10.2事件的相互独立性 高中数学人教A版（2019）必修第二册同步练习（含解析 ）

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10.2事件的相互独立性高中数学人教 A版（2019）必修第二册
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为( )
A. B. C. D.
2.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 甲与丁相互独立
3.某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表．假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟．
办理业务所需要的时间分
频率
则在某一天，第三位居民恰好等待分钟才开始办理业务的概率为
( )
A. B. C. D.
4.如图，已知电路中个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为
( )
A. B. C. D.
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列对事件，的表述正确的是
( )
A. 与互为对立事件 B. 与互斥
C. 与相互独立 D.
6.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则
( )
A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 甲与丁相互独立
7.甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为
( )
A. B. C. D.
8.已知，下列说法错误的是
( )
A. 若事件独立，则
B. 若事件互斥，则
C. 设事件与互为对立事件，则
D. 若事件互斥，则
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”至今已有四千多年历史，围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是
．( )
A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为的可能性最大
B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为和的可能性相等
C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲仍有超过的可能性获得冠军
10.已知，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若事件，，两两独立，则
D. 若事件，互斥，事件，独立，事件，独立，则
11.一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：( )
A. B. 与相互独立
C. 与相互独立 D. 与相互独立
12.已知随机事件，发生的概率分别为，，下列说法正确的有
( )
A. 若，则
B. 若，则，相互独立
C. 若，不相互独立，则
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，我们很容易发现：事件，，三个事件两两独立，则 ．
14.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，每轮比赛各投篮一次，命中的概率分别为、、，若每次投球三入互不影响，则在一轮比赛中，三人中恰有两人投篮命中的概率为_________．
15.某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有，两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是________．
16.某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得分；如果只有一个人投中，则小组得分；如果两人都没投中，则小组得分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于分的概率为__________．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达延迟分钟内送达延迟至分钟送达其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励元奖励元罚款元罚款元假定评定为等级的概率分别是．
若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为元的概率．
18.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛约定先赢两局者获胜，比赛随即结束已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率
判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
19.本小题分
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或次都没有通过，则需要重新报名，其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．
20.本小题分
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或次都没有通过，则需要重新报名，其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
先求甲晋级乙不能晋级的概率为，而乙晋级甲不能晋级的概率为，再求和即可．
【解答】
解：甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，
故有甲晋级乙不能晋级的概率为，而乙晋级甲不能晋级的概率为，
则两人中恰有一人晋级的概率为．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查事件独立性的判断，考查古典概型概率的计算，属于中档题．
根据题意，计算基本事件总的个数，依次判断事件甲乙丙丁所包含的基本事件个数，求得四个事件的概率，再求甲丙，甲丁，乙丙，丙丁，根据公式判断四个事件的独立性．
【解答】
解：由题意可知，基本事件的总数为，
甲所包含的基本事件为，，，，，，
乙所包含的基本事件为，，，，，，
丙所包含的基本事件为，，，，，
丁所包含的基本事件为，，，，，，
甲，乙，丙，丁，
甲丙，甲丁，乙丙，丙丁，
有甲丁甲丁，事件甲与事件丁相互独立，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
设事件表示“第三位居民恰好等待分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：第一个居民办理业务所需时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；第一个居民办理业务所需的时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为分钟，由此可求概率．
【解答】
解：设表示居民办理业务所需的时间，用频率估计概率，如下：
设表示事件“第三个居民恰好等待分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：
第一个居民办理业务所需时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；
第一个居民办理业务所需的时间为分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为分钟；
第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为分钟．
所以．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件、独立事件同时发生的概率的计算，属于中档题．
先利用互斥事件和独立事件同时发生的概率求出灯泡不亮的概率，再用对立事件的概率即可解答．
【解答】
解：由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，下边的个都开且上边的个中有一个开另一个闭，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为，
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件与对立事件、互斥事件与相互独立事件的判断、相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
根据题意，分析事件、的关系，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，
两个事件可以同时发生，也可以都不发生，
事件发生与否对事件没有影响，是相互独立事件，和B错误，C正确；
又，，故，故D错误．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查事件独立性的判断，考查古典概型概率的计算，属于中档题．
根据题意，计算基本事件总的个数，依次判断事件甲乙丙丁所包含的基本事件个数，求得四个事件的概率，再求甲丙，甲丁，乙丙，丙丁，根据公式判断四个事件的独立性．
【解答】
解：由题意可知，基本事件的总数为，
甲所包含的基本事件为，，，，，，
乙所包含的基本事件为，，，，，，
丙所包含的基本事件为，，，，，
丁所包含的基本事件为，，，，，，
甲，乙，丙，丁，
甲丙，甲丁，乙丙，丙丁，
有甲丁甲丁，事件甲与事件丁相互独立，
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件，相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
先求甲晋级乙不能晋级的概率为，而乙晋级甲不能晋级的概率为，再求和即可．
【解答】
解：甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，
故有甲晋级乙不能晋级的概率为，而乙晋级甲不能晋级的概率为，
则两人中恰有一人晋级的概率为．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件和互斥事件，同时考查条件概率，属于中档题．
根据相互独立事件和互斥事件及条件概率，逐一判定即可．
【解答】
解：对于，若事件，独立，则，故A正确；
对于，若事件，互斥，则，故B正确；
对于，设事件与互为对立事件，则，故C正确；
对于，若事件，互斥，则，，两者不相等，故D错误．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
根据相互独立事件的概率乘法公式分别求得甲以获胜、以获胜、以获胜、以获胜、以获胜的概率，再根据互斥事件的概率公式即可求解．
【解答】
解：若采用三局两胜制，甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，故A错误
若采用五局三胜制，甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，故B正确
甲以获胜的概率为，
因为采用三局两胜制甲胜的概率为，
采用五局三胜制甲胜的概率为，
所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为和，
又，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误
若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为，所以D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查独立事件，互斥事件，独立事件概率的乘法公式，互斥事件概率的加法公式，条件概率，属于中档题．
由条件概率，可判断选项A；由互斥事件概率的加法公式，可判断选项B；事件，，两两独立，并不能推出一个事件与另外两个事件的积事件相互独立，可判断选项C；由已知可得出事件与事件相互独立，再由条件概率与独立事件概率的乘法公式，可判断选项D．
【解答】
解：对于选项A：，，即，于是，，选项A正确．
对于选项B：，，选项B正确．
对于选项C：事件，，两两独立，可得事件，独立，事件，独立，事件， 独立，但并不能说明事件与独立，不能说明事件与独立，不能说明事件与独立，所以，选项C不正确．
对于选项D：事件，互斥，，又事件，独立，事件，独立，，于是，，，选项D正确．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的定义，及相互独立事件的概率乘法公式，属于中等题．
利用相互独立事件的定义及相互独立事件的概率乘法公式直接得到答案即可．
【解答】
解：由题，可知
对选项，因为表示，，三个事件同时发生的概率，即摸到蓝球的事件概率，
因为，，所以A错误；
对选项，因为，，所以，相互独立
对选项，因为，，所以，相互独立
对选项，因为，，所以，相互独立
所以答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件及条件概率的求法，属于基础题．
由条件概率及相互独立事件的概率对选项逐一判断即可．
【解答】
解：．，，
，A错误
因为事件，相互独立，
，
所以，相互独立故B正确；
因为，不相互独立，
所以，故C不正确；
，
，故D正确；
故选BD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
由，，验证计算即可．
【解答】
解：由题意可得：，
，
，，
，
所以．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的乘法公式，以及互斥事件的加法公式，属于基础题．
利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．
【解答】
解：甲、乙、丙三人进行投篮比赛，每轮比赛各投篮一次，命中的概率分别为、、，
每次投球三入互不影响，则在一轮比赛中，三人中恰有两人投篮命中的概率为
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的计算，解题时注意各个事件之间的相互关系以及事件之间概率的关系，属于中档题．
设、两项技术指标达标的概率分别为，，根据题意，可得关于，的二元方程组，求得的值可得答案．
【解答】
解：设，两项技术指标达标的概率分别为，，
由题意，得
解得
所以一个零件经过检测为合格品的概率．
故答案为．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，所以，
又“不被罚款”，所以．
因此“不被罚款”的概率为；
设事件表示“第单被评为等级”，，
则“两单共获得的奖励为元”即事件，
且事件彼此互斥，
又，
所以．

【解析】本题考查了互斥事件与相互独立事件的判断，相互独立事件同时发生的概率，考查了分析和运用能力，属于中档题．
设事件，，，分别表示“被评为等级”，则““不被罚款”，由即可得到答案；
由“两单共获得的奖励为元”即事件，代入概率公式计算即可求解．
18.【答案】解：第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：
乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为，
乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为，
综上，甲获胜的概率为．
若第一局乙丙对战，由知甲获胜的概率为，
若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：
甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为，
甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为，
甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为
若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况：甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为，
甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为，
甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为
因为，
所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大．
【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率求法，属于中档题．
若第一局由乙丙对战，则甲获胜共有两种情况：乙丙对战乙胜，甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，乙丙对战丙胜，甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜，根据独立事件同时发生的概率公式计算即可；
甲、乙两位同学进行首场比赛，能使甲获胜的概率最大，根据独立事件同时发生的概率公式求得第一局甲乙对战，第一局为甲丙对战，第一局为乙丙对战时甲获胜的概率，比较即可．
19.【答案】解：设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则，．
设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”．
则，
，．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为；
设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元”，则，，
．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率为．

【解析】本题主要考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查学生数学应用能力，属于中档题．
设出基本事件，利用，，，由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；
设出基本事件，利用，，，计算出答案．
20.【答案】解：设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，
“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，
则，．
设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，
事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，
事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”．
则，
，
．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费元”，
事件“妻子参加科目二考试需交补考费元”，
事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元”，
则，，．
因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率为．

【解析】本题主要考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查学生数学应用能力，属于中档题．
设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”利用，，故可得；
设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元”，利用，，，计算出答案．
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