沪教版九年级数学下册 27.2圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系 分层练习 （含解析）
文档属性
| 名称 | 沪教版九年级数学下册 27.2圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系 分层练习 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-05 15:32:10 | ||
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27.2圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（ ）
A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D．拱形不一定是弓形
2．(2023·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2023·上海金山·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．互为补角的两个角都是锐角
C．相等的弦所对的弧相等 D．等腰梯形的对角线相等
5．(2023·上海金山区世界外国语学校一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．．
6．(2023··九年级专题练习）如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
二、填空题
9．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，是的直径，，，则______．
10．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，在中，，则______________．
11．(2023·上海·七年级专题练习）在半面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）
（1）点（）的“双角坐标”为 ___．
（2）若“双角坐标”为（30°，60°），则点坐标为 ___．
（3）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 ___．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
13．(2023··九年级专题练习）如图，为的直径，C为上一动点，将绕点A逆时针旋转120°得，若，则的最大值为__________．
三、解答题
14．(2023·上海市进才实验中学九年级期中）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是边AB上的一点，点E和点D关于BC对称，DE交边BC于点M，过点D作DE的垂线交EC的延长线于点F，线段DF交AC于点N．
(1)求证：四边形CMDN是矩形；
(2)联结CD，当CD⊥AB时，求证：EF CB＝2AB ME．
15．(2023·上海市青浦区教育局二模）如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等．
16．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
二、填空题
2．(2023·上海·九年级专题练习）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为__________．
3．(2023·上海静安·二模）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
4．(2023·上海·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．
5．(2023·上海市进才中学一模）如图，已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA上一点，F是上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径 OB 相切于点 G，若OE＝5，则 O 到折痕 EF 的距离为________________．
三、解答题
6．(2023··九年级专题练习）如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外) (参考数据：，，．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC面积的最大值．
7．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：．
8．(2023·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，，．
（1）求的半径长；
（2）求的值．
9．(2023·上海虹口·二模）已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、．
(1)求证：；
(2)当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形．
10．(2023··九年级专题练习）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．
（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；
（2）如图2，设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．
11．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，的延长线交⊙于点，连接，是⊙上一点，点与点位于两侧，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长及的值．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．
13．(2023·上海·九年级专题练习）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．
14．(2023·上海杨浦·二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作ADOC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
15．(2023·上海市奉贤区金汇学校九年级期末）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
16．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级阶段练习）如图，菱形，以为圆心，长为半径的圆分别交边、、、于点、、、．
（1）求证：；
（2）当为中点时，求证：．
17．(2023·上海·九年级专题练习）已知，内接于，点是弧的中点，连接、；
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若平分，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．
27.2圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（ ）
A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D．拱形不一定是弓形
答案:B
分析：根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对C进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断．
【详解】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；
D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了轴对称．
2．(2023·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案:C
分析：利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
3．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案:C
分析：根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴，，，，
∴＝2，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．(2023·上海金山·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．互为补角的两个角都是锐角
C．相等的弦所对的弧相等 D．等腰梯形的对角线相等
答案:D
分析：根据平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，故原命题是假命题，不合题意；
B、互为补角的两个角不一定是锐角，例如100°和80°，故原命题是假命题，不合题意；
C、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原命题是假命题，不合题意；
D、等腰梯形的对角线相等，故原命题是真命题，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，判断命题的真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．(2023·上海金山区世界外国语学校一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．．
答案:B
分析：利用三等分点得到，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据即可判断C；根据，得到，由此判断D．
【详解】解：连接AB、BC，OB，
∵点B、C将弧AD三等分，
∴，
∴，故A选项正确；
∵，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2CD，故B选项错误；
∵，
∴，故C选项正确；
∵，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴，
∴，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．
6．(2023··九年级专题练习）如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案:A
分析：延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】解：延长AG交CD于M，如图1
∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM
∴∠DAM=∠ABE
∵∠DAM+∠BAM=90°
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH
∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
7．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案:C
分析：连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.
故选：C.
【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
8．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
答案:C
分析：连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】连接OD．
∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°．
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
二、填空题
9．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，是的直径，，，则______．
答案:##40度
分析：根据圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半）求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大．
10．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，在中，，则______________．
答案:##40度
分析：根据同圆中等弧所对的圆周角相等，求出的度数，即可利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，正确求出的度数是解题的关键．
11．(2023·上海·七年级专题练习）在半面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）
（1）点（）的“双角坐标”为 ___．
（2）若“双角坐标”为（30°，60°），则点坐标为 ___．
（3）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 ___．
答案: （，） （，） 90
分析：（1）分别求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度数，从而得出答案；
（2）作于点B，设，利用三角函数求出OB、AB，由即可解出答案；
（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，以OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y＝相切于点P，由∠OPA＝∠1＞∠OP′A知此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵P（，），OA＝1，
，，
∴∠POA＝45°，∠PAO＝45°，
即点P的“双角坐标”为（45°，45°），
故答案为：（45°，45°）；
（2）如图，点P的“双角坐标”为（30°，60°），作于点B，
∵“双角坐标”为（30°，60°），
∴∠POA＝30°，∠PAO＝60°，
设，
则，
，
解得，
，，
∴点P的点坐标为（，）．
故答案为：（，）；
（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，
如图，
∵点P到x轴的距离为，OA＝1，
∴以OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y＝相切于点P，
在直线y＝上任取一点P′，连接、，交圆于点Q，
∵∠OPA＝∠1， ，
∴，
∴此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，
∴m+n的最小值为: ．
故答案为90．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质、锐角三角函数、三角形内角和定理、外角的性质及圆周角定理，根据内角和定理推出m+n取得最小值即为∠OPA取得最大值，且找到满足条件的点P位置是解题关键．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
答案:一定
分析：根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴AB=AC,
∴=，
故答案为：一定．
【点睛】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．
13．(2023··九年级专题练习）如图，为的直径，C为上一动点，将绕点A逆时针旋转120°得，若，则的最大值为__________．
答案:
分析：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
【详解】解：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E
由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°
∴AE=2，B′E=，OC=OB=2
在Rt△OEB′中，B′O=
∴B′D= B′O+OC=
故答案为：
【点睛】本题考查旋转的性质、含30°角的直角三角形、三角形三边关系等知识，是重要考点，题目有一定的难度，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
14．(2023·上海市进才实验中学九年级期中）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是边AB上的一点，点E和点D关于BC对称，DE交边BC于点M，过点D作DE的垂线交EC的延长线于点F，线段DF交AC于点N．
(1)求证：四边形CMDN是矩形；
(2)联结CD，当CD⊥AB时，求证：EF CB＝2AB ME．
答案:(1)过程见解析
(2)过程见解析
分析：对于（1），先根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，再根据对称的性质可得∠CMD=90°，然后根据已知条件得出∠EDF=90°，即可得出结论；
对于（2），连接CD，根据同角的余角相等得∠CDM=∠B，再根据对称的性质得CD=CE，可知∠CDM=∠E，进而得出∠B=∠E，然后结合“两个角对应相等的两个三角形相似”得，再根据相似三角形的性质得，然后根据DE=2DM=2EM代入得出答案即可．
（1）
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵点E和点D关于BC对称，
∴DM=EM，DE⊥BC，
∴∠CMD=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ACB=∠EDF=∠CMD=90°，
∴四边形CMDN是矩形；
（2）
如图，连接CD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCM+∠B=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠CDM=∠B．
∵点E和点D关于BC对称，
∴CD=CE，
∴∠CDM=∠E，
∴∠B=∠E．
∵∠ACB=∠FDE=90°，
∴，
∴，
即EF·BC=AB·DE．
由（1）得DM=EM，
∴DE=2ME，
∴EF·BC=AB·2ME，
即EF·BC=2AB·ME．
【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了矩形的判定，相似三角形的性质和判定，对称的性质等．
15．(2023·上海市青浦区教育局二模）如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等．
答案:见详解
分析：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得，进而问题可求证．
【详解】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：
∵平分，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴（HL），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的联系是解题的关键．
16．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
答案:（1）见解析；（2）见解析．
分析：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；
（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明，然后再证明，根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
答案:B
分析：利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；
【详解】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．
二、填空题
2．(2023·上海·九年级专题练习）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为__________．
答案:
分析：根据题意可得出劣弧所对的圆心角的度数，利用半径是2，由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为:，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵⊙的直径是4，
∴OB=OC=2，
∴BC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及勾股定理，根据已知得出圆心角的度数90°，再利用勾股定理求出是解题的关键．
3．(2023·上海静安·二模）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
答案:
分析：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知是等边三角形，从而可以证得CD∥AB，所以和的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．
4．(2023·上海·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．
答案:125°
分析：先利用 O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【详解】
∵△ABC中∠A=70°，O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3= (180° ∠A)= (180° 70°)=55°；
∴∠BOC=180° (∠1+∠3)=180° 55°=125°.
故答案为125°.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的相关知识与应用.
5．(2023·上海市进才中学一模）如图，已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA上一点，F是上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径 OB 相切于点 G，若OE＝5，则 O 到折痕 EF 的距离为________________．
答案:
分析：过点G作OG的垂线，交的延长线于点，连接交EF于点H，连接，则点、G、F在以点为圆心，为半径的圆上，证得四边形为矩形，接着求得的长，再求得的长，又证得，从而得到 ，进而得到O 到折痕 EF 的距离．
【详解】解：如图，过点G作OG的垂线，交的延长线于点，连接交EF于点H，连接 ，则点、G、F在以点为圆心，为半径的圆上，
∵与 是等弧
∴与是等圆
∴
∵
∴
∴四边形为矩形
∴
∴
∵
∴
若则
∴
∴
连接，有
∵
∴
∴
∴
∴
∴
即O 到折痕 EF 的距离为
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称、三角形、矩形与圆的综合问题，是填空题的压轴题，懂得根据题意构造出等圆是解题的关键．
三、解答题
6．(2023··九年级专题练习）如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外) (参考数据：，，．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC面积的最大值．
答案:（1）60°；（2）
分析：（1）连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，得到∠DCB＝90°，BD＝4，再解直角三角形即可解答.
（2）因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC于点E，延长EO交O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答．
【详解】(1)连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD．
∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．
在Rt△DBC中，，
∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．
(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．
过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点．连结AB，AC，
则AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．
在Rt△ABE中，
∵BE，∠BAE＝30°，
∴，
∴．
答：△ABC面积的最大值是．
【点睛】此题考查圆周角定理，解直角三角形，解题关键在于灵活运用特殊角的三角函数值.
7．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：．
答案:见解析
分析：取中点，联结并延长与⊙交于，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到，再根据及垂径定理求解即可；
【详解】证明：取中点，联结并延长与⊙交于．
∵是圆心，且是弦的中点，
∴，，
∵且，
∴．
∵，平分，
∴．
∴平分．
∴．
又∵过圆心，
∴．
∴， 即．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理，准确分析证明是解题的关键．
8．(2023·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，，．
（1）求的半径长；
（2）求的值．
答案:（1）5；（2）
分析：（1）连接，设半径为，利用垂径定理结合勾股定理即可求出；
（2）延长交于点，连接，利用圆周角定理以及已知条件求出和的长即可计算的值．
【详解】解：（1）连接，如图所示：
设半径为，则由题意可知：，，
又，垂足为点，
，
在中，，
即，，
解得：，
的半径长为5；
（2）延长交于点，连接，则，
由（1）可知，
，
，
在中：，，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查圆的相关计算，涉及圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练相关知识结合图形合理作出辅助线是解题关键．
9．(2023·上海虹口·二模）已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、．
(1)求证：；
(2)当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）证明即可；
（2）由可得，可得，再证明OM∥AC即可．
（1）
∵、是的两条弦，，
∴
在和中
∴（SAS）
∴；
（2）
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，OM∥AC
∴
∴四边形为等腰梯形．
【点睛】本题考查圆的弧弦关系、全等三角形的证明、等腰梯形、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由弦得到．
10．(2023··九年级专题练习）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．
（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；
（2）如图2，设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．
答案:（1）DE＝；（2）y＝（x＞1）．（3）BC＝1+．
分析：（1）如图1中，连接CE．在Rt△CDE中，求出CD，CE即可解决问题．
（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．想办法用x表示CD，DE，证明FK∥AB，推出，延长构建关系式即可解决问题．根据点E位于点D下方，确定x的取值范围即可．
（3）如图3中，连接FK．证明ED＝EC，由此构建方程即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，连接CE．
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，
∵CD 是⊙Q的直径，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥AB，
∵BD＝AD，
∴CD＝
∵ AB CE＝ BC AC，
∴CE＝，
在Rt△CDE中，DE＝．
（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．
∵∠FCK＝90°，
∴FK是⊙Q的直径，
∴直线FK经过点Q，
∵CD是⊙Q的直径，
∴∠CFD＝∠CKD＝90°，
∴DF⊥BC，DK⊥AC，
∵DC＝DB＝DA，
∴BF＝CF，CK＝AK，
∴FK∥AB，
∴，
∵BC＝x，AC＝1，
∴AB＝，
∴DC＝DB＝DA＝，
∵△ACE∽△ABC，
∴可得AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝，
∴，
，
∴y＝（x＞1）．
（3）如图3中，连接FK．
∵CE＝CG，
∴∠CEG＝∠CGE，
∵∠FKC＝∠CEG，
∵FK∥AB，
∴∠FKC＝∠A，
∵DC＝DA，
∴∠A＝∠DCA，
∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，
∴∠CDA＝∠ECG，
∴EC＝DE，
由（2）可知：，
整理得：x2﹣2x﹣1＝0，
∴x＝1+或1﹣（舍弃），
∴BC＝1+．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，的延长线交⊙于点，连接，是⊙上一点，点与点位于两侧，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长及的值．
答案:（1）证明见解析；（2）CE=，
分析：（1）利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先判断出∽得出比例式求出，，利用勾股定理求出，再判断出∽，可求出FM；进而判断出四边形是矩形，求出，即可求出，再用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵是⊙的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴∽，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
过点作于，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，，
∴，
过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为（1）证明见解析；（2）CE=，
【点睛】本题主要考查圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．
答案:（1）5（2）
分析：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，设OH＝3k，AO＝5k，则AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到结论；
（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
在 Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，
∴sinA＝，
设OH＝3k，AO＝5k，
则AH＝，
∵OH⊥AB，
∴AB＝2AH＝8k，
∴AC＝AB＝8k，
∴8k＝5k+3，
∴k＝1，
∴AO＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，
∴sinA＝，
∵AC＝8，
∴CG＝，AG＝，BG＝，
在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，
∴BC＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．(2023·上海·九年级专题练习）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．
答案:证明见解析
分析：根据AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论．
【详解】证明：∵AB=AC，
∴，
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴，
∴BD=CD．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
14．(2023·上海杨浦·二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作ADOC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．
【详解】证明：（1）如图１，连接AC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，
，
∴△DAC≌△EAC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）如图2，连接CA，
∵，
∴∠AOD＝3∠COD，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝36°，
∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，
∴∠ADC＝∠AEC＝108°，
∴∠AOD＝∠AEC，
∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵OD＝OC，
∴平行四边形OCFD是菱形．
【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，平行线的性质，三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握圆的基本性质，菱形的判定是解题的关键．
15．(2023·上海市奉贤区金汇学校九年级期末）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
答案:（1）；（2）18°；（3） 或
分析：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cos∠CBO＝可得BC的长；
（2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论；
（3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．
【详解】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cos∠CBO＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如图3，连接OC，
∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠COP，
设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中点，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分两种情况：
①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，
∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即，
∴OE＝1，
∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝
＝；
②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，
∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝，
＝．
综上，四边形AOED的面积是或．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．
16．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级阶段练习）如图，菱形，以为圆心，长为半径的圆分别交边、、、于点、、、．
（1）求证：；
（2）当为中点时，求证：．
答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析．
分析：（1）如图（见解析），先根据菱形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据圆心角定理即可得证；
（2）先根据圆心角定理可得，再根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质即可得证．
【详解】（1）如图，连接AE、AF，则
四边形ABCD是菱形
，
；
（2）为中点时
在和中，
，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等腰三角形和相似三角形是解题关键．
17．(2023·上海·九年级专题练习）已知，内接于，点是弧的中点，连接、；
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若平分，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．
答案:(1)见解析;(2)见解析;(3)2.
分析：(1)由点P是弧AB的中点，可得出AP=BP, 通过证明 ,可得出进而证明AB PC.
(2)由PA是∠CPM的角平分线，得到∠MPA=∠APC, 等量代换得到∠ABC=∠ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.
(3)过A点作AD⊥BC,有三线合一可知AD平分BC,点O在AD上，连结OB，则∠BOD＝∠BAC，根据圆周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC，由∠BOD=∠BPC可得 ,设OB= ，根据勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.
【详解】解：（1）∵点P是弧AB的中点，如图1，
∴AP＝BP，
在△APC和△BPC中
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP＝∠BCP，
在△ACE和△BCE中
，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠AEC＝∠BEC，
∵∠AEC+∠BEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AB⊥PC；
（2）∵PA平分∠CPM，
∴∠MPA＝∠APC，
∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°，
∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC，
∵∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（3）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，
由（2）得出AB＝AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴=，
设OB＝25x，则BD＝24x，
∴OD＝＝7x，
在中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，
∴AB＝＝40x，
∵AC＝8，
∴AB＝40x＝8，
解得：x＝0.2，
∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4，
∵点P是的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE＝AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°，
在中，OE＝，
∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，
在中，AP＝．
【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大.
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（ ）
A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D．拱形不一定是弓形
2．(2023·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2023·上海金山·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．互为补角的两个角都是锐角
C．相等的弦所对的弧相等 D．等腰梯形的对角线相等
5．(2023·上海金山区世界外国语学校一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．．
6．(2023··九年级专题练习）如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
二、填空题
9．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，是的直径，，，则______．
10．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，在中，，则______________．
11．(2023·上海·七年级专题练习）在半面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）
（1）点（）的“双角坐标”为 ___．
（2）若“双角坐标”为（30°，60°），则点坐标为 ___．
（3）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 ___．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
13．(2023··九年级专题练习）如图，为的直径，C为上一动点，将绕点A逆时针旋转120°得，若，则的最大值为__________．
三、解答题
14．(2023·上海市进才实验中学九年级期中）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是边AB上的一点，点E和点D关于BC对称，DE交边BC于点M，过点D作DE的垂线交EC的延长线于点F，线段DF交AC于点N．
(1)求证：四边形CMDN是矩形；
(2)联结CD，当CD⊥AB时，求证：EF CB＝2AB ME．
15．(2023·上海市青浦区教育局二模）如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等．
16．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
二、填空题
2．(2023·上海·九年级专题练习）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为__________．
3．(2023·上海静安·二模）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
4．(2023·上海·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．
5．(2023·上海市进才中学一模）如图，已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA上一点，F是上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径 OB 相切于点 G，若OE＝5，则 O 到折痕 EF 的距离为________________．
三、解答题
6．(2023··九年级专题练习）如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外) (参考数据：，，．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC面积的最大值．
7．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：．
8．(2023·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，，．
（1）求的半径长；
（2）求的值．
9．(2023·上海虹口·二模）已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、．
(1)求证：；
(2)当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形．
10．(2023··九年级专题练习）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．
（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；
（2）如图2，设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．
11．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，的延长线交⊙于点，连接，是⊙上一点，点与点位于两侧，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长及的值．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．
13．(2023·上海·九年级专题练习）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．
14．(2023·上海杨浦·二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作ADOC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
15．(2023·上海市奉贤区金汇学校九年级期末）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
16．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级阶段练习）如图，菱形，以为圆心，长为半径的圆分别交边、、、于点、、、．
（1）求证：；
（2）当为中点时，求证：．
17．(2023·上海·九年级专题练习）已知，内接于，点是弧的中点，连接、；
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若平分，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．
27.2圆心角、弧 弦、弦心距之间的关系（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（ ）
A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D．拱形不一定是弓形
答案:B
分析：根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可对C进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断．
【详解】解：A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；
C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；
D．拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了轴对称．
2．(2023·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案:C
分析：利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
3．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案:C
分析：根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴，，，，
∴＝2，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．(2023·上海金山·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．互为补角的两个角都是锐角
C．相等的弦所对的弧相等 D．等腰梯形的对角线相等
答案:D
分析：根据平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，故原命题是假命题，不合题意；
B、互为补角的两个角不一定是锐角，例如100°和80°，故原命题是假命题，不合题意；
C、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原命题是假命题，不合题意；
D、等腰梯形的对角线相等，故原命题是真命题，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，判断命题的真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．(2023·上海金山区世界外国语学校一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．．
答案:B
分析：利用三等分点得到，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据即可判断C；根据，得到，由此判断D．
【详解】解：连接AB、BC，OB，
∵点B、C将弧AD三等分，
∴，
∴，故A选项正确；
∵，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2CD，故B选项错误；
∵，
∴，故C选项正确；
∵，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴，
∴，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．
6．(2023··九年级专题练习）如图，E、F是正方形边上的两个动点且，连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案:A
分析：延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】解：延长AG交CD于M，如图1
∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM
∴∠DAM=∠ABE
∵∠DAM+∠BAM=90°
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH
∵AB=AD=2，O是AB中点，∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
7．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
答案:C
分析：连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.
故选：C.
【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
8．(2023·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
答案:C
分析：连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】连接OD．
∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°．
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
二、填空题
9．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，是的直径，，，则______．
答案:##40度
分析：根据圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半）求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大．
10．(2023·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，在中，，则______________．
答案:##40度
分析：根据同圆中等弧所对的圆周角相等，求出的度数，即可利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，正确求出的度数是解题的关键．
11．(2023·上海·七年级专题练习）在半面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO、PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）
（1）点（）的“双角坐标”为 ___．
（2）若“双角坐标”为（30°，60°），则点坐标为 ___．
（3）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 ___．
答案: （，） （，） 90
分析：（1）分别求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度数，从而得出答案；
（2）作于点B，设，利用三角函数求出OB、AB，由即可解出答案；
（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，以OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y＝相切于点P，由∠OPA＝∠1＞∠OP′A知此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵P（，），OA＝1，
，，
∴∠POA＝45°，∠PAO＝45°，
即点P的“双角坐标”为（45°，45°），
故答案为：（45°，45°）；
（2）如图，点P的“双角坐标”为（30°，60°），作于点B，
∵“双角坐标”为（30°，60°），
∴∠POA＝30°，∠PAO＝60°，
设，
则，
，
解得，
，，
∴点P的点坐标为（，）．
故答案为：（，）；
（3）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，
如图，
∵点P到x轴的距离为，OA＝1，
∴以OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y＝相切于点P，
在直线y＝上任取一点P′，连接、，交圆于点Q，
∵∠OPA＝∠1， ，
∴，
∴此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，
∴m+n的最小值为: ．
故答案为90．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质、锐角三角函数、三角形内角和定理、外角的性质及圆周角定理，根据内角和定理推出m+n取得最小值即为∠OPA取得最大值，且找到满足条件的点P位置是解题关键．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
答案:一定
分析：根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴AB=AC,
∴=，
故答案为：一定．
【点睛】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．
13．(2023··九年级专题练习）如图，为的直径，C为上一动点，将绕点A逆时针旋转120°得，若，则的最大值为__________．
答案:
分析：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
【详解】解：将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与点C重合，B′是定点，BD的最大值即B′C的最大值，当B′，O，C三点共线时，BD最大
过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E
由题意可得A′B=AB=4，∠EAB′=60°
∴AE=2，B′E=，OC=OB=2
在Rt△OEB′中，B′O=
∴B′D= B′O+OC=
故答案为：
【点睛】本题考查旋转的性质、含30°角的直角三角形、三角形三边关系等知识，是重要考点，题目有一定的难度，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
14．(2023·上海市进才实验中学九年级期中）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是边AB上的一点，点E和点D关于BC对称，DE交边BC于点M，过点D作DE的垂线交EC的延长线于点F，线段DF交AC于点N．
(1)求证：四边形CMDN是矩形；
(2)联结CD，当CD⊥AB时，求证：EF CB＝2AB ME．
答案:(1)过程见解析
(2)过程见解析
分析：对于（1），先根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，再根据对称的性质可得∠CMD=90°，然后根据已知条件得出∠EDF=90°，即可得出结论；
对于（2），连接CD，根据同角的余角相等得∠CDM=∠B，再根据对称的性质得CD=CE，可知∠CDM=∠E，进而得出∠B=∠E，然后结合“两个角对应相等的两个三角形相似”得，再根据相似三角形的性质得，然后根据DE=2DM=2EM代入得出答案即可．
（1）
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵点E和点D关于BC对称，
∴DM=EM，DE⊥BC，
∴∠CMD=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ACB=∠EDF=∠CMD=90°，
∴四边形CMDN是矩形；
（2）
如图，连接CD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCM+∠B=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠CDM=∠B．
∵点E和点D关于BC对称，
∴CD=CE，
∴∠CDM=∠E，
∴∠B=∠E．
∵∠ACB=∠FDE=90°，
∴，
∴，
即EF·BC=AB·DE．
由（1）得DM=EM，
∴DE=2ME，
∴EF·BC=AB·2ME，
即EF·BC=2AB·ME．
【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了矩形的判定，相似三角形的性质和判定，对称的性质等．
15．(2023·上海市青浦区教育局二模）如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等．
答案:见详解
分析：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得，进而问题可求证．
【详解】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：
∵平分，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴（HL），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的联系是解题的关键．
16．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
答案:（1）见解析；（2）见解析．
分析：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；
（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明，然后再证明，根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
答案:B
分析：利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；
【详解】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．
二、填空题
2．(2023·上海·九年级专题练习）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为__________．
答案:
分析：根据题意可得出劣弧所对的圆心角的度数，利用半径是2，由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为:，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵⊙的直径是4，
∴OB=OC=2，
∴BC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及勾股定理，根据已知得出圆心角的度数90°，再利用勾股定理求出是解题的关键．
3．(2023·上海静安·二模）如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．
答案:
分析：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知是等边三角形，从而可以证得CD∥AB，所以和的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，
∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．
4．(2023·上海·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．
答案:125°
分析：先利用 O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【详解】
∵△ABC中∠A=70°，O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3= (180° ∠A)= (180° 70°)=55°；
∴∠BOC=180° (∠1+∠3)=180° 55°=125°.
故答案为125°.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的相关知识与应用.
5．(2023·上海市进才中学一模）如图，已知扇形 AOB 的半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA上一点，F是上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径 OB 相切于点 G，若OE＝5，则 O 到折痕 EF 的距离为________________．
答案:
分析：过点G作OG的垂线，交的延长线于点，连接交EF于点H，连接，则点、G、F在以点为圆心，为半径的圆上，证得四边形为矩形，接着求得的长，再求得的长，又证得，从而得到 ，进而得到O 到折痕 EF 的距离．
【详解】解：如图，过点G作OG的垂线，交的延长线于点，连接交EF于点H，连接 ，则点、G、F在以点为圆心，为半径的圆上，
∵与 是等弧
∴与是等圆
∴
∵
∴
∴四边形为矩形
∴
∴
∵
∴
若则
∴
∴
连接，有
∵
∴
∴
∴
∴
∴
即O 到折痕 EF 的距离为
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称、三角形、矩形与圆的综合问题，是填空题的压轴题，懂得根据题意构造出等圆是解题的关键．
三、解答题
6．(2023··九年级专题练习）如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外) (参考数据：，，．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC面积的最大值．
答案:（1）60°；（2）
分析：（1）连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，得到∠DCB＝90°，BD＝4，再解直角三角形即可解答.
（2）因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC于点E，延长EO交O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答．
【详解】(1)连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD．
∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．
在Rt△DBC中，，
∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．
(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．
过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点．连结AB，AC，
则AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．
在Rt△ABE中，
∵BE，∠BAE＝30°，
∴，
∴．
答：△ABC面积的最大值是．
【点睛】此题考查圆周角定理，解直角三角形，解题关键在于灵活运用特殊角的三角函数值.
7．(2023·上海·九年级专题练习）如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：．
答案:见解析
分析：取中点，联结并延长与⊙交于，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到，再根据及垂径定理求解即可；
【详解】证明：取中点，联结并延长与⊙交于．
∵是圆心，且是弦的中点，
∴，，
∵且，
∴．
∵，平分，
∴．
∴平分．
∴．
又∵过圆心，
∴．
∴， 即．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理，准确分析证明是解题的关键．
8．(2023·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，，．
（1）求的半径长；
（2）求的值．
答案:（1）5；（2）
分析：（1）连接，设半径为，利用垂径定理结合勾股定理即可求出；
（2）延长交于点，连接，利用圆周角定理以及已知条件求出和的长即可计算的值．
【详解】解：（1）连接，如图所示：
设半径为，则由题意可知：，，
又，垂足为点，
，
在中，，
即，，
解得：，
的半径长为5；
（2）延长交于点，连接，则，
由（1）可知，
，
，
在中：，，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查圆的相关计算，涉及圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练相关知识结合图形合理作出辅助线是解题关键．
9．(2023·上海虹口·二模）已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、．
(1)求证：；
(2)当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）证明即可；
（2）由可得，可得，再证明OM∥AC即可．
（1）
∵、是的两条弦，，
∴
在和中
∴（SAS）
∴；
（2）
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，OM∥AC
∴
∴四边形为等腰梯形．
【点睛】本题考查圆的弧弦关系、全等三角形的证明、等腰梯形、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由弦得到．
10．(2023··九年级专题练习）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点，以CD为直径的⊙Q分别交BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G．
（1）如图1，如果BC＝2，求DE的长；
（2）如图2，设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）如图3，连接CE，如果CG＝CE，求BC的长．
答案:（1）DE＝；（2）y＝（x＞1）．（3）BC＝1+．
分析：（1）如图1中，连接CE．在Rt△CDE中，求出CD，CE即可解决问题．
（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．想办法用x表示CD，DE，证明FK∥AB，推出，延长构建关系式即可解决问题．根据点E位于点D下方，确定x的取值范围即可．
（3）如图3中，连接FK．证明ED＝EC，由此构建方程即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，连接CE．
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，
∵CD 是⊙Q的直径，
∴∠CED＝90°，
∴CE⊥AB，
∵BD＝AD，
∴CD＝
∵ AB CE＝ BC AC，
∴CE＝，
在Rt△CDE中，DE＝．
（2）如图2中，连接CE，设AC交⊙Q于K，连接FK，DF，DK．
∵∠FCK＝90°，
∴FK是⊙Q的直径，
∴直线FK经过点Q，
∵CD是⊙Q的直径，
∴∠CFD＝∠CKD＝90°，
∴DF⊥BC，DK⊥AC，
∵DC＝DB＝DA，
∴BF＝CF，CK＝AK，
∴FK∥AB，
∴，
∵BC＝x，AC＝1，
∴AB＝，
∴DC＝DB＝DA＝，
∵△ACE∽△ABC，
∴可得AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝，
∴，
，
∴y＝（x＞1）．
（3）如图3中，连接FK．
∵CE＝CG，
∴∠CEG＝∠CGE，
∵∠FKC＝∠CEG，
∵FK∥AB，
∴∠FKC＝∠A，
∵DC＝DA，
∴∠A＝∠DCA，
∴∠A＝∠DCA＝∠CEG＝∠CGE，
∴∠CDA＝∠ECG，
∴EC＝DE，
由（2）可知：，
整理得：x2﹣2x﹣1＝0，
∴x＝1+或1﹣（舍弃），
∴BC＝1+．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．(2023·上海·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，的延长线交⊙于点，连接，是⊙上一点，点与点位于两侧，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长及的值．
答案:（1）证明见解析；（2）CE=，
分析：（1）利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先判断出∽得出比例式求出，，利用勾股定理求出，再判断出∽，可求出FM；进而判断出四边形是矩形，求出，即可求出，再用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵是⊙的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴∽，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
过点作于，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，，
∴，
过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为（1）证明见解析；（2）CE=，
【点睛】本题主要考查圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
12．(2023·上海·九年级专题练习）如图，AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上，AC=AB，OC=3，sinA=．求：(1)圆O的半径长；(2)BC的长．
答案:（1）5（2）
分析：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，设OH＝3k，AO＝5k，则AH＝，得到AB＝2AH＝8k，求得AC＝AB＝8k，列方程即可得到结论；
（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
在 Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，
∴sinA＝，
设OH＝3k，AO＝5k，
则AH＝，
∵OH⊥AB，
∴AB＝2AH＝8k，
∴AC＝AB＝8k，
∴8k＝5k+3，
∴k＝1，
∴AO＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在 Rt△ACG中，∠AGC＝90°，
∴sinA＝，
∵AC＝8，
∴CG＝，AG＝，BG＝，
在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，
∴BC＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．(2023·上海·九年级专题练习）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．
求证：BD=CD．
答案:证明见解析
分析：根据AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论．
【详解】证明：∵AB=AC，
∴，
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴，
∴BD=CD．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
14．(2023·上海杨浦·二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作ADOC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．
【详解】证明：（1）如图１，连接AC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，
，
∴△DAC≌△EAC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）如图2，连接CA，
∵，
∴∠AOD＝3∠COD，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝36°，
∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，
∴∠ADC＝∠AEC＝108°，
∴∠AOD＝∠AEC，
∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵OD＝OC，
∴平行四边形OCFD是菱形．
【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，平行线的性质，三角形的全等，菱形的判定，熟练掌握圆的基本性质，菱形的判定是解题的关键．
15．(2023·上海市奉贤区金汇学校九年级期末）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E．
（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；
（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；
（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．
答案:（1）；（2）18°；（3） 或
分析：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，根据垂径定理和余弦的定义可得BC的长；解法二：如图2，连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，根据cos∠CBO＝可得BC的长；
（2）如图3，如图3，连接OC，根据题意可知：△EDP与△AOP相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根据三角形外角的性质列方程可得结论；
（3）当△BEO为直角三角形时，∠OBE不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH，OH，BH的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，证明∠ABC＝30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．
【详解】解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cos∠CBO＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如图3，连接OC，
∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠COP，
设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中点，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分两种情况：
①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，
∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即，
∴OE＝1，
∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝
＝；
②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，
∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝，
＝．
综上，四边形AOED的面积是或．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．
16．(2023·上海市民办新复兴初级中学九年级阶段练习）如图，菱形，以为圆心，长为半径的圆分别交边、、、于点、、、．
（1）求证：；
（2）当为中点时，求证：．
答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析．
分析：（1）如图（见解析），先根据菱形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据圆心角定理即可得证；
（2）先根据圆心角定理可得，再根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质即可得证．
【详解】（1）如图，连接AE、AF，则
四边形ABCD是菱形
，
；
（2）为中点时
在和中，
，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等腰三角形和相似三角形是解题关键．
17．(2023·上海·九年级专题练习）已知，内接于，点是弧的中点，连接、；
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若平分，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．
答案:(1)见解析;(2)见解析;(3)2.
分析：(1)由点P是弧AB的中点，可得出AP=BP, 通过证明 ,可得出进而证明AB PC.
(2)由PA是∠CPM的角平分线，得到∠MPA=∠APC, 等量代换得到∠ABC=∠ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.
(3)过A点作AD⊥BC,有三线合一可知AD平分BC,点O在AD上，连结OB，则∠BOD＝∠BAC，根据圆周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC，由∠BOD=∠BPC可得 ,设OB= ，根据勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.
【详解】解：（1）∵点P是弧AB的中点，如图1，
∴AP＝BP，
在△APC和△BPC中
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP＝∠BCP，
在△ACE和△BCE中
，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠AEC＝∠BEC，
∵∠AEC+∠BEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AB⊥PC；
（2）∵PA平分∠CPM，
∴∠MPA＝∠APC，
∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°，
∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC，
∵∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（3）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，
由（2）得出AB＝AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴=，
设OB＝25x，则BD＝24x，
∴OD＝＝7x，
在中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，
∴AB＝＝40x，
∵AC＝8，
∴AB＝40x＝8，
解得：x＝0.2，
∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4，
∵点P是的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE＝AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°，
在中，OE＝，
∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，
在中，AP＝．
【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大.