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18.2《勾股定理的逆定理》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解证明勾股定理的逆定理的方法；
2.会运用勾股定理的逆定理来判断三角形是直角三角形和勾股定理逆定理的应用；
3.经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养与人合作、交流的团队意识.
学习重难点
重点：探索勾股定理的逆定理的证明方法；
难点：勾股定理的逆定理在生活中的应用.
学法指导
通过对勾股定理的逆定理的探究和应用，加深对勾股定理的逆定理的理解，学会综合运用勾股定理及逆定理来解决实际问题.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.①用文字来叙述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
②用字母来表示勾股定理：
设△ABC的两条直角边分别用a，b表示，斜边用c表示，则△ABC的三边有下列关系：
________________________________________________________________________.
2.写出上述勾股定理的逆命题.
__________________________________________________________________________.
二、课内探究，交流学习
1.探究：
（1）.据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图所示，这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.
（2）用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，如图所示，量一量∠C，它是90°吗？
想一想：为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？你能说出理由吗？
思考： 在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，这三条线段之间有何数量关系呢？
请你写出勾股定理的逆定理：
__________________________________________________________________________.
设在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c，
如果这三边有下列关系：a2+b2＝c2，那么△ABC是________三角形，且∠___＝90°.
2.自主学习，探究解法
例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝7，b＝8，c＝11；
想一想：什么叫做勾股数？
_________________________________________________________________________.
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)，
求证： △ABC为直角三角形.
随堂练习
1.城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积．
2.如图，在中，，，，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
2．如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，，，，连接．连接，则下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个．
4．如图，点是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达处，若．则路线的长为 ．
5.如图，在中，，，，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
6.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．
(1)图中线段________，________，________；
(2)求证：是直角三角形．
7.如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
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18.2《勾股定理的逆定理》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解证明勾股定理的逆定理的方法；
2.会运用勾股定理的逆定理来判断三角形是直角三角形和勾股定理逆定理的应用；
3.经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养与人合作、交流的团队意识.
学习重难点
重点：探索勾股定理的逆定理的证明方法；
难点：勾股定理的逆定理在生活中的应用.
学法指导
通过对勾股定理的逆定理的探究和应用，加深对勾股定理的逆定理的理解，学会综合运用勾股定理及逆定理来解决实际问题.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.①用文字来叙述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
②用字母来表示勾股定理：
设△ABC的两条直角边分别用a，b表示，斜边用c表示，则△ABC的三边有下列关系：
________________________________________________________________________.
2.写出上述勾股定理的逆命题.
__________________________________________________________________________.
【答案】1.直角三角形两条直角边长的平方和，等于斜边的平方。
a2＋b2=c2。
2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
二、课内探究，交流学习
1.探究：
（1）.据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图所示，这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.
（2）用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，如图所示，量一量∠C，它是90°吗？
想一想：为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？你能说出理由吗？
思考： 在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，这三条线段之间有何数量关系呢？
【答案】AC和BC两条直角边长的平方和，等于AB的平方
请你写出勾股定理的逆定理：
__________________________________________________________________________.
设在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c，
如果这三边有下列关系：a2+b2＝c2，那么△ABC是________三角形，且∠___＝90°.
【答案】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角，ACB
2.自主学习，探究解法
例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝7，b＝8，c＝11；
解：（1）∵最大边是c＝25，c2＝625，
a2+b2＝72+242＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，最大边C所对角是直角.
（2）∵最大边是c＝11，c2＝121，
a2+b2＝72+82＝113，
∴a2+b2≠c2，
∴ △ABC不是直角三角形.
想一想：什么叫做勾股数？
_________________________________________________________________________.
【答案】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)，
求证： △ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2
＝n4－2n2+1+4n2
＝n4+2n2+1
＝(n2+1)2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理).
随堂练习
1.城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
答：这块可绿化的空地的面积为．
2.如图，在中，，，，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；垂直平分线上的点到两端距离相等．
（1）根据勾股定理逆定理，得出是直角三角形，即可求证；
（2）连接，根据垂直平分线的性质得出，．设，则．根据勾股定理可得，列出方程求出，则，，最后根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：连接，如图．
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴，．
设，则．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.下列各组的三个数值，分别以它们为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理．若两条短边的平方和等于最长边的平方，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形．据此依次判断即可．
【详解】解：A：∵，∴不能构成直角三角形；
B：∵，∴不能构成直角三角形；
C：∵，∴能构成直角三角形；
D：∵，∴不能构成直角三角形．
故选：C
2．如图，P是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，，，，连接．连接，则下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接，证明为正三角形．得出，，根据等边三角形的性质利用判定，得出，，证出，得出，则可得出结论．
【详解】解：连接，
，，
为正三角形．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
是直角三角形，
，
，
，
若，则，
由题意可知，，
故①②③正确，
故选：C．
3.在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐项判断即可．
【详解】解：①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
②由题意知，，则是直角三角形，但不是符合的条件形，故不符合题意；
③由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
④由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；
即符合要求的只有3个，
故答案为：3．
4．如图，点是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达处，若．则路线的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据勾股定理计算求解．
【详解】解：是直角三角形．
理由如下：
，，，
，，，
，
是直角三角形；
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得，
．
故答案为：．
5.如图，在中，，，，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证：；
(2)若为线段的垂直平分线，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；垂直平分线上的点到两端距离相等．
（1）根据勾股定理逆定理，得出是直角三角形，即可求证；
（2）连接，根据垂直平分线的性质得出，．设，则．根据勾股定理可得，列出方程求出，则，，最后根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（2）解：连接，如图．
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴，．
设，则．
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
6.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．
(1)图中线段________，________，________；
(2)求证：是直角三角形．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，化为最简二次根式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理逆定理，即可求解；
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）证明：是直角三角形，理由如下：
由（1）得：，，，
∴，
∴是直角三角形
7.如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
【答案】(1)是直角三角形；
(2)．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用．
（1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）由是的边上的高，利用面积法计算即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
根据勾股定理，
∵，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是的边上的高，
∴，
∴．
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