选项D，连接交于，故A到平面的距离为到平面的距离的倍，根据可判断．
【解答】
解：对于，取的中点为，连接，，，则，且，
故四边形是平行四边形，则，平面，平面，
故平面，A正确
对于，易求得，则，即，平面平面，
面平面，平面，故BD平面，平面，
则，而由与可知，，，，平面，
故平面，B正确
对于，由选项B知，若平面平面，则平面，与平面矛盾C错误
对于，连接交于，则，即，故A到平面的距离为到平面的距离的倍，
而平面，且，故C到平面的距离为，D正确．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间直线与直线的位置关系以及空间距离问题，属于中档题．
对各个选项逐一验证即可．
【解答】
解：对于，设的中点，连接、，
因为均为等边三角形，
所以，，
，，平面，
所以平面，故在平面内射影为，
与平面所成的角为，
中，，当顶角越小，底角越大，
故与平面所成的角范围在，A错误；
对于，为正三角形，与所成的角为，
这个角大小不随着折叠程度而有改变，故B错误
对于，由图知，当二面角的大小是时，
，，
故C正确
对于，因为到的距离为，只有当平面平面才可以，
若成立，由上知的中点，则，
平面平面，平面，
则平面，这是不可能的，
因为，在内的射影是的外心，
不可能是的外心，
所以不成立，故D错误．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是棱锥的结构特征，异面直线所成角，线面角，线面垂直的判定与性质，二面角，属于中档题．
利用异面直线所成角判断，利用线面角判断，利用线面垂直的证明判断，利用二面角的求法判断．
【解答】解：
对，连接如图：
由正方体性质可得 ，且 平面 ， 平面 ，故 ．
又 ， 平面 ，故 平面 ．
又 平面 ，故 ．
故直线 与直线 所成的角为 ，故A正确；
对，因为 平面 ，故直线 与平面 所成的角为 ，故B正确；
对，连接如图：
由正方体性质可得 ，且 平面 ， 平面 ，故 ．
又 ， 平面 ，故 平面 ．
又 平面 ，故 ．
同理 ，又 ， 平面 ，故 平面 ，故C正确；
对，平面 与平面 交于 ，且 ， ，故平面 与平面 所成的二面角为 ，故D错误．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，二面角以及直线与平面所成角的求法，平面的垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力和推理论证能力，属于中档题．
逐项判断即可
【解答】
解：如图，
由题易得，，，
平面，
又平面，
所以，
易知是二面角的平面角，
故，，，．
在中，由余弦定理得，
可得，过作于，连接，因为，
所以平面，则，
由面积相等得，
可得．
对于，平面，平面，
平面平面，
易知平面与平面不垂直，错；
对于，四面体的体积
，
故B错；
对于，由前可知为二面角的平面角，
，故C错；
对于，
过作垂直的延长线于点，由前可知，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
则就是与平面所成角，
，，
，D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
运用线面垂直的判定定理和性质定理，结合解直角三角形，可判断；由异面直线所成角的定义，可判断；由面面垂直的性质定理可判断；由两平面所成角的定义，可判断．
本题考查空间线面和面面的位置关系，运用线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，考查空间想象能力，属于难题．
【解答】
解：中，，，，
，分别是，的中点，可得，，
由，，可得平面，
即有，而，
即有，
在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
若，可得，这与矛盾，
故不可能成立；
由于，且与不垂直，则与也不垂直，则不可能成立；
当在翻折过程中，平面平面时，且有，
可得平面，则，则可能成立；
由，过作直线与平行，也与平行，可得平面和平面的交线为直线，
且，，则为平面和平面所成角，
由于，则不可能为直角，则不可能成立．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的线面关系以及直线与平面所成角的求法，属于中档题．
过点作于点，先证明平面，得到平面平面，再证明平面，找到与平面所成的角为，再在直角三角形中，求出的余弦值，即可得到答案．
【解答】
解：如图，过点作于点，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
在中，，为的中点，
所以且，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面平面，，平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为．
因为平面，平面，所以，
在中，．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
，由平面得，又得平面；
证得，是直角；
，不能得出，不是异面直线与所成角；
，由平面得平面平面；
由直线与平面所成角的定义得出命题正确；
，证明平面，即得是二面角的平面角．
本题考查了空间角的定义与判断问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系问题，是中档题．
【解答】
解：对于，平面，平面，；
又，，平面；
又平面，，是直角，正确；
对于，不能得出，不是异面直线与所成角，错误；
对于，由平面，平面，平面平面；
又平面平面，在平面内的射影为，
是直线与平面所成角，正确；
对于，由平面，平面，得，
又，，平面；
又平面，；
又，，平面，
是二面角的平面角，正确；
综上知，正确的命题序号是，共个．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．
对于用反证法，假设存在某个位置，使，在中，由勾股定理易知，，再由线面垂直的判定定理可知，面，所以，与已知相矛盾；
对于在翻折的过程中，存在平面与平面垂直，利用面面垂直的判定与性质解答；
对于，，所以面面，所以面；
对于取的中点，连接、，可得、和均为定值，在中，由余弦定理可知，，所以线段的长是定值；
【解答】
解：对于，假设存在某个位置，使，设，
由可求得，，所以，即，
因为，所以面，因为面，所以，与已知相矛盾，即A错误；
对于在翻折的过程中，存在平面与平面垂直，设的中点为，则平面，平面，则，又，因为，所以面，因为面，所以面，故二面角可以为，即B正确；
对于，取的中点，由上知，，且，，所以面面，所以面，所以直线与平面所成的角为定值，即 C正确．
对于，取的中点，连接、，则，且定值；，且定值，所以定值，
由余弦定理得，，所以的长为定值，即D正确；
故选BCD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系，线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质以及利用空间向量求线线、线面和面面的夹角解题关键是根据条件搞清四面体体中线面的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线、线面的夹角，属于中档题．
【解答】
对于
故A正确；
对于如平面的法向量与平面的法向量垂直，则
故 ，与矛盾，故B不正确；
对于以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，
故C正确；
对于易得
，，故D正确；
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．
由线面垂直的判定和性质判断；当平面平面时，三棱锥的体积取最大值判断；由二面角为判断；根据几何体特征结合勾股定理判断．
【解答】
解：
连接，，，为的中点，
，，，平面，
平面，，选项A正确
当平面平面时，三棱锥的体积取最大值．
其最大值为，选项B正确
显然，为二面角的平面角，当二面角为时，
为等边三角形，此时，选项C正确
当时，为的中点，，则，
依题意，，
，
．
当时，，
此时点到的距离仍旧为，
则，选项D错误．
故答案选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定、线面角与异面直线所成角的求解，属于中档题．
取的中点，连接，，根据题意可知，，则为二面角的平面角，在三角形中求出的长，即可判断的形状；取中点，中点，连接，，，则即为直线与直线所成的角，即可求解．
【解答】
解：取的中点，连接，，则，，
，平面，
平面，
平面，，故A正确；
设，
二面角是直二面角，，
，故有，
是正三角形，故B正确；
为与平面所成的角，为，故C错误；
取中点，中点，连接，，，
则且，且，
则即为直线与直线所成的角或其补角，
又，，
则为等腰直角三角形，又为中点，则，
，即为等边三角形，
，故D错误．
故选AB．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面与平面垂直的判定和性质，考查线面角、二面角的求解问题，属于中档题．
由条件可证得和，于是有平面，根据面面垂直的判定定理即可得证正确，继而可说明不正确，由平面，可得 即为直线与平面所成角，可判断正确，由题意可得或其补角即为二面角的平面角，可判断正确．
【解答】
解：在四边形中，，，，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，．
又，，平面，，平面．
又平面，平面平面正确．
平面与平面不能垂直，否则将有平面平面，而平面平面，所以不正确．
平面，即为直线与平面所成角，而，
直线与平面所成角是所以正确．
平面，平面，，又，
所以或其补角即为二面角的平面角．
平面，平面，．
设，则，，
所以所以正确．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断，考查空间线面位置关系，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．
根据正方体的性质等逐一判断即可．
【解答】
解：易知平面，
故B到平面的距离即为点到平面的距离，
连接交于，
则，又平面，则，又，
则易得平面，而，
故点到平面的距离为，故错；
易得平面，故为直线与平面所成的角，且为，故正确；
空间四边形在正方体的面、面内的射影面积为，
在面内、面内的射影面积为，
在面内、面内的射影面积为，故正确；
与所成的角，即为与所成角，即为，
，，，
，
，故正确；
在直角三角形中过作垂直，垂足为，连接，
由≌，易知垂直于，
故是二面角的平面角，
，，
由余弦定理得，，故，故错．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二面角、点到平面的距离、线面垂直的判定和性质，属于基础题．
先求出的长，然后作于点，然后求出的长即可．
【解答】
解：如下图：
连接，做交于点，
因为这个二面角是直二面角，
，且，
所以
，
又平面，
所以平面，所以的长就是点到平面的距离，
因为，，所以，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了点到面的距离，直线与平面所成角，面面垂直的判定及性质等，属于中档题．
利用面面垂直的性质定理得到平面平面，过点作于，由面面垂直的性质定理可知平面，所以点到平面的距离为，根据已知条件求出的长度即可．
【解答】
解：如图，
因为两两垂直，，
所以平面，
平面，
．
又因为，
设点是的中点，
所以，
，
平面．
平面，
平面平面．
过点作于，
因为平面平面，
平面，
所以平面．
所以点到平面的距离为，
直线与平面所成角的正切值为，
即，
所以．
，，
又．
故答案为．
17.【答案】解：如图所示：
取的中点，连接，，
依条件可知，
则为所求的平面角．
，
为侧棱与底面所成的角，
，
设，，
，
．
由图知，侧面与底面所成的二面角为锐角，故为
连接，，
，
为异面直线与所成的角，
，
，
又，
，
，
延长交于，取中点，连接，，．
，
，
又，，
为正三角形，
，
又，
，
是的等分点，靠近点的位置．
【解析】本题考查线面垂直的判定，二面角，异面直线所成角，属于中档题．
取的中点，连接，，依条件可知，则为所求的平面角．
，为侧棱与底面所成的角，即可求解
连接，，，为异面直线与所成的角，即可求解
延长交于，取中点，连接，，．，，
又，，为正三角形，，，即可求解．
18.【答案】证明：，，，
，，
平面底面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
直线与底面所成的角为，
，，，
底面为平行四边形，，，
，
即，解得，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则，
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．
推导出，，，从而，进而平面，由此能证明平面平面．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
19.【答案】证明：在直角梯形中，，，
所以，，
由勾股定理知，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，
所以．
因为四边形是矩形，所以，
由知，又因为，，平面，
所以平面，
所以是与平面所成的角，
因为，，
所以，，
于是在中，，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
因为四边形是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，
故以为坐标原点，以、、所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，
假设符合题意的点存在，设，，
所以，，
设平面的法向量，
由，即得
令，所以，
易知，平面一个法向量为，
所以，，即得，
解得或舍去，
故满足题意的点存在，且线段长为．
【解析】本题主要考查直线与平面所成角以及二面角，涉及线面、面面垂直的判定与性质以及利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于中档题．
根据题意，可先证平面，进而证得；
由题设条件可分析得到是与平面所成的角，进一步可在中，求出的余弦值；
根据题意，可先假设满足题意的点存在，于是以为坐标原点，以、、所在直线为，，轴，利用利用空间向量求二面角的余弦值，再结合题设条件求出长，可证结论．
20.【答案】解：如图，
在四棱锥中，
因为底面是矩形，所以，且．
又因为，
故为异面直线与所成的角．
在中，，
所以异面直线与所成角的正切值为．
证明：由于底面是矩形，故AD．
又因为，，、平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面．
解：在平面中，过点作于，连接．
由平面平面，
而直线是平面与平面的交线，平面，
故平面．
由此得为直线与平面所成角．
在中，
由，，可得，
在中，，
由，平面，得平面，
又平面，因此．
在中，．
在中，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、计算能力，属于中档题．
判断为异面直线与所成的角，在中，求异面直线与所成角的正切值．
说明，通过，，证明平面，然后证明平面平面．
在平面中，过点作于，连接说明为直线与平面所成的角，求出，，在中，通过，求直线与平面所成角的正弦值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)