中小学教育资源及组卷应用平台
18.1《勾股定理》（2）导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.继续掌握勾股定理；
2.在掌握勾股定理的基础上，会应用勾股定理求直角三角形中的边长；
3.灵活运用勾股定理解决身边与实际生活相关的数学问题.
学习重难点
重点：会应用勾股定理求直角三角形中的边长，解决与直角三角形有关的实际问题；
难点：会应用勾股定理求直角三角形中的边长，解决与直角三角形有关的实际问题.
学法指导
学会构造直角三角形，用勾股定理列等式解决有关问题，弄清直角三角形的边角关系很关键.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.用文字叙述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
用字母表述勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，
那么勾股定理可表示为：_______________________________.
【答案】直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
a2＋b2=c2
2.对于直角三角形，如果知道其中两边如何变式求第三边长？
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示.
（1）已知a，b，求c .
c＝__________________________.
（2）已知b，c，求a .
a＝__________________________.
（3）已知a，c，求b .
b＝_________________________.
【答案】（1）
(3)
二、课内探究，交流学习
1.自主学习，合作探究
例1：现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m，求人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m)
解：如图，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人地点，D是第二次救人地点，过点A的水平距离与楼房ED的交点为O，则OB＝6m，OD＝9m，
由勾股定理，得：AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64，
∴AO＝＝8，
设AC＝x，则OC＝8－x，由勾股定理，得：
OC2+OD2＝CD2
即：(8－x)2+92＝102
经检验，x≈－3.6不合题意，舍去，
答：这时消防车要从原处再向自火的楼房靠近约12.4米.
例2：已知，如图，在RtABC中，两直角边AC＝5，BC＝12.求斜边上的高CD的长.
解：在RtABC中，AB2＝AC2+BC2=169，
∴AB＝＝13，
又∵ RtABC的面积：
∴
4.随堂练习
1.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
【答案】米
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由可得两个直角三角形，由米，米可得米，由米结合勾股定理即可求解．
【详解】解：于点B，
．
米，米，
米
又米，
米．
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，利用网格求三角形面积．
（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）连接交直线l一点P，即可使得的周长最小；
（3）根据网格利用割补法即可求的面积．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）如图，点P即为所求；
（3）．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.以下三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误；
D、，所以它们是勾股数，故本选项正确；
故选：D．
2．如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，把长方体右边的表面展开，连接，则就是绳子的最短时经过的路径，然后根据勾股定理求解，利用两点之间线段最短的性质，将长方体右边的表面展开是解题的关键．
【详解】如图，
将长方体右边的表面翻折（展开），连接，显然两点之间线段最短，为点到点的最短距离，由勾股定理知：
，
∴，即绳子最短为，
故选：．
3.已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（）
A．c的值只能为 B．c的值只能为
C．c的值为或 D．c的值有无限多个
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，分两种情况讨论是解本题的关键．分两种情况：①当为直角边时，②当为直角边，利用勾股定理求出第三边长即可．
【详解】解∶分两种情况∶①当为直角边时，；
②当为直角边，为斜边时，．
故选∶C．
4.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ．
【答案】2.6
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示：
，
∴这段葛藤的长．
故答案为：．
5.已知，在x轴上找一点P，使得点P到A， B两点的距离相等，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，设点P的坐标为，则，，根据点P到A， B两点的距离相等，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：设点P的坐标为，
∴，，
∵点P到A， B两点的距离相等，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
6.如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？
【答案】向岸A移动了9米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到，分别根据勾股定理求出，，即可求出．
【详解】解：由题意得，
在中，，
在中，，
∴．
答：船向岸A移动了9米．
7.如图，在中，，．
(1)在边上找一点，使，请利用尺规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图：
（1）由勾股定理可得，则只需要保证即可，故作的垂直平分线交于D，点D即为所求，
（2）由勾股定理求出，设，则，即可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于D，点D即为所求；
由线段垂直平分线的性质得到，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴的长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
18.1《勾股定理》（2）导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.继续掌握勾股定理；
2.在掌握勾股定理的基础上，会应用勾股定理求直角三角形中的边长；
3.灵活运用勾股定理解决身边与实际生活相关的数学问题.
学习重难点
重点：会应用勾股定理求直角三角形中的边长，解决与直角三角形有关的实际问题；
难点：会应用勾股定理求直角三角形中的边长，解决与直角三角形有关的实际问题.
学法指导
学会构造直角三角形，用勾股定理列等式解决有关问题，弄清直角三角形的边角关系很关键.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.用文字叙述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
用字母表述勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，
那么勾股定理可表示为：_______________________________.
2.对于直角三角形，如果知道其中两边如何变式求第三边长？
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示.
（1）已知a，b，求c .
c＝__________________________.
（2）已知b，c，求a .
a＝__________________________.
（3）已知a，c，求b .
b＝_________________________.
二、课内探究，交流学习
1.自主学习，合作探究
例1：现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m，求人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m)
例2：已知，如图，在RtABC中，两直角边AC＝5，BC＝12.求斜边上的高CD的长.
4.随堂练习
1.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；
(3)求的面积．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.以下三组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13
2．如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
3.已知是某直角三角形的三边长，若，，则下列关于c的说法中，正确的是（）
A．c的值只能为 B．c的值只能为
C．c的值为或 D．c的值有无限多个
4.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为 ．
5.已知，在x轴上找一点P，使得点P到A， B两点的距离相等，则点P的坐标为 ．
6.如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？
7.如图，在中，，．
(1)在边上找一点，使，请利用尺规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
