沪教版九年级数学下册 27.1圆的确定 分层练习 （含解析）

27.1圆的确定（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部
C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部
2．(2023·上海·九年级专题练习）在△中，，，，、分别是上的高和中线，如果圆是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点、均在圆内； B．点、均在圆外；
C．点在圆内，点在圆外； D．点在圆外，点在圆内．
3．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
4．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在中，，，，是它的中线，以C为圆心，为半径作，则点M与的位置关系为（ ）
A．点M在上 B．点M在内
C．点M在外 D．点M不在内
5．(2023·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧
6．(2023··九年级专题练习）下列命题是真命题的是( )
A．经过平面内任意三点可作一个圆
B．相等的圆心角所对的弧一定相等
C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线
D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和
7．(2023·上海·九年级专题练习）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，这与圆周率 π 有关．下列表述中，不正确的是（）
A．π =； B．π 是无理数；
C．半径为1cm的圆的面积等于 π cm2； D．圆周率是圆的周长与直径的比值．
8．(2023·上海·九年级专题练习）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（　　）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
9．(2023·上海·九年级专题练习）在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（　　）
A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
C．圆的直径互相平分
D．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧
10．(2023·上海·九年级专题练习）已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，那么点P在（ ）
A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．大圆外
二、填空题
11．(2023·上海·九年级专题练习）已知⊙O的半径为6，A为线段OP的中点，当OP的长度为10时，点A与⊙O的位置关系为_____．
12．(2023·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是____．
13．(2023·上海虹口·二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的外接圆半径是______．
14．(2023·上海静安·二模）如图，已知矩形的边，，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径r的取值范围是_________．
15．(2023·上海浦东新·模拟预测）已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是_____．
16．(2023··九年级专题练习）经过点A且半径为3的圆的圆心的轨迹___________________________________
17．(2023·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD= ____________
三、解答题
18．(2023·上海·九年级专题练习）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·上海市徐汇中学九年级期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A内
C．当时，点B在圆A外 D．当时，点B在圆A内
二、填空题
2．(2023·上海黄浦·二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是________．
3．(2023·上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）正三角形的边长为a，那么它的外接圆半径是______.
三、解答题
4．(2023·上海静安·二模）如图，已知外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
5．(2023·上海市娄山中学九年级期中）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，，垂足为点F，且，联结AE．
(1)求证：菱形ABCD是正方形；
(2)当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的上．
6．(2023·上海·华东师范大学松江实验中学三模）如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段．
(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；
(3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边上时，求出的取值范围．
7．(2023·上海闵行·九年级期末）已知四边形 是菱形， ， 点 在射线 上， 点 在射线 上，且 ．
(1)如图， 如果 ， 求证： ；
(2)如图， 当点 在 的延长线上时， 如果 ， 设 ， 试建立 与 的函数关系式，并写出 的取值范围
(3)联结 ， 当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
27.1圆的确定（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部
C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部
答案:B
分析：根据题意，画出符合题意的示意图，然后求解．
【详解】解：∵点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，∴点可以在圆的内部，故A错误，B正确；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故C错误；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，画出适当的辅助图形，采用数形结合的方法，更有助于解题.
2．(2023·上海·九年级专题练习）在△中，，，，、分别是上的高和中线，如果圆是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点、均在圆内； B．点、均在圆外；
C．点在圆内，点在圆外； D．点在圆外，点在圆内．
答案:C
分析：先利用勾股定理求得AB的长，再根据面积公式求出CP的长，根据勾股定理求出AP的长，根据中线的定义求出AM的长，然后由点P、M到A点的距离判断点P、M与圆A的位置关系即可．
【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，
∴
∵分别是AB上的高和中线，
∴
∵AP=1.8＜2，AM=2.5＞2，
∴点P在圆A内、点M在圆A外 ．
所以都不符合题意，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．
3．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
答案:B
分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
4．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在中，，，，是它的中线，以C为圆心，为半径作，则点M与的位置关系为（ ）
A．点M在上 B．点M在内
C．点M在外 D．点M不在内
答案:A
分析：根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】∵由勾股定理得
∵CM是AB的中线，
∴CM = 5cm，
∴d=r
所以点M在OC上，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上圆心到点的距离=圆的半径．
5．(2023·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧
答案:A
分析：利用圆的有关定义分别判断即可．
【详解】解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．
6．(2023··九年级专题练习）下列命题是真命题的是( )
A．经过平面内任意三点可作一个圆
B．相等的圆心角所对的弧一定相等
C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线
D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和
答案:C
分析：利用经过不在同一直线上的三点才可以确定一个圆；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等；相交圆的公共线垂直于连心线；内切两圆的圆心距等于两圆半径的和或差判断求解.
【详解】A选项，经过平面上在同一直线上的三点不能确定一个圆，错误；
B选项，需在同圆中才成立，错误；
C选项，相交两圆的连心线垂直平分公共弦，正确；
D选项，不对，应为两圆半径之差；
故答案为C.
【点睛】此题主要考查了与圆有关的定理和推论，解题的关键是准确记忆有关定理和推论.
7．(2023·上海·九年级专题练习）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，这与圆周率 π 有关．下列表述中，不正确的是（）
A．π =； B．π 是无理数；
C．半径为1cm的圆的面积等于 π cm2； D．圆周率是圆的周长与直径的比值．
答案:A
分析：根据圆周率的定义即可求出答案．
【详解】解：（A）π≈3.14，故A错误；
故选A．
【点睛】本题考查无理数，解题的关键是正确理解π，本题属于基础题型．
8．(2023·上海·九年级专题练习）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（　　）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
答案:A
分析：先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．
【详解】∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），
∴AP==4＜5，
∴点P在⊙A内，
故选A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．
9．(2023·上海·九年级专题练习）在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明（　　）
A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
C．圆的直径互相平分
D．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧
答案:B
【详解】将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，
故选：B．
10．(2023·上海·九年级专题练习）已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，那么点P在（ ）
A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．大圆外
答案:C
【详解】∵两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，
∴r＜OP＜R，
∴点P在小圆外大圆内，
故选：C．
二、填空题
11．(2023·上海·九年级专题练习）已知⊙O的半径为6，A为线段OP的中点，当OP的长度为10时，点A与⊙O的位置关系为_____．
答案:点A在圆内．
分析：知道OP的长，由点A是OP的中点，可得到OA的长与半径的关系，即可判断点A与圆的位置关系．
【详解】解：∵OP＝10，A是线段OP的中点，
∴OA＝5，小于圆的半径6，
∴点A在圆内．
故答案为点A在圆内．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知判断点与圆的位置关系的方法是解题关键．
12．(2023·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是____．
答案:d＞5
分析：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：点A在圆O外，则点到圆心的距离大于圆的半径，
d＞5．
故答案为d＞5．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．熟记点与圆位置关系与数量关系的对应是解题的关键，由位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系．
13．(2023·上海虹口·二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的外接圆半径是______．
答案:4
分析：利用解直角三角形的知识即可求解．
【详解】根据题意作图如下，
根据题意有：在正△ABC中，边心距OD=2，OB为正△ABC外接圆半径，
根据等边三角形的性质可知∠OBD=∠ABD=，且∠ODB=90°，
∴在Rt△ABC中，，
即其外接圆半径r为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了边心距的含义、解直角三角形、正三角形的性质等知识，理解边心距的含义是解答本题的关键．
14．(2023·上海静安·二模）如图，已知矩形的边，，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径r的取值范围是_________．
答案:6分析：先求出矩形对角线的长，然后由B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，即可确定半径r的取值范围．
【详解】解：连接AC，如图，
∵，，
由勾股定理可得：，
∵，，AC=10，
又∵B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴点B在内，点C在外，
∴6故答案为：6【点睛】本题主要考查的是勾股定理、点与圆的位置关系．
15．(2023·上海浦东新·模拟预测）已知点C在线段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C经过点A，那么点B与⊙C的位置关系是_____．
答案:点B在⊙C外
分析：直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：如图，∵点C在线段AB上，且0＜AC＜AB，
∴BC＞AC，
∴点B在⊙C外，
故答案为：点B在⊙C外．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当d＞r时点P在圆外；当d＜r时点P在圆内是解答此题的关键．
16．(2023··九年级专题练习）经过点A且半径为3的圆的圆心的轨迹___________________________________
答案:以A为圆心3为半径的圆
分析：求圆心的轨迹实际上是求距A点3能画一个什么图形．
【详解】所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于3厘米的点的集合，因此是一个以A为圆心，半径为3的圆．
故答案为：以A为圆心3为半径的圆．
【点睛】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．
17．(2023·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD= ____________
答案:15°##15度
【详解】解：如图，连接
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠EAD=，
∴∠1=∠EAD+∠2=2∠EAD，
又∵OE=OB，
∴∠1=∠E，
∴∠E=2∠EAD，
∴∠EOD=3∠EAD=45°，
所以∠A=15°.
故答案为：
三、解答题
18．(2023·上海·九年级专题练习）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
答案:（1）见解析；（2）3
分析：（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【详解】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，
则 　①
BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
则 　②
②－①得：
把代入①得：（舍）
∴BC＝2a＝3．
【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·上海市徐汇中学九年级期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A内
C．当时，点B在圆A外 D．当时，点B在圆A内
答案:B
分析：画出图形，根据A的坐标和圆A的半径求出圆与x轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案．
【详解】如图：
∵A(1,0)，A的半径是2，
∴AC=AE=2，
∴OE=1，OC=3，
A. 当a= 1时，点B在E上，即B在圆A上，正确，故本选项不合题意；
B. 当a= 3时，B在A外，即说当a<1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；
C. 当a< 1时，AB>2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；
D. 当 1故选:B.
【点睛】考查点与圆的位置关系, 坐标与图形性质，画出图形，数形结合是解题的关键.
二、填空题
2．(2023·上海黄浦·二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，，如果顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是________．
答案:##
分析：过点A作AD⊥BC于D，则BD=BC==5，解Rt△ABD，求出AD长，从而求出AB长，再根据点与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC==5，∠ADB=90°，
∵cot B=，即
∴AD=12，
由勾股定理，得AB==13，
∵顶点C在⊙B内，顶点A在⊙B外，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形是解题的关键．
3．(2023·上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）正三角形的边长为a，那么它的外接圆半径是______.
答案:
分析：根据题意做出相应的图形，利用正三角形的外接圆的圆心是正三角形各边垂直平分线的交点也是角平分线的交点，继而即可求解．
【详解】由题意，得：，，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴，，AD⊥BC，
∴在Rt△BOD中，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
三、解答题
4．(2023·上海静安·二模）如图，已知外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）先根据题意得到AD垂直平分BC，得到AB=AC，则∠B=∠ACB，再证明EC=AC，得到∠AEC=∠CAE，即可利用三角形外角的性质证明结论；
（2）先求出∠BAO=30°，从而求出∠BOD =60°，然后解直角三角形求出BD，AB的长即可得到答案．
(1)
解：∵△ABC的外接圆圆心在高AD上，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵EC=AB，
∴EC=AC，
∴∠AEC=∠CAE，
∵∠ACB=∠AEC+∠CAE，
∴∠B=∠AEC+∠CAE=2∠AEC；
(2)
解：连接OB，
∵，
∴∠BAO=30°，
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OAB=30°，
∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=60°，
∴，
∴，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，根据特殊角三角函数值求度数，解直角三角形，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质等等，确定AB=AC是解题的关键．
5．(2023·上海市娄山中学九年级期中）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，，垂足为点F，且，联结AE．
(1)求证：菱形ABCD是正方形；
(2)当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的上．
答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
分析：（1）由菱形的性质得到BC=CD，根据HL定理证明Rt△BEC≌Rt△CFD得到∠BCE=∠CDF，进而证明∠BCD=90°即可得证；
（2）连结AF、DE，先利用线段垂直平分线的性质证得CD=DE=DA，再根据等腰三角形的性质证得∠AEB=∠AEF=135°，证明△AEB≌△AEF（SAS）得到AB=AF即可．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA，
∵，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
在Rt△BEC和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CFD（HL），
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，即∠BCD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）
证明：连结AF、DE，
∵F为CE的中点，DF⊥CE，
∴DF垂直平分CE，
∴CD=DE=DA，
∴∠AED=（180°-∠ADE）=90°-∠ADE，
∠DEC=（180°-∠EDC）=90°-∠EDC，
∴∠AEF=∠AED+∠DEC=90°-∠ADE+90°-∠EDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=180°-×90°=135°，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEB=360°-90°-135°=135°，
∴∠AEB=∠AEF，
∵Rt△BEC≌Rt△CFD，
∴BE=CF=EF，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（SAS），
∴AB=AF，
∴点F在以AB为半径的上．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、圆的定义等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．
6．(2023·上海·华东师范大学松江实验中学三模）如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段．
(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；
(3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边上时，求出的取值范围．
答案:(1)，
(2)或
(3)
分析：（1）由题中条件、可知四边形是平行四边形，故CE；过点作垂线交于点，交于点，可得相似的和，用含、的表达式表示它们的边长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得关于的解析式；下一步即为求得和的各自边长，过点作垂线交延长线于点，由且可得四边形为矩形，则；在中，由勾股定理可算得的长度；在中，，则可由勾股定理求得的长度，，至此已求得所有所需边长，根据相似三角形边长比例关系：，代入各边长表达式即可得关于的解析式，再根据题中要求写出定义域即可；
（2）因为是以为腰的等腰三角形，，由勾股定理知，过点作交于点，则四边形是矩形，；在直角三角形中，运用勾股定理进行计算即可得解；
（3）根据三角形的外接圆圆心落在三角形的内部，得到为锐角三角形，分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角．
根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部．
（1）
解：如图所示：过点作交延长线于点，再过点作垂线交于点，交于点，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
化简得：，
点在上运动，故定义域为：；
（2）
如图所示，此时是以为腰的等腰三角形，过点作交于点，
，
四边形是矩形，
又是以为腰的等腰三角形，
，
由（得，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：的值为或，
因此，的值为或；
（3）
解：分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角．
根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部．
如下图所示，此时，
，
，
同角的余角相等，
同理可得：，
∽，
，
，
，
解得：，
综上可得，当时，外接圆圆的圆心落在的内部．
【点睛】本题考查矩形和平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆等知识点，解题的关键是熟练掌握并灵活运用以上性质．本题综合性较强，属于中考压轴题．
7．(2023·上海闵行·九年级期末）已知四边形 是菱形， ， 点 在射线 上， 点 在射线 上，且 ．
(1)如图， 如果 ， 求证： ；
(2)如图， 当点 在 的延长线上时， 如果 ， 设 ， 试建立 与 的函数关系式，并写出 的取值范围
(3)联结 ， 当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
答案:(1)证明过程详见解答；
(2)
(3)或
分析：（1）先证明四边形是正方形，再证明，从而命题得证；
（2）在上截取，先证明是正三角形，再证明，进一步求得结果；
（3）当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，证明，，可推出，再证明，可推出，从而求得，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，作于，先根据求得，进而求得，根据，，和，从而求得，根据三角形三边关系否定，从而确定的结果．
(1)
解：证明：四边形是菱形，，
菱形是正方形，
，，
，
，
；
(2)
解：如图1，
在上截取，
四边形是菱形，
，，
是正三角形，
，，
，，
，
，
，
；
(3)
如图2，
当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，
，，，，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
①，
，
，
，
②，
由①②得，
，
，
如图3，
当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，
作于，
，
，
由得，
，
，
，
由第一种情形知：，，
，，
①，②，
由①②得，
，
，
，
，
即，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了菱形性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，面积法等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．