人教版八年级数学下册同步练习 16.1.2 二次根式的性质与化简（分层作业）(含解析)

人教版初中数学八年级下册
16.1.2 二次根式的性质与化简 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．化简的结果是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．－3
2．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简得( )
A． B． C． D．
4．若＝﹣a，则（　　）
A．a是整数 B．a是正实数
C．a是负数 D．a是负实数或零
5．若，，且，则的值是（ ）
A． B．16或 C．4或 D．4或16
6．实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
7．已知，则点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
二、填空题：
8．填空：
（1）___________，___________，
___________，___________．
（2）数a在数轴上的位置如图，则___________．
9．当x取______时，4﹣的值最大．
10．如果，则m的取值范围是________．
11．已知1＜a＜2，化简：=_____．
12．已知m是的小数部分，则式子___________．
三、解答题：
13．计算：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
14．计算：
(1)． (2)． (3)．
15．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简．
能力提升篇
一、单选题：
1．若，那么（ ）
A． B． C． D．或者
2．如果，则取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
3．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题:
4．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简=___________．
5．已知、是实数，下列四条命题：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
其中真命题的是________．（填写所有真命题的序号）
6．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子______．
三、解答题:
6．当时，化简．
7．先阅读材料，然后回答问题：
(1)嘉淇同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，嘉淇解决这个问题的过程如下：
…①
…②
…③
．…④
上述化简过程中，第______步出现了错误，正确的化简结果为______；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
人教版初中数学八年级下册
16.1.2 二次根式的性质与化简 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．化简的结果是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．－3
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A．，故本选项错误；
B．，故本项正确；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质：．
3．化简得( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
4．若＝﹣a，则（　　）
A．a是整数 B．a是正实数
C．a是负数 D．a是负实数或零
【答案】D
【分析】根据等式以及二次根式的性质可得-a≥0，求解即可．
【详解】解∶∵＝﹣a，
∴-a≥0，
∴a≤0，
故选∶D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
5．若，，且，则的值是（ ）
A． B．16或 C．4或 D．4或16
【答案】D
【分析】根据绝对值和二次根式的性质结合可得x＝6，y＝－10或x＝－6，y＝－10，然后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴x＝6，y＝－10或x＝－6，y＝－10，
∴或4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键．
6．实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【答案】A
【分析】先根据数轴上点的位置推出，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可知，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，二次根式的性质，正确得到是解题的关键．
7．已知，则点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】先判断横坐标和纵坐标的符号，再根据各象限内点的坐标的符号特征即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴＞0，
∵，
∴a－2＜0，
∴＜0，
∴点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴点在第四象限．
故选：D
【点睛】此题考查了平面直角坐标系各象限内点的坐标的符号特征、二次根式的性质和化简等知识，记住各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键．
二、填空题：
8．填空：
（1）___________，___________，
___________，___________．
（2）数a在数轴上的位置如图，则___________．
【答案】 1 3 ## 4
【分析】（1）根据二次根式性质进行化简即可；
（2）根据点a在数轴上的位置关系得出，然后根据二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：（1）；
；
；
；
故答案为：1；3；；4．
（2）根据数a在数轴上的位置可知，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，用数轴上的数表示有理数，解题的关键是熟练二次根式的性质．
9．当x取______时，4﹣的值最大．
【答案】5
【分析】根据≥0，所以=0时，4﹣的值最大求解即可．
【详解】解：因为≥0，
∴当最小时，此时4﹣的值最大，
当5﹣x＝0时，即x＝5时，4﹣的值最大，
故答案为：5．
【点睛】本题考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性≥0（a≥0）是解题的关键．
10．如果，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】由二次根式的性质可知，则可得，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
即m的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题关键是掌握二次根式的性质：．
11．已知1＜a＜2，化简：=_____．
【答案】1
【分析】根据a的取值范围，即可取绝对值和根号，再计算即可．
【详解】解：∵1＜a＜2，
∴，，
即：
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义以及求解算术平方根的知识，根据a的取值范围得到，，是解答本题的关键．
12．已知m是的小数部分，则式子___________．
【答案】
【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可．
【详解】解：∵m是的小数部分，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出．
三、解答题：
13．计算：
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【答案】(1)(2)48(3)6(4)(5)(6)
【分析】根据二次根式的性质可求解各个小题．
（1）解：
（2）解：=48
（3）解：=6
（4）解：
（5）解：
（6）解：
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．计算：
(1)．(2)．(3)．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可；
（3）先根据二次根式的性质进行化简，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，．
15．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】2b+2ab
【分析】直接利用数轴判断得出：，进而化简即可．
【详解】解：由题意可得：c∴，
原式＝
＝2b+2ab．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，正确得出各部分符号是解题关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．若，那么（ ）
A． B． C． D．或者
【答案】C
【分析】分，，三种情况分类讨论即可得出结果．
【详解】解：当时，，，
∴（不合题意）；
当时，，，
∴；
当时，，，
∴（不合题意）．
综上所述：．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握公式和分类讨论是解题的关键．
2．如果，则取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性可得，根据可得，据此即可作答．
【详解】∵算术平方根非负，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴取值范围：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简以及绝对值的知识，掌握二次根式的化简以及算术平方根的非负性是解答本题的关键．
3．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】解：解不等式得x＞m，
解不等式得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
二、填空题:
4．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简=___________．
【答案】
【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．
【详解】由图可知，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，数轴的知识，解题的关键是掌握，．
5．已知、是实数，下列四条命题：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
其中真命题的是________．（填写所有真命题的序号）
【答案】②④##④②
【分析】根据绝对值得性质以及二次根式的性质分别分析得出答案即可．
【详解】解：①如果|a|=|b|，那么a=±b，故此选项错误；
②如果，那么a=b；根据二次根式的性质，故此选项正确；
③如果|a|=|b|，那么，∵|a|=|b|中，a，b可以是负数，故此选项错误；
④如果，那么|a|=|b|，a，b为非负数，故此选项正确．
故答案为：②④．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，熟练根据二次根式的性质得出是解题关键．
6．已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子______．
【答案】
【详解】∵第1个数：
第2个数：
第3个数：
第4个数：
∴第n个数
当n=2021时，
故答案为.
【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键.
三、解答题:
7．当时，化简．
【答案】
【分析】二次根式的双重非负性以及去绝对值符号的法则和分式的运算法则即可进行化简．
【详解】解：∵，
∴m-3<0，m-4<0，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的双重非负性，绝对值的意义以及分式的化简，熟练地掌握各个知识点是解题的关键．；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
8．先阅读材料，然后回答问题：
(1)嘉淇同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，嘉淇解决这个问题的过程如下：
…①
…②
…③
．…④
上述化简过程中，第______步出现了错误，正确的化简结果为______；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
【答案】(1)第④步出现了错误，正确解答见解析；
(2)
【分析】（1）第④步出现了错误，==．
（2）类比例题，将8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
（1）
解：第④步出现了错误，正确解答如下：
=
=
=．
（2）
解：
=
=
=
=．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解答本题的关键．