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(总课时34)§4.4复习
【学习目标】了解“一个概念”，“两个方法”，“三个应用”．
【学习重难点】能熟练地进行因式分解.
【导学过程】
一.知识网络图
二.基础知识复习
知识点（一）“一个概念”--因式分解.
1.下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是(C )
A.a(x+y-1)=ax+ay-a B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
知识点（二）“两个方法”---①提公因式法，②公式法.
①提公因式法:
2.mx2-4m=m(x+2)(x-2)
3.把下列多项式因式分解:
(1)x(a-1)+(1-a); (2)-2x2y+16xy-32y; (3)-8a(b-2)3+4(2-b)2.
解：（1）x(a-1)+(1-a)=x(a-1)-(a-1)=(a-1)(x-1);
（2）-2x2y+16xy-32y=-2y(x-4)2
(3)-8a(b-2)3+4(2-b)2=8a(2-b)3+4(2-b)2=4(2-b)2(2a+1)
②公式法--直接用公式法
4.把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4； (2)(x2＋y2)2－4x2y2； (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解：（1）原式=（x2y2+4）(xy+2)(xy-2)
(2)原式=（x2＋y2+2xy）（x2＋y2-2xy）=(x+y)2(x-y)2
(3)原式=（x2＋6x+9）2=（x+3）2
③公式法--先提再套法
5.把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x)； (2)－3x7＋24x5－48x3.
解：（1）原式=（x-1）（1-b2）=(x-1)(1+b)(1-b)
(2)原式=-3x3(x+2)2(x-2)2
④公式法--先展开再分解法
6.把下列各式分解因式：
(1)x(x＋4)＋4； (2)4x(y－x)－y2.
解：（1）原式=x2+4x+4=(x+2)2 (2)原式=4xy-4x2-y2=-(2x-y)2
知识点（三）---三个应用
①应用因式分解进行简便计算
7.计算：（1）2.1×31.4+62×3.14+0.17×314 （2）
（3）-101×190+1012+952
解：(1)原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4
＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)＝31.4×10＝314.
（2）原式=（1-）(1+)(1-)(1+)...(1-)(1+)=
(3)原式=(95-101)2=36
②应用因式分解解整除问题
8.对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
解：(n＋7)2－(n－5)2
＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]
＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)
＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．
∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
③应用因式分解解几何问题
9.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状．
解：∵a2－b2＝ac－bc，∴(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．
∴(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.∴(a－b)(a＋b－c)＝0.
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＋b－c≠0.所以a－b＝0.
∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．
三.课堂小结：
1.本章主要内容：（一）概念；（二）方法；（三）应用.
2.分解因式的一般步骤：
①看“形”与“式”，②优先用“提”，③再用“套”公式，
④看是否能继续分解，⑤“逆”看最后结果是否正确.
五.分层过关
1.下列式子的变形是因式分解的有（ B ）个
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y） （2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2 =2m（2m–3n）+9n2 （4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列四个多项式中,能因式分解的是(B )
A.a2+1 B.a2-6a+9
C.x2+5y D.x2-5y
3.多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是 (A )
A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2
4.将多项式(a-3)2-(2a-6)因式分解的结果是(a-3)(a-5) .
5.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是1 .
6.把下列各式分解因式:
(1)3ax2-6axy+3ay2 (2)12(y-x)2-18(x-y)3 (3)9(a-b)2-30(a2-b2)+25(a+b)2.
解：(1)2x2-32x4=2x2(1-16x2)
=2x2(1+4x)(1-4x).
(2)3ax2-6axy+3ay2
=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2.
7.现有一种根据自己生日用“因式分解”法产生的密码,其原理是:若某人的生日是8月5日,他选择了多项式x3+x2y,其分解因式的结果是x·x·(x+y),然后将x=8,y=5代入,此时各个因式的值是:x=8,x=8,x+y=13,于是就可以把“8813”作为密码.小明选择了多项式x3+2x2y+xy2,他的生日是10月22日,请你写出用上述方法产生的密码.
解：x3+2x2y+xy2=x(x2+2xy+y2)=x(x+y)2=x(x+y)(x+y),
将x=10,y=22
代入产生的密码为:103232或323210或321032.
(3)原式=12(x-y)2-18(x-y)3
=6(x-y)2[2-3(x-y)]=6(x-y)2(2-3x+3y).
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(总课时34)§4.4复习
一.选择题：
1．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y
解：A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；
B是完全平方公式的形式，故B能分解因式；故选B．
2．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ C ）
A． B．
C． D．
3．与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
解：与的公因式是．
故选：D．
4．已知， 则的值为（ ）
A． B．9 C． D．6
解：∵，∴x2y+xy2=xy（x+y）==
故选C．
5．对于算式20203﹣2020，下列说法错误的是( )
A．能被2019整除 B．能被2020整除 C．能被2021整除 D．能被2022整除
解：20203﹣2020=2020×(20202﹣1)=2020×(2020+1)×(2020﹣1)=2020×2021×2019，
故能被2020、2021、2019整除，故选：D．
6．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，∴（a－b）2－c2的值是负数．故选B．
二.填空题：
7．因式分解：_________.
解a2﹣4a=a（a﹣4）．
故答案为a（a﹣4）．
8．________．
原式= = ．
故答案为：．
9．若a－b＝4，ab＝505，则ab2－a2b＝_____．
解ab2－a2b．
10．若是方程组的解，则代数式的值是_______．
解：∵ 是方程组的解，∴ ，
∴ ，故填：35．
11．已知，则的值为_____________．
解∵∴，
∴=
===1-2019=-2018.故答案为：-2018.
三.解答题
12．（1） （2）－3ma2＋12ma－12m
（3）n2(m－2)＋4(2－m) （4）
解：（1）
（2）－3ma2＋12ma－12m
（3）n2(m－2)＋4(2－m)
（4）
13．已知x＝2+，y＝2﹣，求x y+xy 的值．
解：∵x=2+，y＝2﹣，∴xy=1，x+y=4，
∴原式=xy（x+y）=1×4=4．
14．（1）分解因式：；（2）计算：．
解（1） ；
（2）．
15．下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
解（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2-4x+4）2=[（x-2）2]2=（x-2）4，
故答案为不彻底（x-2）4．
（2）设：x2-2x=m，
原式=m（m+2）+1=m2+2m+1=（m+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4．
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(总课时34)§4.4复习
【学习目标】了解“一个概念”，“两个方法”，“三个应用”．
【学习重难点】能熟练地进行因式分解.
【导学过程】
一.知识网络图
二.基础知识复习
知识点（一）“一个概念”--因式分解.
1.下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )
A.a(x+y-1)=ax+ay-a B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
知识点（二）“两个方法”---①提公因式法，②公式法.
①提公因式法:
2.mx2-4m=____________.
3.把下列多项式因式分解:
(1)x(a-1)+(1-a); (2)-2x2y+16xy-32y; (3)-8a(b-2)3+4(2-b)2.
②公式法--直接用公式法
4.把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4； (2)(x2＋y2)2－4x2y2； (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
③公式法--先提再套法
5.把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x)； (2)－3x7＋24x5－48x3.
④公式法--先展开再分解法
6.把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4； (2)4x(y－x)－y2.
知识点（三）---三个应用
①应用因式分解进行简便计算
7.计算：（1）2.1×31.4+62×3.14+0.17×314 （2）
（3）-101×190+1012+952
②应用因式分解解整除问题
8.对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
③应用因式分解解几何问题
9.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状．
三.课堂小结：
1.本章主要内容：（一）概念；（二）方法；（三）应用.
2.分解因式的一般步骤：
①看“形”与“式”，②优先用“提”，③再用“套”公式，
④看是否能继续分解，⑤“逆”看最后结果是否正确.
五.分层过关
1.下列式子的变形是因式分解的有（ ）个
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y） （2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2 =2m（2m–3n）+9n2 （4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列四个多项式中,能因式分解的是( )
A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y
3.多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是 ( )
A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2
4.将多项式(a-3)2-(2a-6)因式分解的结果是____________.
5.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是______.
6.把下列各式分解因式:
(1)3ax2-6axy+3ay2 (2)12(y-x)2-18(x-y)3 (3)9(a-b)2-30(a2-b2)+25(a+b)2.
7.现有一种根据自己生日用“因式分解”法产生的密码,其原理是:若某人的生日是8月5日,他选择了多项式x3+x2y,其分解因式的结果是x·x·(x+y),然后将x=8,y=5代入,此时各个因式的值是:x=8,x=8,x+y=13,于是就可以把“8813”作为密码.小明选择了多项式x3+2x2y+xy2,他的生日是10月22日,请你写出用上述方法产生的密码.
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(总课时34)§4.4复习
一.选择题：
1．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y
2．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知， 则的值为（ ）
A． B．9 C． D．6
5．对于算式20203﹣2020，下列说法错误的是( )
A．能被2019整除 B．能被2020整除 C．能被2021整除 D．能被2022整除
6．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
二.填空题：
7．因式分解：_________.
8．________．
9．若a－b＝4，ab＝505，则ab2－a2b＝_____．
10．若是方程组的解，则代数式的值是_______．
11．已知，则的值为_____________．
三.解答题
12．（1） （2）－3ma2＋12ma－12m
（3）n2(m－2)＋4(2－m) （4）
13．已知x＝2+，y＝2﹣，求x y+xy 的值．
14．（1）分解因式：； （2）计算：．
15．下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
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