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18.1《勾股定理》（1）导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解勾股定理的由来；
2.探索直角三角形的三边之间关系，了解利用拼图验证勾股定理的方法；
3.掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题.
学习重难点
重点：探索和验证勾股定理的过程；
难点：通过面积计算探索勾股定理.
学法指导
通过勾股定理的探究和验证，学会用直角三角形的三边关系解决实际问题.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.查找相关资料或上网查找有关勾股定理的由来.
（1）勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学家、知名人士对此都有过研究，至今已有500多种证明方法。
（2）国内：公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算经》中有所记载。公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅“勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。
（3）国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。1876年4月1日，加菲乐德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。
2.写出勾股定理的内容.
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
二、课内探究，交流学习
1.探究1：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1，S2 与S3分别表示几个正方形的面积．
观察图（1），并填写：
S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．
观察图（2），并填写：
S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．
图（1），（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，
是：___________________________.
【答案】（1）9，9，18
（2）9，16，25
32+32=（3）2
问题：通过以上探究，你能得出什么结论吗？
用文字叙述：_____________________________________________________________
______________________________________________________.
【答案】直角三角形两条直角边长的平方和，等于斜边的平方。
如图1，用字母表述：
在△ABC中，∠C＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
则△ABC的三边a，b，c三边的关系为:
____________________________.
【答案】a2＋b2=c2
填一填：
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为________，较长的直角边称为_________，斜边称为__________，因此，我们称上述定理为__________________.
国外称之为__________________定理.
【答案】勾，股，弦，勾股定理，毕达哥拉斯定理
2.动手拼一拼：
请同学们用纸剪四个全等的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c），然后动手拼成如下图形：
3.探究2：
我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？
已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
求证：a2+b2＝c2.
【答案】
证明：取4个与Rt ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为a+b的正方形EFGH
从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c
因为 ∠B1A1E+∠A1B1E=90°,而∠A1B1E=∠D11AH,
因此： ∠B1A1E+∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°.
同理:∠A1B1C1=∠B1C1D1=∠C1D1A1=90°,
所以四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形.
正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积分别记作S正方形EFCH和S正方形A1B1C1D1 ,则
S正方形EFGH-4S ABC=S正方形A1B1C1D1，
即(a +b)2 -4 xab = c2.
化简,得
a2 +b2=c2.
4.随堂练习
1.如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理：
（1）根据证明即可得到结论；
（2）由勾股定理求出，由得，由勾股定理得，故可得，再根据勾股定理得．
【详解】（1）∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
2.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”．
(1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线．
(2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数，
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理
（1）由线段垂直平分线的性质可得，可得，由外角的性质可得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（3）由勾股定理列出方程，可求解．
【详解】（1）证明：线段的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条双腰分割线；
（2）解：是三角形的双腰分割线，且．
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，
，
，
设为，
中，，
中，，
，
解得，，
．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.已知点M在y轴上，点，若线段的长为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了用勾股定理求两点之间的距离，先设出点M的坐标，根据直角三角形三边的关系得到一个等式，求出结果即可，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：当点M位于y轴正半轴时，此时设点，过点P作y轴的垂线交y轴于一点N，如图所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此时点；
当点M位于y轴负半轴时，此时设点，过点P作y轴的垂线交y轴于一点N，如图所示：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
此时点，
综上点M的坐标为或，
故选：D．
2.如图，在中，于点D，在上取点F，使得，，连结并延长交于点E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，全等三角形的性质和判定．首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，然后利用等面积法求出，进而求解即可．
【详解】∵
∴
∵，
∴
∵，
又∵，
∴
∴
∴，
∴
∴
解得
∴．
故选：B．
3.小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．
【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值，
∵，
∴，
∵
∴ ，
∴的最小值等于5 ，
故答案为：5．
4．如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得出，过点作于点，设交于点，根据三角形的面积求得，构造等腰直角三角形，进而额电池的长，即可求解．
【详解】解：∵，设，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴
如图所示，过点作于点，设交于点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∵的面积为2，
∴
∴，则，
在中，，
如图所示，作关于的对称点，连接，交于点，
∵，则是等腰直角三角形，
则，
设，则，
在中，
解得：或（舍去）
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识，得出解题的关键．
5.如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（）由，得到，由得到，根据，即可求证；
（）：过点作，证明，得到，，由勾股定理得到，根据即可求证；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：．
理由：过点作，交于点M，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故．
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18.1《勾股定理》（1）导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解勾股定理的由来；
2.探索直角三角形的三边之间关系，了解利用拼图验证勾股定理的方法；
3.掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题.
学习重难点
重点：探索和验证勾股定理的过程；
难点：通过面积计算探索勾股定理.
学法指导
通过勾股定理的探究和验证，学会用直角三角形的三边关系解决实际问题.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.查找相关资料或上网查找有关勾股定理的由来.
（1）勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学家、知名人士对此都有过研究，至今已有500多种证明方法。
（2）国内：公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算经》中有所记载。公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅“勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。
（3）国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。1876年4月1日，加菲乐德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。
2.写出勾股定理的内容.
二、课内探究，交流学习
1.探究1：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1，S2 与S3分别表示几个正方形的面积．
观察图（1），并填写：
S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．
观察图（2），并填写：
S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．
图（1），（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，
是：___________________________.
问题：通过以上探究，你能得出什么结论吗？
用文字叙述：_____________________________________________________________
______________________________________________________.
如图1，用字母表述：
在△ABC中，∠C＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
则△ABC的三边a，b，c三边的关系为:
____________________________.
填一填：
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为________，较长的直角边称为_________，斜边称为__________，因此，我们称上述定理为__________________.
国外称之为__________________定理.
2.动手拼一拼：
请同学们用纸剪四个全等的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c），然后动手拼成如下图形：
3.探究2：
我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？
已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
求证：a2+b2＝c2.
4.随堂练习
1.如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
2.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”．
(1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线．
(2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数，
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.已知点M在y轴上，点，若线段的长为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
2.如图，在中，于点D，在上取点F，使得，，连结并延长交于点E，则（ ）
A． B． C． D．
3.小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ．
4．如图，在四边形中，、为对角线，，，，若，的面积为2，则的长为 ．
5.如图，在中，，，点在线段上，连接，点在的延长线上且．
(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接、、，用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由．
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